【20套精选试卷合集】广东广雅中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷
一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）
1. 已知集合{}4,3,2,1=A ,集合{}6,5,4,3=B ,集合B A C ⋂=，则集合C 的真子集．．．
的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的个数是（ ）
①2z = ②1z i =- ； ③的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 命题“[]1,0∈∀m ，21
≥+x
x ”的否定形式是（ ） A. []1,0∈∀m ，21<+
x x B. []1,0∈∃m ，21
≥+x
x C. ()()+∞∞-∈∃,00, m ,21≥+x x D. []1,0∈∃m ，21
<+x
x 4．已知ABC ∆中，=
A 6π，=
B 4
π
，a 1=，则b 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2
5．在区间（0，4）上任取一实数x ，则22<x 的概率是（ ） A ．
4
3
B ．
2
1 C ．
31 D ．41
6. 若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是（ ）
A ． 0
B ． 3-
C ．
2
3
D ．3 7.{}n a 是公差不为0的等差数列，满足2
7262524a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）
A ．10-
B ．5-
C ．0
D ．5
8.已知()222,0
3,0
x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若()2f a =，则a 的取值为（ ）
A ．2
B ． -1或2 C. 1±或2 D ．1或2
9.双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线与圆
()()
1132
2
=-+-y x 相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B. 5
C.
3 D.
2
10. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个
球
3
面上，则该球面的表面 积为（ ） A ． 4π
B ．
283
π
C ．
443
π
D ． 20π
11．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N m od ≡，例如()3m od 211≡．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
12.若函数()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有极大值，则a 的取值范围是（ ）
A ． 1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C. ()1,2 D ．()2,+∞
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13、已知平面向量→
a =（k ，3），→
b =（1，4），若→
→
⊥b a ，则实数k ＝ .
14．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为222
43
，则
C = .
15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .
16．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->++--≤⎪⎭⎫
⎝⎛-=1,32343
11,2log 22x x x x x x f ，若()f x 在区间[],4m 上的值域
为[]
1,2-，则实数m 的取值范围为 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421,,a a a 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n a
n n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18.（本题满分12分）
“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （Ⅱ）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附： ()
()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++，
()
20P K k ≥ 0．10 0．05 0．025 0．010 0k
2．706
3．841
5．024
6．635
18.（本题满分12分）
在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=AB=BC=2，且点O 为AC 中点． （Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥C 1﹣ABC 的体积． 19.（本题满分12分）
已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l
相切，圆心
C 在x 轴上且在直线l 的上方．
（Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点()0,1M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.（本题满分12分） 已知函数()()2
11ln ,.2
f x x a x a x a R =
+--∈ （Ⅰ）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2
e
a >
（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆
C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数），射线OM 的极坐标方程为34
πθ=
． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()13++-=x x x f ，()a a x x x g -+-+=1.
（Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 一、选择题
二、填空题
13. ____-12_________ 14. _____
6
π
_____________ 15.______91_________ 16. ______[]1-8-，
___________ 三、解答题
17．(本题满分12分)
解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题设，，…（2分）
即（1+d ）2
=1+3d ，解得d=0或d=1…（4分） 又∵d ≠0，∴d=1，可以求得a n =n…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
=（1+2+3+…+n ）+（2+22
+ (2)
）=
…（12
分）
18.解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为
40
35
，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为
8
7； （Ⅱ）
()2
24014126840
384120202218
11
K ⋅
⨯⨯-⨯=
=
<⨯⨯⨯ ，故没有95%以上的把握认为二者有关. 19.证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，…（2分） 又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABC=AC …（4分） 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，
题号 1 2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
C D
A
D
B
C
B
A
B
C
C
积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计
22
18
40
∴A 1O ⊥平面ABC …（6分）
（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC ，
即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离…（8分） 由（Ⅰ）知A 1O ⊥平面ABC 且，…（9分）
∴三棱锥C 1﹣ABC 的体积：
…（12分）
20.解：（Ⅰ）设圆心5
(,0)()2
C a a >-，
则
4102055
a a a +=⇒==-或（舍去）
． ·················· 2分 所以圆C 的标准方程为224x y +=． ···················· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ··· 5分 当直线AB 斜率存在时，
设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ··········· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，
2222224,
(1)240(1)
x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨
=-⎩， ················ 7分 故22121222
24
,11k k x x x x k k -+==++， ····················· 8分 若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)
00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t
--=-⇒
+=⇒+=---- 221212222(4)2(1)
2(1)()2020411
k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.
当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． ············ 12 21.解：(1) ()1'=+--
a
f x x a x
，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . ····················· （4分） (2) ()1(1)(1)(0)'=+--
=+->a a
f x x a x x x x
①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a
又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即
2
1(1)ln 02
+--<a a a a a
整理得1ln 12>-
a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11
()02
h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224
e e e e e e
h h e e ⋅=+-+-=-， 由ln 20.6931, 2.71828e ≈≈知
ln 204e -<，故2
e
a >成立. （12分）
22.解（1）∵2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 圆C 的普通方程为2
2
220x y x y ++-=， ∴2
2cos 2sin 0ρρθρθ+-=， ∴圆C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=-
.
1x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数）消去t 后得1y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为1
sin cos θθρ
-=.
（2）当34πθ=
时，3||sin()44OP ππ=-=，∴点P
的极坐标为3)4
π，
||2
OQ =
=
，所以点Q
的极坐标为3)4π，故线段PQ
， 23.解：（1）()22,3
4,1322,1x x f x x x x -≥⎧⎪
=-<<⎨⎪-+≤-⎩
，当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥，
当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{}
|24x x x ≤-≥或.
（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立， ∴3x x a a -++≥-恒成立，
又3333x x a x x a a a -++≥---=--=+， ∴3a a +≥-，解得32a ≥-
，3,2a ⎡⎫
∈-+∞⎪⎢⎣⎭
时，不等式()()f x g x ≥恒成立.
高考模拟数学试卷
数 学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I 卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B =，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e
2．设复数11i
z i
-=+，则z 为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3. 计算sin 47cos17cos47cos73︒︒-︒︒的结果为（ ） A.2
1 B. 3
3
C.2
2
D.
2
3 4. 6
1()x x
-展开式中的常数项为( )
A. -20
B. 20
C. -15
D.15
5. 三位男同学和三位女同学站成一排，要求任何两位男同学都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A.720
B.144
C.36
D.12
6.曲线()sin f x x =，()cos f x x =与直线0x =，2
x π
=
所围成的平面区域的面积为（ ）
A ．
20(sin cos )x x dx π
-⎰ B ．40
2(sin cos )x x dx π
-⎰
C ．
42
4
cos +sin xdx xdx ππ
π⎰
⎰ D ．40
2(cos sin )x x dx π
-⎰
7. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2
f x A x x A π
ωϕωϕ=+∈>><
的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为（ ） A. ,3π
ωπϕ==
B. 2,3
π
ωπϕ==
C. ,6π
ωπϕ==
D. 2,6
π
ωπϕ==
8．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x +=-，且]1,0[∈x 时，7
()8
f x x =-
，则方程1)2
1
()(||-=x x f 在区间[3,3]-零点的个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线2
2(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直
线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或6 10．如图是用模拟方法估
计椭圆14
22
=+y x 面积
的程序框图，S 表示估计 的结果，则图中空白处应 该填入（ ） A ．250N
S = B ．125
N
S =
C ．250
M
S =
D ．125
M S =
11．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，
(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，
已
知
()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则
2
1
b a ++的取值范围是（ ） A.4[,3]5 B.4(0,][3,)5
+∞ C.4[,5]5
D.4(0,][5,)5
+∞ 12．等腰Rt △ACB ,2AB =,2
ACB π
∠=
．以直线AC 为轴旋转
一周得到一个圆
锥，D 为圆锥底面一点，BD CD ⊥，CH AD ⊥于点H ,M 为AB 中点，则当三棱锥C HAM -的体积最大时，CD 的长为 ( ) A ．
53 B ．253 C ．63 D ．263
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上） 13．已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =， 则cos C 的值为 .
14．如图，格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线
开始
0,0,1M N i ===
产生0~2之间的两个随机数分别赋值给i i y x ,
1422
≤+i i y x 是
否
1+=i i
1+=M M 1+=N N 2000>i
否
是
输出S 结束
画出了某多面体的三视图，则该多面体的体
15．已知双曲线C ：22
221y x a b
-=(0,0)a b >>，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与
双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．
16． 设R a ∈，对于0x ∀>，函数()(1)[ln(1)1]f x ax x =-+-恒为非负数，则a 的取值所组成的集合为 .
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)
已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n n n n a a a a ++-=． （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和n S ．
18．(本小题满分12分)
某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[]21,7,22.3（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
()
2
1122122121+2++1+2
-=n n n n n n n n n χ，
（Ⅱ）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为
/cm
/cm
30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由.
19．(本小题满分12分)
如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2
，D 为11A C 中点． （Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角A 1－AB 1－D 的大小．
20. （本小题满分12分）
设离心率1
2
e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x 轴正半轴上一点，
以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，
且该圆和直线30x ++=相切，过点P 的直线与椭圆M 相交于相异两点A 、C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求QA QC ⋅的取值范围．
21.（本小题满分12分）
D
已知R m ∈，函数2()2x f x mx e =-． （Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 有两极值点,()a b a b <，（ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：()2e f a -<<-．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠； （Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长.
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为
22cos 2sin x y β
β
=+⎧⎨
=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上． (Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标.
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R) （Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．
（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．
数学（理科） 参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题
1．A ；2．D ；3. A ；4. D ；5. B ；6.D ；7．C ；8.A ；9．B ；10．D ；11．A ；12．C ． 二．填空题
13．1
4
-
；14．16；15．2；16．
11e ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
. 三.解答题
17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-=，∴
111
0n n n n
n n a a a a a a ++++-=，
∴
111
1n n
a a +-=， ·························· 3分 1
1
1a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1为公差的等差数列． ········ 4分 11(1)1n n n a =+-⨯=，1
n a n
=． ··················· 6分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知2=2n
n n
n a ．
12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ························································ ① 23+12=12+22+
+2n n S n ⨯⨯⨯． ···················································· ②
······························································································· 9分
由①-②得12
1=2+2+
+22n n n S n +--⨯．
∴1
=(1)2
2n n S n +-+． ······························································· 12分
法二：令212n n n b n c c +==-，令()2n
n c An B =+， ∴11()2()22n n n
n n n b c c An A B An B n ++=-=++-+=．
∴12A B ==-，． ···································································· 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c ++++
+=-+-++-=-
1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+． ··································· 12分
18．解：（Ⅰ）22⨯列联表如下
2分
841.302.290
110100100)50604050(20022
<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品
有关． ·····································································
································· 4分
（Ⅱ）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X 的分布列为
242.0153.0205.0=⨯+⨯+，
X 的方差为392.0)2415(3.0)2420(5.0)2430(222=⨯-+⨯-+⨯-=DX . ·· 7分
乙工艺生产单件产品的利润Y 的分布列为
Y 30 20 15 P
0.6
0.1
0.3
Y 的数学期望为5.243.0151.0206.030=⨯+⨯+⨯=EY ，
Y 的方差为
25.473.0)5.2415(1.0)5.2420(6.0)5.2430(222=⨯-+⨯-+⨯-=DY . ···· 10分
答案一：由上述结果可以看出EY EX <，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺. 答案二：由上述结果可以看出DY DX <，即甲工艺波动小，虽然EY EX <，但相差不大，所以以后选择甲工艺. ······························ 12分
19．解：（Ⅰ）如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，
∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ,
∴1BC ∥平面1AB D ． ········································································ 6分
（Ⅱ）过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，
由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1， 连结EF ，DE ，在正三角形A 1B 1C 1中， ∵D 是A 1C 1的中点，∴1113
2
B D A B =＝3， ······································ 8分 又在直角三角形AA 1D 中，
∵AD ＝AA 21＋A 1D 2＝3，∴AD ＝B 1
D ． ∴D
E ⊥AB 1，∴可得E
F ⊥AB 1，
则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角． ········································ 10分 可求得3
2
DF =
， ∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得32
EF =
，
∴∠DEF ＝π
4，即为所求． ·································································· 12分
（2）解法（二）（空间向量法）
建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，－1,0），B 1（0，1
）， C 1
），A 1（0，－1
），D
1
2
-
）． 8分 ∴AB 1＝（0，1
），B 1D
，－3
2
,0）． 设n 1＝（x ，y ，z ）是平面AB 1D 的一个法向量，
则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0
，即20,3
0.22
y x y ⎧+=⎪
⎨--=⎪⎩． ∴n 1＝（－3，1，－2）． ······························································ 10分 又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC
,0,0）， 设n 1与n 2的夹角是θ，则 cosθ＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2
2
． 又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角．
∴二面角A 1－AB 1－D 的大小是π
4． ··························································· 12分
20. 解：（Ⅰ）设以1||PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ， ∴1||NF a =，∵1
2
e =，∴2a c =， ∴13
NF P π
∠=
， 1||2PF a =． ····································································· 2分
∴2(,0)F c 是以|1PF |为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线30x ++=相切，
∴2c =
1,2,c a b ===
∴椭圆M 的方程为：22
143
x y +=． ····························································· 4分 （Ⅱ）设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，
法一：设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组22
143
(3).x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
， 化简整理得2
2
2
2
(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得23
05
k <<
． ································· 6分 则22121222243612
,4343
k k x x x x k k -+==++．
直线BC 的方程为：21
1121
()y y y y x x x x ++=
--，
令0y =，则22
22
1221121221212272247223()44343==2463
6
43
k k y x y x x x x x k k x k y y x x k --+-+++=
=++--+． ∴Q 点坐标为4
(,0)3
． ··············································································· 8分
2121212124444
()()()()(3)(3)3333
QA QC x x y y x x k x x ⋅=--+=--+--
=22212124
16(1)(3)()939
k x x k x x k +-++++
=222
22
22361242416(1)(3)9433439
k k k k k k k -+⋅-+⋅++
++ =222
191216235105
439361612
k k k -+=-++． ···························································· 10分 ∵2305k << ∴205
(,)93
QA QC ⋅∈-. ················· 12分 法二：
设直线方程为3x my =+．
由2231.4
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
得22(34)18150m y my +++=， 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得25
3
m >
． ················································· 6分 12212218,34
15.34m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
直线BC 的方程为：21
1121
()y y y y x x x x ++=
--，
令0y =，则212211212122
152(3)(3)24343=3+
=18334
m
y my y my my y m x m y y y y m ++++==+++-+． ∴Q 点坐标为4
(,0)3
． ··············································································· 8分
121212124444()()()()3333QA QC x x y y my my y y ⋅=--+=+++=21212525
(1)()39
m y y m y y ++++
=2221551825(1)()343349m m m m m +⋅
+⋅-+++=2
3520
349
m -+．································ 10分
∵25
3
m >
， ∴205(,)93QA QC ⋅∈-．
综上，205
(,)93
QA QC ⋅∈-
． ······················ 12分 21.解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-．
令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， ································································ 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．
∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ··········· 4分 （Ⅱ）若()f x 有两个极值点,()a b a b <，
则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．
解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴x
e m x =有两不等实根． ·························· 6分
令()x e h x x =，则2
(1)
()x e x h x x -'=
当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞
(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，
要使x
e m x
=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．
（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增扣2分）． ················· 8分 ∵2()2a f a ma e =-，且()220a f a ma e '=-=
2
()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a
=⋅-=⋅-=-，
∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈ 设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0x x e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减
∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······················································ 12分 解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根． ∵()2()x h x m e '=-，
当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，
当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<
∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根
∴m 的取值范围是(,)e +∞． ······················· 8分 ∵2()2a f a ma e =-，且()220a f a ma e '=-=
2
()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a
=⋅-=⋅-=-，
∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈
设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0x x e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减
∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······················································ 12分
解：（Ⅰ）证明
,AC BD ABC BCD =∴∠=∠． ·
·············································· 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． ·
····················· 5分 （Ⅱ）
EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，
由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ ·································································· 7分 ∴△BEC ∽△CBD ，∴
CD BC
BC EB
=
，∴BC =3． ······································ 10分 23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(2
2
=-+y x ，
曲线2C 的一般方程为4)2(2
2
=+-y x ． ·················································· 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =，
)0,2(到该直线距离为2，所以公共弦长为222222
2
=-． ·················· 5分 （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，
曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． ························································ 7分 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得5
5
4=
ρ， θ不妨取锐角5
5arcsin
， 所以)5
5
arcsin ,558(
P ． ····································································· 10分 24．解：（Ⅰ）136(),2
()14().
2
x x f x x x ⎧
-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
∴0)(≥x f 的解为{}
42-≤≥x x x 或 ． ·················· 5分 （Ⅱ）由0)(=x f 得,=-12x 5+-ax ． ················· 7分 令12-=x y ,5+-=ax y ,作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，
所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． ················· 10分。