广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期入学考试 数学试卷
广东省汕头市金山中学高一数学上学期第二次月考试题
广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一数学上学期第二次月考试题1． 下列命题中，正确的是（ ）A ．|a r |＝|b r |⇒a r ＝b rB ．|a r |＞|b r |⇒a r ＞b rC ．a r ＝b r ⇒a r ∥b rD ．｜a r ｜＝0⇒a r＝02．设1e →、2e →是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A ．1e →与1e →-2e → B ．1e →+2e →与1e →-32e →C ．1e →-22e →与－31e →+62e → D ．21e →+32e →与1e →-22e →3. 若cos(2)πα-=22,且α∈(,0)2π-，则sin()πα+=( ) A ．-13 B.-23 C.13 D.234．sin (x ＋27°)cos (18°－x )＋sin (18°－x )cos (x ＋27°)＝( )A.12 B ．－12 C ．－22 D.225.如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r（ ）A ．34a b +r rB ．1344a b +r rC ．1144a b +r rD ．3144a b +r r6. 若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则ABC ∆一定是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．如果不等式0--)(2>=c x ax x f 的解集为)1,2-(，那么函数(-)y f x =的大致图象是( )8．同时具有以下性质：“①最小正周期是π，②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是（ ） A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-9．在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA →•（→→+PC PB ）的最小值为( ) A ．－1 B ．1 C.12 D ．－1210．已知向量(,)m a b →=，(,)n c d →=，(,)p x y →=，定义新运算*m n r r＝(ac bd +，ad bc +)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量p ρ都有*m p →→=p →成立，那么向量m ρ为( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)11.cos 600o=__________12． ,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点,,O N P 依次是ABC ∆的____心、____心、____心（请按顺序填写）。
【首发】广东省汕头市金山中学2015届高三第一学期期中考试数学(理)Word版含答案
汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试理科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，则M N =（ ） A ．),1(+∞- B ．)2,1[- C ．)2,1(- D ．]2,1[-2．已知,αβ角的终边均在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数周期为π，其图像的一条对称轴是3x π=，则此函数的解析式可以是（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a ba b +=成立的是（ ） A ．2a b = B ．//a b C ． 13a b =- D ．a b ⊥5．方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,e D ．()3,4 6．已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，则b=（ ） A B ．2C ．D ．7．已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞ 8．设向量),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是（ ）A ．2 B． C． D ． 4第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每小题5分，共30分.) （一）必做题（9～13题） 9．函数()f x =的定义域为 。
广东省汕头市金山中学2015_2016学年高一数学上学期入学试卷(含解析)
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）入学数学试卷一、选择题1．下列叙述正确的是( )A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|＞|b|，则a＞b C．若a＜b，则|a|＞|b| D．若|a|=|b|，则a=±b2．已知关于x的方程x2+kx﹣2=0的一个根是1，则它的另一个根是( )A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．23．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于( )A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：64．函数y=﹣x2+x﹣1图象与x轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．无法确定5．如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则α+β的取值范围为( ) A．α+β≥B．α+β≤C．α+β≥1 D．α+β≤16．不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+8的值( )A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数7．方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，则方程x2+3x ﹣1=0的实根x0所在的范围是( )A．0＜x0＜ B．＜x0＜C．＜x0＜D．＜x0＜18．下列四个说法：其中正确说法的个数是( )个①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7；②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为﹣2，两根之积为7；③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为；④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣2，两根之积为0．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )A．B．C．D．10．等式成立的条件是( )A．x≠2 B．x＞0 C．x＞2 D．0＜x＜2二、填空题11．方程2x2+2x﹣1=0的两根为x1和x2，则|x1﹣x2|=__________．12．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径等于5cm，则梯形ABCD的面积为__________．13．分解因式：x2﹣xy+3y﹣3x=__________．14．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）15．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2，则m的取值范围为__________．16．已知x=，y=，则3x2﹣5xy+3y2的值是__________．三、解答题17．若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3=0的两个根，求：（1）|x1﹣x2|的值；（2）+和+的值；（3）x12+x22和x13+x23的值．18．二次函数y=﹣x2﹣mx﹣1与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2＜3，求m 的取值范围．19．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1，过圆心O做BC 的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD．20．已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止，如图②）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG，设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）入学数学试卷一、选择题1．下列叙述正确的是( )A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|＞|b|，则a＞b C．若a＜b，则|a|＞|b| D．若|a|=|b|，则a=±b【考点】分析法和综合法．【专题】计算题；方案型；推理和证明．【分析】直接利用绝对值的几何意义判断即可．【解答】解：若|a|=|b|，则a=b，显然a、b异号不成立；若|a|＞|b|，则a＞b，利用a=﹣3，b=1，满足条件，不满足结果，B不正确；若a=0＜b=5，则|a|＞|b|不成立，C不正确；若|a|=|b|，则a=±b，成立．故选：D．【点评】本题考查绝对值的几何意义，是基础题．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2=0的一个根是1，则它的另一个根是( )A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】设方程x2+kx﹣2=0的另一个根是a，由韦达定理可得答案．【解答】解：设方程x2+kx﹣2=0的另一个根是a，由韦达定理可得：1×a=﹣2，即a=﹣2，故选：C【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理是解答的关键．3．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于( )A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC=BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ=CF，即可求得答案．【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE=BC，AE=BE，AD=CD，∴∠EDB=∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP=BP，∵在△DEP与△BFP中，∠EDB=∠DBF，DP=BP，∠EPD=∠BPF，∴△DEP≌△BFP（ASA），∴BF=DE=BC，P是EF中点，∴FC=BC，PQ是△EFC中位线，PQ=FC，∴PQ：BC=1：4．故选：B．【点评】本题考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．4．函数y=﹣x2+x﹣1图象与x轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．无法确定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】利用二次函数的性质判断求解即可．【解答】解：函数y=﹣x2+x﹣1，开口向下，又△=1﹣4×（﹣1）（﹣1）=﹣3＜0．抛物线与x轴没有交点，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力．5．如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则α+β的取值范围为( ) A．α+β≥B．α+β≤C．α+β≥1 D．α+β≤1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，解出m的范围，结合韦达定理，可得答案．【解答】解：如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，解得：m≤，则α+β=2（1﹣m）≥1，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根与系数的关系，难度中档．6．不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+8的值( )A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数【考点】不等关系与不等式．【专题】配方法．【分析】利用配方法把代数式a2+b2﹣2a﹣4b+8变形为几个完全平方的形式后即可判断．【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+8=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+3=（a﹣1）2+（b﹣2）2+3≥3，故不论a、b取何值代数式a2+b2+4b﹣2a+6恒为正数．故选A．【点评】本题考查了完全平方的形式及非负数的性质，关键是正确变形为完全平方的形式后进行判断，属基础题．7．方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，则方程x2+3x ﹣1=0的实根x0所在的范围是( )A．0＜x0＜ B．＜x0＜C．＜x0＜D．＜x0＜1【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；构造法；函数的性质及应用．【分析】先构造函数F（x）=x+3﹣，再根据F（）•F（）＜0得出函数零点的范围．【解答】解：根据题意，构造函数F（x）=x+3﹣，当∈（0，+∞）时，函数F（x）单调递增，且F（）=+3﹣4=﹣＜0，F（）=+3﹣3=＞0，因此，F（）•F（）＜0，所以，x0∈（，），故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理，涉及到函数的单调性，属于基础题．8．下列四个说法：其中正确说法的个数是( )个①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7；②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为﹣2，两根之积为7；③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为；④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣2，两根之积为0．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．【解答】解：①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7，正确；②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为2，两根之积为7，因此不正确；③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为，正确；④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣，两根之积为0，不正确．综上可知：正确的个数为2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )A．B．C．D．【考点】归纳推理．【专题】计算题．【分析】根据题意，列出前几个三角形的周长，发现从第二项起，每个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半，由此进行归纳即可得到第2003个三角形的周长．【解答】解：根据题意，设第k个三角形的周长记为a k，（k=1、2、3、…）∵△ABC周长为1，∴a1=1∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点∴第二个三角形的周长为a2=a1=依此类推，第三个三角形的周长为a3=a2=，…第k个三角形的周长为a k=，…∴第2003个三角形周长为a2003=．故选C【点评】本题以三角形的周长规律为载体，考查了归纳推理的一般方法和等比数列的通项公式的知识，属于基础题．10．等式成立的条件是( )A．x≠2 B．x＞0 C．x＞2 D．0＜x＜2【考点】函数的定义域及其求法．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞2，故选：C．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查了二次个数的性质，是一道基础题．二、填空题11．方程2x2+2x﹣1=0的两根为x1和x2，则|x1﹣x2|=．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据根与系数之间的关系进行转化进行求解即可．【解答】解：∵方程2x2+2x﹣1=0的两根为x1和x2，∴x1+x2==﹣1，x1x2=，则|x1﹣x2|=====，故答案为：【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．12．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径等于5cm，则梯形ABCD的面积为7cm2或49cm2．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；分类讨论；综合法；推理和证明．【分析】过点O作OE⊥AB，E为垂足， O F⊥CD，F为垂足，由勾股定理得OE=3， OF=4，当圆心O在梯形ABCD内部时，EF=3+4=7，当圆心O在梯形ABCD外部时，EF=4﹣3=1，由此能求出梯形ABCD的面积．【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB，E为垂足，OF⊥CD，F为垂足，E，O，F三点共线．等腰三角形OAB中，AE==4，由勾股定理得，OE==3同理得，OF==4，当圆心O在梯形ABCD内部时，EF=3+4=7，∴梯形ABCD的面积S==49（cm2）当圆心O在梯形ABCD外部时，EF=4﹣3=1，∴梯形ABCD的面积S=（cm2）．故答案为：7cm2或49cm2．【点评】本题考查梯形面积的求法，是中档题，解题时要注意勾股定理的合理运用，易错点是容量丢解．13．分解因式：x2﹣xy+3y﹣3x=（x﹣y）（x﹣3）．【考点】因式分解定理．【专题】转化思想；数学模型法；推理和证明．【分析】x2﹣xy+3y﹣3x变形为x（x﹣y）﹣3（x﹣y），再提取公因式即可得出．【解答】解：x2﹣xy+3y﹣3x=x（x﹣y）﹣3（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣3），故答案为：（x﹣y）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可得OD=OE=R=2，在Rt△OBD中求出∠OBD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC==．故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．15．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2，则m的取值范围为1＜m＜2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设f（x）=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，由题意可得：以，即可解得m的取值范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，因为一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2，所以，解得1＜m＜2，故答案为：1＜m＜2．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握实根分布问题解决的方法．16．已知x=，y=，则3x2﹣5xy+3y2的值是289．【考点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知利用分母有理化求出x=5﹣2，y=5+2，由此能求出3x2﹣5xy+3y2的值．【解答】解：∵x==（）2=5﹣2，y==（）2=5+2，∴3x2﹣5xy+3y2=3（x+y）2﹣11xy=3×102﹣11（5﹣2）（5+2）=289．故答案为：289．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根式性质、分母有理化、完全平方式的合理运用．三、解答题17．若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3=0的两个根，求：（1）|x1﹣x2|的值；（2）+和+的值；（3）x12+x22和x13+x23的值．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据根与系数的关系，化简求值即可．【解答】解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3=0的两个根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，（1）∵（x1﹣x2）2==，∴|x1﹣x2|=（2））+==，x12+x22===，+==，（3）x12+x22===，x13+x23===．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，培养学生的计算能力．18．二次函数y=﹣x2﹣mx﹣1与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2＜3，求m 的取值范围．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用x1＜x2＜3，建立不等式，即可求m的取值范围．【解答】解：设函数f（x）=﹣x2﹣mx﹣1，则∵函数的两根x1＜x2＜3，∴有，解得m的取值范围为﹣＜m＜﹣2或m＞2．【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1，过圆心O做BC 的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】连接OC，则OP⊥AC，从而OP=，由已知推导出△OCP∽△ODC，由此能求出OD的长．【解答】解：如图所示，连接OC，因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC，又O为AB线段的中点，所以OP=，在Rt△OCD中，OC=，由于OP⊥AC，因此∠CPO=∠OCD，∠COP=∠DOC，因此△OCP∽△ODC，，所以OC2=OP•OD，即=8．【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的合理运用．20．已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止，如图②）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG，设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．【考点】直线与圆锥曲线的关系；二次函数的性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）首先求出一次函数y=﹣x+与x轴、y轴的交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若四边形ADEF为菱形，则DE=AD=t，由DE=2DO列式求得t值；（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情况，需分类讨论，①若∠ADF=90°时，如图，则有DF∥OB．然后由图形列式求出t值，再求出G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的方程，求出点M的坐标，再利用顶点式求出抛物线的解析式；②若∠AFD=90°，采用①的思路进行求解．【解答】解：（1）在y=﹣x+中，分别令x=0、y=0求得A（1，0），B（0，），∴OA=1，OB=，∴tan，则∠OAB=60°，∴AB=2OA=2，∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°，∴EF==，BF=2EF=2t，EF=t，AF=AB﹣BF=2﹣2t（0≤t≤1）；（2）在Rt△DOE中，EO=，DO=1﹣t，∴DE═，∵EF=t，AD=t，EG∥OA，∴四边形ADEF为平行四边形．若四边形ADEF为菱形，则有AD=DE，∴t=2（1﹣t），解之得t=，即当t=时四边形ADEF为菱形；（3）①当∠ADF=90°时，如图，则有DF∥OB．∴，即，∴t=，又由对称性可知EG=2AO=2，∴B（0，），E（0，），G（2，）．设直线BG的解析式为y=kx+b，把B、G两点的坐标代入有：，解得．∴，令x=1，则y=，∴M（1，），设所求抛物线的解析式为，又E（0，），∴，解之得．故所求解析式为；②当∠AFD=90°时，如图，在Rt△ADF中，∠ADF=30°，由AD=t，∴AF=t，由（1）有AF=2﹣2t，∴，解得：t=．∴B（），E（0，），G（2，），设直线BG的解析式为y=mx+n，把B、G两点的坐标代入有：，解之得：．∴．令x=1，则y=，∴M（1，）．设所求抛物线的解析式为．又E（0，），∴，解得a=﹣．故所求解析式为．综上所求函数的解析式为：或．【点评】本题考查二次函数的性质，考查直线与抛物线的位置关系，训练了利用待定系数法求解函数解析式，注意（3）中的分类讨论，是中档题．。
【精品】2015年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试卷
2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题有12个小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知函数y=lnx的定义域A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）2．（5.00分）函数y=的定义域为（）A．[﹣4，1]B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]3．（5.00分）函数y=2x2﹣（a﹣1）x+3在（﹣∞，1]内递减，在（1，+∞）内递增，则a的值是（）A．1 B．3 C．5 D．﹣14．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣3cosθ，4cosθ），其中θ∈（，π），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log 2x B．C．D．2x﹣26．（5.00分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）7．（5.00分）方程ln（2x+1）=的一个根落在区间（）（参考数值：ln1.5≈0.41，ln2≈0.69，ln2.5≈0.92）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）8．（5.00分）已知tanx=sin（x+），则sinx=（）A． B．C．D．9．（5.00分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）10．（5.00分）函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）A．B．C．D．11．（5.00分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则•=（）A．B．C．3 D．12．（5.00分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）x∈R在区间[﹣，]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=cos（x﹣），（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）13．（6.00分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=．14．（6.00分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（x+3）=﹣，且f（2）=，则f（2015）=．15．（6.00分）函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）图象的对称轴方程是．16．（6.00分）已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，若=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．三、解答题（本题有5小题，共66分）17．（12.00分）已知α∈（，π），sinα=．（1）求cos2α的值；（2）求cos（﹣2α）的值．18．（12.00分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．（14.00分）已知向量=（sin，），=（cos，cos2），f（x）=•．（I）若f（x）=0，求sin（+x）值；（II）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的最大值及相应的角A．20．（14.00分）已知函数f（x）=2x2+mx﹣2m﹣3（1）若函数在区间（﹣∞，0）与（1，+∞）内各有一个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）≥（3m+1）x﹣3m﹣11在x∈（，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14.00分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，求实数k的取值范围．2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有12个小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知函数y=lnx的定义域A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：由函数y=lnx，得到x＞0，即A=（0，+∞），∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴A∩B=（0，1]．故选：C．2．（5.00分）函数y=的定义域为（）A．[﹣4，1]B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]【解答】解：由得﹣4≤x＜0或0＜x≤1，故选：D．3．（5.00分）函数y=2x2﹣（a﹣1）x+3在（﹣∞，1]内递减，在（1，+∞）内递增，则a的值是（）A．1 B．3 C．5 D．﹣1【解答】解：依题义可得函数y=2x2﹣（a﹣1）x+3对称轴x==1，∴a=5．故选：C．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣3cosθ，4cosθ），其中θ∈（，π），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵θ∈（，π），∴﹣1＜c osθ＜0，∴r==﹣5cosθ，故cosα===．故选：B．5．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log 2x B．C．D．2x﹣2【解答】解：函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）=log a x，又f（2）=1，即log a2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选：A．6．（5.00分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）【解答】解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），∴函数在（0，+∞）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故B不对；C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；故选：A．7．（5.00分）方程ln（2x+1）=的一个根落在区间（）（参考数值：ln1.5≈0.41，ln2≈0.69，ln2.5≈0.92）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【解答】解：令f（x）=ln（2x+1）﹣，而f（）=ln1.5﹣＜0，f（）=ln2﹣＞0，∴方程ln（2x+1）=的一个根落在区间（，），故选：C．8．（5.00分）已知tanx=sin（x+），则sinx=（）A． B．C．D．【解答】解：∵tanx=sin（x+），∴tanx=cosx，∴sinx=cos2x，∴sin2x+sinx﹣1=0，解得sinx=（或＜﹣1，舍去）．故选：C．9．（5.00分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（2）=0，所以x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0；x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0；＜0，即＜0，可知﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故选：A．10．（5.00分）函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=cos=sinx+=sin（x+），∴由2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z可解得：2kπ﹣≤x≤2kπ，k∈Z∴当k=0时有函数f（x）在[﹣，]区间上单调递增，又⊂[﹣，]．故选：D．11．（5.00分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则•=（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵AD⊥AB，∴．∴cos＜＞=cos∠ADB=，∵，，∴=（）•====•||×||×cos＜＞=•||×||×===．故选：A．12．（5.00分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）x∈R在区间[﹣，]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=cos（x﹣），（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），所以只需将y=cos（x﹣）=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选：D．二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）13．（6.00分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．【解答】解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．14．（6.00分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（x+3）=﹣，且f（2）=，则f（2015）=﹣2．【解答】解：∵f（x+3）=﹣，∴f（x+6）=﹣=f（x），则函数的周期为6，则f（2015）=f（336×6﹣1）=f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣2；15．（6.00分）函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）图象的对称轴方程是．【解答】解：f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x﹣cos2x=﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）．由2x﹣=kπ+，k∈Z得图象的对称轴方程x=+，k∈Z故答案为：．16．（6.00分）已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，若=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=或．【解答】解：如图所示，∵且x+2y=1．∴，∴=，∴==，取AC的中点D，则．∴，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，==．当x=0时，，，此时AB⊥BC，∴．y=0时，无解．综上可得：cos∠BAC=或．故答案为：或．三、解答题（本题有5小题，共66分）17．（12.00分）已知α∈（，π），sinα=．（1）求cos2α的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：（1）cos 2α=1﹣2sin2α …（3分）=1﹣2=，…（5分）（2）方法一：因为α∈（，π），sin α=，∴cos α＜0所以cos α=﹣=﹣．…（7分）Sin 2α=2sin α cos α=2×=﹣，…（9分）所以cos（﹣2α）=cos cos 2α+sin sin 2α=+=﹣．…（12分）方法二：由，2α∈（π，2π），∴sin2α＜0sin2α==…（9分）所以cos（﹣2α）=cos cos 2α+sin sin 2α=+=﹣．…（12分）18．（12.00分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．19．（14.00分）已知向量=（sin，），=（cos，cos2），f（x）=•．（I）若f（x）=0，求sin（+x）值；（II）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的最大值及相应的角A．【解答】解：（I）===，∵f（x）=0，∴，∴．（II）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．∴，∵0＜B＜π，∴∴．∴，，∴，当时，，f（A）取得最大值．20．（14.00分）已知函数f（x）=2x2+mx﹣2m﹣3（1）若函数在区间（﹣∞，0）与（1，+∞）内各有一个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）≥（3m+1）x﹣3m﹣11在x∈（，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2x2+mx﹣2m﹣3图象开口向上，且在区间（﹣∞，0）与（1，+∞）内各有一零点，故，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得m＞﹣1，即实数的取值范围为（﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）方法一：不等式f（x）≥（3m﹣1）x﹣3m﹣11在上恒成立⇔2x2+mx﹣2m﹣3≥（3m﹣1）x﹣3m﹣11⇔2x2﹣（2m+1）x+m+8≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）取对称轴x=，当m≤0时，对称轴x＜，∴g（x）在上单调递增，g（x）＞g（2）=8＞0，故m≤0满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当m＞0时，对称轴又g（x）≥0在上恒成立，故△=（2m+1）2﹣8（m+8）=4m2﹣4m﹣63=（2m+7）（2m﹣9）≤0解得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上所述，实数的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）方法二：不等式f（x）≥（3m﹣1）x﹣3m﹣11在上恒成立⇔2x2+mx ﹣2m﹣3≥（3m﹣1）x﹣3m﹣11⇔m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）取由结论：定义在（0，+∞）上的函数，当且仅当时h（x）取得最小值．故﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当且仅当，即时函数g（x）取得最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）故，即实数的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）21．（14.00分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在区间（0，+∞）上，函数f（x）===1﹣，故函数在区间（0，+∞）上是增函数．（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，则﹣kx2=0 ①有四个不同的实数根．（1）当x=0时，不论k取何值，方程①恒成立，即x=0恒为方程①的一个实数解．（2）当x＜0且x≠﹣2时，方程①有实数根，即﹣﹣kx2=0 有实数根，即kx2+2kx+1=0 ②有实数根．若k=0，则②无实数根；若k≠0，则由△=4k2﹣4k≥0，求得k＜0，或k≥1．设方程②的2个根分别为x1、x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=．显然，当k＞1时，方程②有2个不等负实数根；当k=1时，方程②有2个相等的负实数根；当k＜0时，方程②有2个不等实数根，由x1+x2=﹣2、x1•x2=＜0，可得方程②有一个负实数根（正根舍去）．（3）当x＞0时，由方程①有实根，方程①化为kx2+2kx﹣1=0 ③．若k=0，方程③无实根；若k≠0，当△=4k2﹣4k≥0，求得k＞0，或k≤﹣1时，方程③有实根，设方程③的2个实根分别为x3、x4，则x3+x4=﹣2，x3•x4=﹣．当k＞0时，△＞0，方程③有2个不相等实根，由x3•x4=﹣＜0 可得这2个根异号，舍去负根，∴方程③有一个正实数根．当k≤﹣1，由x3+x4=﹣2，x3•x4=﹣＞0可得方程③没有正实数根．综上可得，只有当k＞1时，方程①才有4个不相等的实数根，即函数g（x）有4个不同的零点．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
[精品]2015-2016年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期中试卷与答案
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2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（）A．y=B．y=C．y=log a a x D．y=a（a＞0且a≠1）2．（5分）下列函数中，在其定义域内是增函数的为（）A．y=x2+x B．y=21﹣x C．y=log0.5（1+x）D．y=x|x|3．（5分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.74．（5分）函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）5．（5分）在函数y=|x|（x∈[﹣1，1]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数与x轴、直线x=﹣1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（）A． B．C．D．6．（5分）若tanα=3，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．67．（5分）已知f（sinx）=sin3x，则f（cos30°）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．8．（5分）函数的单调递增区间是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）9．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（）=（）A．0 B．C．1 D．11．（5分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．112．（5分）已知函数，定义：使f（1）×f（2）×f（3）×…×f（k）为整数的数k（k∈N*）叫作企盼数，则在区间[1，1000]内这样的企盼数共有（）个．A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=2的值域是．14．（5分）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知f（x）=2|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则实数a的值为．16．（5分）已知函数，则使f（a2）＞f（4a）成立的实数a的取值范围是．三、解答题（每小题14分，共70分）17．（14分）已知函数f（x）=．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某机械生产厂家每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．（14分）设f（x）=mx2+3（m﹣4）x﹣9．（1）试判断函数f（x）零点的个数；（2）若满足f（1﹣x）=f（1+x），求m的值；（3）若m=1时，x∈[0，2]上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．20．（14分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．21．（14分）设函数f（x）=（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点（1，），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=log m[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（）A．y=B．y=C．y=log a a x D．y=a（a＞0且a≠1）【解答】解：选项A中，y≥0，与原函数y=x的值域R不符；选项B中，x≠0，与原函数y=x的定义域R不符；选项C，y=log a a x=x，与原函数y=x一致；选项D，x≥0，与原函数y=x的定义域不符；故选：C．2．（5分）下列函数中，在其定义域内是增函数的为（）A．y=x2+x B．y=21﹣x C．y=log0.5（1+x）D．y=x|x|【解答】解：A中，y=x2+x在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数，∴不满足条件；B中，y=21﹣x在定义域R上是减函数，∴不满足条件；C中，y=log0.5（1+x）在定义域（﹣1，+∞）是减函数，∴不满足条件；D中，y=x|x|=在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，+∞）上是增函数，∴在定义域R上是增函数，满足条件；故选：D．3．（5分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．4．（5分）函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（），故选：C．5．（5分）在函数y=|x|（x∈[﹣1，1]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数与x轴、直线x=﹣1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（）A． B．C．D．【解答】解：由题意知，当t＞0时，S的增长会越来越快，故函数S图象在y轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，故选：B．6．（5分）若tanα=3，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵tanα=3，∴原式===2tanα=6．故选：D．7．（5分）已知f（sinx）=sin3x，则f（cos30°）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．【解答】解：令t=﹣x，f（sint）=sin3t，将t=﹣x代入f（sinx）=sin3x得：f（sin（﹣x））=f（cosx）=sin3（﹣x）=sin（﹣3x）=﹣cos3x，∴f（cos30°）=﹣cos90°=0．故选：A．8．（5分）函数的单调递增区间是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）令t=x2+2x﹣3，则y=∵y=为减函数，t=x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上为减函数；在（1，+∞）为增函数∴函数的单调递增区间是为（﹣∞，﹣3）．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（）=（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得=，f（）=f（）f（）=f（﹣）又∵f（）=f（﹣）∴f（）=0，f（）=0，故选：A．11．（5分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3．故选：B．12．（5分）已知函数，定义：使f（1）×f（2）×f（3）×…×f（k）为整数的数k（k∈N*）叫作企盼数，则在区间[1，1000]内这样的企盼数共有（）个．A．7 B．8 C．9 D．10（n+2）（n∈N*），【解答】解：∵函数f（n）=log n+1∴f（1）=log23，f（2）=log34，…f（k）=log k+1（k+2）．∴f（1）•f（2）…f（k）=log23•log34•…•log k+1（k+2）=log2（k+2）．若f（1）•f（2）…f（k）为整数，则k+2=2n（n∈Z），又∵k∈[1，1000]，故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}．∴在区间[1，1000]内这样的企盼数共有8个．故选：B．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=2的值域是[4，+∞）．【解答】解：令u（x）=x2+2x+3，则u（x）=（x+1）2+2≥2，∴函数f（x）=2=2u（x）≥22=4，∴函数f（x）=2的值域为[4，+∞），故答案为：[4，+∞）．14．（5分）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为函数f（x）=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，所以﹣=a≤1①，又函数g（x）=在区间[1，2]上是减函数，所以a＞0②，综①②，得0＜a≤1，即实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．15．（5分）已知f（x）=2|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则实数a的值为1．【解答】解：方法1：∵y=|x﹣a|，关于x=a对称，∴f（x）=2|x﹣a|关于x=a对称，∴对称轴x=a=1，即a=1，方法2：∵f（x）=2|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），即2|1+x﹣a|=2|1﹣x﹣a|，∴|1+x﹣a|=|1﹣x﹣a|，解得a=1．故答案为：1；16．（5分）已知函数，则使f（a2）＞f（4a）成立的实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．【解答】解：x≥0时，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，x＜0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，作出f（x）的草图如图所示：由图象可知f（x）在R上单调递增，∴f由（a2）＞f（4a）可得a2＞4a，解得a＞4或a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．三、解答题（每小题14分，共70分）17．（14分）已知函数f（x）=．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．【解答】解：（1）由x2﹣1≠0，得x≠±1，所以，函数的定义域为x∈R|x≠±1（4分）（2）函数在（1，+∞）上单调递减．（6分）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，（8分）∵x1＞1，x2＞1，∴x12﹣1＞0，x22﹣1＞0，x1+x2＞0．又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，故△y＜0．因此，函数在（1，+∞）上单调递减．（12分）18．（14分）某机械生产厂家每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解答】解：（Ⅰ）由题意得G（x）=2.8+x (2)分∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…6 分（Ⅱ）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…8 分当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…11 分∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为3.6万元．…12 分19．（14分）设f（x）=mx2+3（m﹣4）x﹣9．（1）试判断函数f（x）零点的个数；（2）若满足f（1﹣x）=f（1+x），求m的值；（3）若m=1时，x∈[0，2]上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）①当m=0时，f（x）=﹣12x﹣9为一次函数，有唯一零点②当m≠0时，由△=9（m﹣4）2+36m=9（m﹣2）2+108＞0故f（x）必有两个零点（2）由条件可得f（x）的图象关于直线x=1对称，∴﹣=1，且m≠0，解得：m=；（3）依题原命题等价于f（x）﹣a＞0有解，即f（x）＞a有解∴a＜f（x）max∵f（x）在[0，2]上递减，∴f（x）max=f（0）=﹣9，故a的取值范围为a＜﹣9．20．（14分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．21．（14分）设函数f（x）=（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点（1，），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=log m[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）f（x）是定义域为R的奇函数∴f（0）=0，∴t=2；（2）由（1）得f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）＞0得又a＞0∴a＞1，由f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0得f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1），∵f（x）为奇函数，∴f（kx﹣x2）＜f（1﹣x），∵a＞1∴f（x）=a x﹣a﹣x为R上的增函数，∴kx﹣x2＜1﹣x对一切x∈R恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立故△=（k+1）2﹣4＜0解得﹣3＜k＜1（3）函数f（x）的图象过点（1，），∴a=2，假设存在正数m，且m≠1符合题意，由a=2得==设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，∵x∈[1，log23]，∴记h（t）=t2﹣mt+2，∵函数在[1，log23]上的最大值为0，∴（ⅰ）若0＜m＜1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2在有最小值为1由于对称轴∴，不合题意（ⅱ）若m＞1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2＞0在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0①又此时，故g（x）在[1，log23]无意义所以②无解，综上所述：故不存在正数m，使函数在[1，log23]上的最大值为0．。
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试卷 及解析
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若sinα=，且α是第二象限的角，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．±2．（5.00分）与角﹣463°终边相同的角为（）A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈Z D．K•360°﹣257°，K∈Z3．（5.00分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．（5.00分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．5．（5.00分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5.00分）在△ABC中，，下列推导不正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．，则△ABC为直角三角形C．，则△ABC为等腰三角形D．，则△ABC为正三角形7．（5.00分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．8．（5.00分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A．B．C．或D．9．（5.00分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心10．（5.00分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B． C． D．11．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc ﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．12．（5.00分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是．14．（5.00分）已知sin2α=，0＜α＜，则cos（﹣α）的值=．15．（5.00分）如图在△ABC中，AB=，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，则AD=．16．（5.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…=．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17．（14.00分）已知函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）设，求cos（α+β）的值．18．（14.00分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．19．（14.00分）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求b，ω的值；（2）若，求的值．21．（14.00分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若sinα=，且α是第二象限的角，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．±【解答】解：∵，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：B．2．（5.00分）与角﹣463°终边相同的角为（）A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈Z D．K•360°﹣257°，K∈Z【解答】解：∵﹣463°=﹣2×360°+257°，∴257°与﹣463°终边相同，由此可得与角﹣463°终边相同的角一定可以写成k×360°+257°，k∈z 的形式，故选：C．3．（5.00分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．4．（5.00分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理==化简已知的比例式得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，根据余弦定理得cosC===﹣．故选：D．5．（5.00分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．6．（5.00分）在△ABC中，，下列推导不正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．，则△ABC为直角三角形C．，则△ABC为等腰三角形D．，则△ABC为正三角形【解答】解：若，则角C的补角为锐角，角C为钝角，所以是钝角三角形，正确若，则C为直角，故B正确，若，则﹣=0，即（﹣）=﹣（+）（﹣）=0，即=，故△ABC为等腰三角形，故C正确，若，∵=0，对任何三角形都成立，所以D不正确，故选：D．7．（5.00分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D．8．（5.00分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A．B．C．或D．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴，∵，B∈（0，π），∴cosB=±，当∠B是钝角时，A与B两角的和大于π，∴，∴cosC=﹣cos（A+B）=，故选：A．9．（5.00分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．10．（5.00分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B． C． D．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．11．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc ﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对（2）∵F（﹣x）==F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确（4）∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．所以④正确，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．【解答】解：∵y=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+a﹣a2，∴该函数的对称轴为：x=a，且当x＜a时函数单调递减，当x＞a时单调递增，∵该函数在区间（2，3）内是单调函数，∴a≤2或3≤a，故答案为：（﹣∞，2]∪[3，+∞）．14．（5.00分）已知sin2α=，0＜α＜，则cos（﹣α）的值=．【解答】解：∵0＜α＜，则cos（﹣α）=cosα+sinα＞0，且（cosα+sinα）2=1+sin2α=，∴cosα+sinα=，故答案为：．15．（5.00分）如图在△ABC中，AB=，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，则AD=7．【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵，在Rt△AEB中，AE=ABsinB=×=，在Rt△AEC中，AC===3，由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD=9+25﹣2×3×5×（﹣）=49，∴AD=7故答案为：7．16．（5.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f′（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17．（14.00分）已知函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）设，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）对于函数，令2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得6kπ﹣≤x≤6kπ+，可得函数的增区间为[6kπ﹣，6kπ+]，k∈Z．（2）∵，∴2sin（α﹣）=﹣，2sinβ=，∴cosα=，sinβ=，∴sinα==，cosβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=﹣．18．（14.00分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）因为，||=1，，∴，∴（3分）又，所以cos2A=．（5分）因为角A为锐角，∴2A=，A=（7分）（2）因为a=，c=，A=，及a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=b2+3﹣3b，即b=﹣1（舍去）或b=4 （10分）故S=（12分）19．（14.00分）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=[a（x+1）2+b（x+1）+c]﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b=2x+5，∴，解得：∴f（x）=x2+4x+1；（2）若g（2）=9，则a2=9，解得：a=3，当x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣2，6]，g[f（x）]∈[，729]，若g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，则k≤．20．（14.00分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求b，ω的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b=，…（2分），由题意可得，函数f（x）的周期，…（3分），再由函数的解析式可得周期，所以ω=1．…（4分）再由函数的最大值为，可得，…（5分），因为b＞0，所以．…（6分）（2）由以及，求得．…（8分），∴…（10分）=…（11分），=．…（12分）．21．（14.00分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，．由f（1）=0得：，即，∴．显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴a≠0，函数是二次函数．…（2分）由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即（*）…（4分）由f（1）=0得，即，代入（*）得．整理得，即．而，∴．将代入（*）得，，∴．…（7分）另解：（Ⅰ）当a=0时，．由f（1）=0得，即，∴．显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，∴a≠0，因而函数是二次函数．…（2分）由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即…（4分）由此可知a＞0，c＞0，∴．由f（1）=0，得，代入上式得．但前面已推得，∴．由解得．…（7分）（Ⅱ）∵，∴．∴．该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．…（8分）假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，∴g（m）=﹣5，即，解得m=﹣3或m=．∵＞﹣1，∴m=舍去．…（10分）②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g（2m+1）=﹣5，即．解得m=或m=，均应舍去．…（12分）③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，∴g（m+2）=﹣5，即．解得m=或m=，其中m=应舍去．综上可得，当m=﹣3或m=时，函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（14分）。
2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷和解析答案
2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上地对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大地数对应地点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形地是（）A．B．C． D．3．（4分）为了弘扬优秀传统文化，通州区30所中学参加了“名著•人生”戏剧展演比赛，最后有13所中学进入决赛，他们地决赛成绩各不相同．某中学已进入决赛且知道自己地成绩，但是否进入前7名，还必须知道这13所中学成绩地（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差4．（4分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足地函数关系地图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中地（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH5．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确地结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（4分）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样地P点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A地坐标是（﹣2，3），点C地坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆地圆心坐标是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）8．（4分）如图，A，B，C表示修建在一座山上地三个缆车站地位置，AB，BC 表示连接缆车站地钢缆．已知A，B，C所处位置地海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B地仰角为30°，由点B测得点C地仰角为45°，那么AB和BC地总长度是（）A．1200B．800C．540D．8009．（4分）如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC地直线上运动，以△ABC地高为半径地⊙O分别交线段AB、AC于点E、F，则所对地圆周角地度数（）A．从0°到30°变化B．从30°到60°变化C．总等于30°D．总等于60°10．（4分）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点地对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x地分式方程=2地解是（）A．5 B．1 C．3 D．不能确定11．（4分）若关于x地方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22地最小值为（）A．1 B．2 C．D．12．（4分）对于平面直角坐标系xOy中地点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P地T型线，点P为图形G地T型点，△PMN为图形G关于点P地T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，则n地取值范围是（）A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n≥﹣D．n≤﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．答案填在答题卷上规定地位置上．第14题图13．（5分）若a2﹣4a+3=0，则÷（a+2﹣）=．14．（5分）如图，以AB=6为直径地圆与△ABC地两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=．15．（5分）在平面直角坐标系中，小明玩走棋地游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步地走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置地坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置地坐标是．16．（5分）如图，直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M 为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=x﹣相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M地坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=．其中正确地有．三、解答题：本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.l图117．（12分）在数学地世界里，有很多结论地形式是统一地，这也体现了数学地美．请你证明下列两组条件中，均有等式+=成立．（1）如图1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x1，PC=x2，PB=x3．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x1，0）、B（0，x2）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x3．18．（12分）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品地利润如表所示：（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品地总利润为W（元），求W关于x地函数关系式，并求x地取值范围．（2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件地利润仍高于甲店B型产品每件地利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？19．（14分）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB地角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间地数量关系，并加以证明．20．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线地解析式；（2）点D（2，m）在第一象限地抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧地抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点地坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）地条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度地速度向右平移，记平移后地三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠地面积记为S，设平移地时间为t秒，试求S与t之间地函数关系式？2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上地对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大地数对应地点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上地对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最大地数对应地点是点Q，故选：D．2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形地是（）A．B．C． D．【解答】解：A、此几何体地主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；B、此几何体地主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；C、此几何体地主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；D、此几何体地主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；故选：B．3．（4分）为了弘扬优秀传统文化，通州区30所中学参加了“名著•人生”戏剧展演比赛，最后有13所中学进入决赛，他们地决赛成绩各不相同．某中学已进入决赛且知道自己地成绩，但是否进入前7名，还必须知道这13所中学成绩地（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差【解答】解：∵共有13所中学参加决赛，取前7名，∴我们把所有学校地成绩按大小顺序排列，第7名地成绩是这组数据地中位数，所以该学校知道这组数据地中位数，才能知道自己是否进入决赛，故选：A．4．（4分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足地函数关系地图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中地（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH【解答】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x地增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x地增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x地增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x地增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．5．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确地结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线地开口向下，∴a＜0，∵与y轴地交点为在y轴地正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==1，得2a=﹣b，∴a、b异号，即b＞0，又∵c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴地交点可以看出，当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；∵对称轴为x==1，抛物线与x轴地正半轴地交点是（3，0），则当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④正确．故选：B．6．（4分）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样地P点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样地点P共有3个，故选C．7．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A地坐标是（﹣2，3），点C地坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆地圆心坐标是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）【解答】解：如图线段AB地垂直平分线和线段CD地垂直平分线地交点M，即圆心地坐标是（﹣1，1），故选B．8．（4分）如图，A，B，C表示修建在一座山上地三个缆车站地位置，AB，BC 表示连接缆车站地钢缆．已知A，B，C所处位置地海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B地仰角为30°，由点B测得点C地仰角为45°，那么AB和BC地总长度是（）A．1200B．800C．540D．800【解答】解：BD=400﹣130=270（米），CB2=1000﹣400=600（米），在Rt△ABD中，AB==540（米），在Rt△BCB2中，BC==600米，AB+BC=540+600故选：C．9．（4分）如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC地直线上运动，以△ABC地高为半径地⊙O分别交线段AB、AC于点E、F，则所对地圆周角地度数（）A．从0°到30°变化B．从30°到60°变化C．总等于30°D．总等于60°【解答】解：作F关于执行OA地对称点G，G在圆上，连接AG，OG，则△AOF≌△AOG，∴∠GAO=∠FAO=60°，则B，A，G三点共线，∴∠AEO=∠AGO=∠AFO，∴∠EOF=∠EAF=60°，∴所对地圆周角地度数是30°，故选C．10．（4分）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点地对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x地分式方程=2地解是（）A．5 B．1 C．3 D．不能确定【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点地对称点在第一象限内，且a为整数，∴，解得：＜a＜2，即a=1，当a=1时，所求方程化为=2，去分母得：x+1=2x﹣2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程地解，则方程地解为3．故选：C11．（4分）若关于x地方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22地最小值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，x1（x2+x1）+x=（x2+x1）2﹣x1x2=4m2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m﹣）2+，所以m=时，x1（x2+x1）+x有最小值，最小值为．故选D．12．（4分）对于平面直角坐标系xOy中地点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P地T型线，点P为图形G地T型点，△PMN为图形G关于点P地T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，则n地取值范围是（）A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n≥﹣D．n≤﹣【解答】解：如图，∵H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，∴∠AHO=30°，tan30°=，OA=2×=，∴A（，0），∴通过H地直线地解析式为：y=x﹣2，∵y=x2+n，∴当x2+n=x﹣2有解时，才有H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，即△=3﹣4（n+2）≥0，n≤﹣，∴当n≤﹣时，H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．答案填在答题卷上规定地位置上．第14题图13．（5分）若a2﹣4a+3=0，则÷（a+2﹣）=﹣．【解答】解：原式=﹣•=﹣，∵a2﹣4a+3=0，∴a=1或3，∵a≠2，±3，∴a=1，∴原式=﹣=﹣=﹣，故答案为﹣．14．（5分）如图，以AB=6为直径地圆与△ABC地两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=3．【解答】解：如图，连接AE，∵AB为圆地直径，∴∠AEB=∠AEC=90°又∵∠ACB=60°，∴CA=2CE，由圆内接四边形性质易得：∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角地补角相等得到地）又∵∠C=∠C∴△CEF∽△CBA，∴==又∵AB=6，∴EF=3．故答案为：3．15．（5分）在平面直角坐标系中，小明玩走棋地游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步地走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置地坐标是（9，2）；当走完第2016步时，棋子所处位置地坐标是（2016，672）．【解答】解：设走完第n步时，棋子所处地位置为点P n（n为自然数），观察，发现规律：P1（1，0），P2（3，0），P3（3，1），P4（4，1），…，∴P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）．∵8=3×2+2，∴P8（9，2）．∵2016=3×671+3，∴P2016（2016，672）．故答案为：（9，2）；（2016，672）．16．（5分）如图，直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M 为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=x﹣相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M地坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=．其中正确地有①②③④．【解答】解：如图，连接CD、HD、EH．∵直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点，令x=0，则y=﹣，令y=0则x=5，∴A（5，0），B（0，﹣），∴OA=5，OB=故①正确，∵tan∠BAO==，∴∠BAO=30°．故②正确∵⊙M与AB相切于点C，∴CM⊥AC，∴∠ACM=90°，∵∠CAM=30°，∴AM=2CM=4，∴OM=OA﹣AM=1，∴点M坐标（1，0）故③正确，∵∠AMC=90°﹣∠CAM=60°，MC=DM，∴△MCD是等边三角形，∴CD=CM=2，故④正确，∵∠HEI=∠DCI，∠EIH=∠CID，∴△EIH∽△CID，∴==，∴=，∴EH=3，∵ED是直径，∴∠EHD=90°，∴cos∠HCD=cos∠HED==，故⑤错误．故答案为①②③④．三、解答题：本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.l图117．（12分）在数学地世界里，有很多结论地形式是统一地，这也体现了数学地美．请你证明下列两组条件中，均有等式+=成立．（1）如图1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x1，PC=x2，PB=x3．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x1，0）、B（0，x2）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x3．【解答】（1）证明：如图1中，过点B作BE∥PA交PC于点E，∵BE∥PA，∴△BEC∽△APC，∵∠APC=120°，PB平分∠APC，可得△PBE是等边三角形．∴BE=PE=PB=x3，∴EC=x2﹣x3，∵=，∴=，∴x2x3+x1x3=x1x2，∴+=．②解：如图2中，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．∵点C在直线y=x上，且横坐标为x3，∴点C（x3，x3），∴CE=CD=x 3，∵S△BOC +S△AOC=S△AOB，∴x2x3+x1x3=x1x2，∴+=．18．（12分）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品地利润如表所示：（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品地总利润为W（元），求W关于x地函数关系式，并求x地取值范围．（2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件地利润仍高于甲店B型产品每件地利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？【解答】解：（1）设分配给甲店A型产品x件，则分配给甲店地B型产品为（70﹣x）件，分配给乙店地A型产品（40﹣x）件，B型产品为30﹣（40﹣x）=（x﹣10）件，根据题意得，W=200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），=20x+16800，根据运送数量都是非负数得，，解得10≤x≤40，所以，W关于x地函数关系式为，W=20x+16800（10≤x≤40）；（2）W=（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），=（20﹣a）x+16800，∵让利后A型产品每件地利润仍高于甲店B型产品每件地利润，∴200﹣a＞170，解得a＜30，①0＜a＜20时，20﹣a＞0，W随x地增大而增大，x=40时，W有最大值，此时，分配给甲店A型产品40件，则分配给甲店地B型产品为30件，分配给乙店地A型产品0件，B型产品为30件；②20＜a＜30时，20﹣a＜0，W随x地增大而减小，x=10时，W有最大值，此时，分配给甲店A型产品10件，则分配给甲店地B型产品为60件，分配给乙店地A型产品30件，B型产品为0件．③a=20时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元．19．（14分）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB地角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间地数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1=∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE=BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H ∴∠ADE+∠ADH=90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，∴∠DAE=∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE=DH，AE=BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD=EH，∴GD+AE=BE．20．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线地解析式；（2）点D（2，m）在第一象限地抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧地抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点地坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）地条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度地速度向右平移，记平移后地三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠地面积记为S，设平移地时间为t秒，试求S与t之间地函数关系式？【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D（2，3），令x=0，y=3，∴C（0，3），∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如下图，在y轴上取点G，使GC=CD=2，在△CDB与△CGB中∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）∴△CDB≌△CGB，∴∠PBC=∠DBC，∵点G（0，1），设直线BP：y=kx+1，代入点B（3，0），∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴P（﹣，）．（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3联立直线BD求得F（，），S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．当2＜t≤3时，如下图：H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）S=S△HIB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）综上所述：S=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷
广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷一、选择题1．（3分）下列命题中正确的是（）A．||=||⇒=B．||＞||⇒＞C．=⇒D．单位向量都相等2．（3分）设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．与﹣B．+与﹣3C．﹣2与﹣3+6D．2+3与﹣23．（3分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）=（）A．﹣B．﹣C．D．4．（3分）sin（x+27°）cos（18°﹣x）+sin（18°﹣x）cos（x+27°）=（）A．B．C．D．5．（3分）如图，已知，，，用，表示，则=（）A．B．C．D．6．（3分）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形7．（3分）如果不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0（a，c∈R）的解集为{x|﹣2＜x＜1}，那么函数y=f （﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（3分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B． C．D．9．（3分）在△ABC中，D为BC边的中点，AD=1，点P在线段AD上，则的最小值为（）A．﹣1 B．1C．D．10．（3分）已知向量=（a，b），=（c，d），=（x，y），定义新运算*=（ac+bd，ad+bc），其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量都有*=成立，那么向量为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）二、填空题11．（3分）cos600°的值为．12．（3分）O，N，P在△ABC所在平面内，且||=||=||，++=，且•=•=•，则点O，N，P依次是△ABC的心、心、心（请按顺序填写）．13．（3分）函数f（x）=（）|cosx|在上的单调减区间为．14．（3分）关于平面向量、、，有下列三个命题：①若•=•，则=②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．④若=（λ，﹣2），=（﹣3，5），且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是λ∈（﹣，+∞）其中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）向量=（sinx，cosx），=（2，1），（1）若∥，求sin2x﹣sinxcosx的值（2）若⊥，求sinx的值．16．（12分）已知平面向量=，=，||=4，||=3，∠BAC=β，（2﹣3）•（2+）=61（1）求β的大小；（2）求||．17．（14分）已知函数f（x）=2sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．18．（14分）据市场调查，某种商品出厂价按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x﹣2）+2．（1）分别写出每件该商品的出厂价函数f（x），售价函数g（x）的解析式；（2）问：哪几个月能盈利？19．（14分）已知函数f（x）=cos2x+1，g（x）=sinx（1）求h（x）=，x∈（0，）的值域（2）若x∈时，h（x）=f（x）﹣2m2g（x）的最小值为，求实数m的值．20．（14分）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量、、满足：=λ+μ，其中λ+μ=1．（1）若A、B、C三点共线且有成立．记y=f （x），求函数y=f（x）的解析式；（2）若对任意，不等式|a﹣lnx|﹣ln＞0恒成立，求实数a的取值范围．广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列命题中正确的是（）A．||=||⇒=B．||＞||⇒＞C．=⇒D．单位向量都相等考点：命题的真假判断与应用；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的有关概念和运算进行判断即可．解答：解：A．向量长度相等，但方向不一定相同，所以A错误．B．向量的长度可以比较大小，但向量无法比较大小，所以B错误．C．若向量相等，则两向量的方向相同，所以对应的向量是共线的，所以C正确．D．单位向量的长度相等，但方向不一定相同，所以D错误．故选C．点评：本题主要考查向量的有关概念的判断，判断向量要从长度和方向两个方面进行判断．2．（3分）设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．与﹣B．+与﹣3C．﹣2与﹣3+6D．2+3与﹣2考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底．解答：解：、是平面内所有向量的一组基底，与﹣，不共线，可以作为基底，+与﹣3，不共线，可以作为基底，﹣2与﹣3+6共线，不可以作为基底，2+3与﹣2，不共线，可以作为基底，故选：C．点评：本题考查向量是否共线，共线向量的基本定理的应用，基本知识的考查．3．（3分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：根据诱导公式cos（2π﹣α）=cosα=，且sin（π+α）=﹣sinα，再根据同角三角函数基本关系式计算即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，，∵α∈（﹣，0），∴sinα=﹣==，sin（π+α）=﹣sinα=﹣（）=故选C点评：本题考查同角三角函数基本关系式，诱导公式的简单直接应用，属于基础题．4．（3分）sin（x+27°）cos（18°﹣x）+sin（18°﹣x）cos（x+27°）=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：把x+27°看作α，18°﹣x看作β，则原式变为sinαcosβ+cosαsinβ，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值．解答：解：原式=sin=sin45°=．故选D点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（3分）如图，已知，，，用，表示，则=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：题中由，由向量的减法法则：代入上式计算可以得出结果．解答：解：如图，，且．即：，所以故选B．点评：本题为向量的加，减运算的简单应用，结合图形容易得出答案．6．（3分）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量的减法法则，将题中等式化简得=，进而得到=，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，得到△ABC是直角三角形．解答：解：∵，，∴，即=∵，∴=，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形．故选：D点评：本题给出向量等式，判断三角形ABC的形状，着重考查了平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．7．（3分）如果不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0（a，c∈R）的解集为{x|﹣2＜x＜1}，那么函数y=f （﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．专题：常规题型．分析：首先根据不等式的解集与一元二次方程系数的关系，求出a和c，然后写出f（x）的解析式，最后求出f（﹣x）的解析式，就可以得出函数的图象．解答：解：∵不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0（a，c∈R）的解集为{x|﹣2＜x＜1}∴﹣2+1=﹣2×1=∴a=﹣1 c=﹣2∴f（x）=﹣x2﹣x+2∴f（﹣x）=﹣x2+x+2故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象，也涉及到了不等式与一元二次方程、二次函数的关系，相对比较容易．8．（3分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A ．B ．C ．D ．考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性． 专题： 三角函数的图像与性质．分析： 首先此类题目考虑用排除法，根据周期可以排除A ，根据对称性可排除B ，根据对称轴取最值排除D ．即可得到答案C 正确．解答： 解：首先由最小正周期是π，可以排除A ；又因为，不是最值，可以排除排除D ；B 中，当x ∈时，0≤2x+≤π，单调递减，所以排除B ；因此C 正确． 故选C ．点评： 此题主要考查函数的周期性，对称轴，单调区间的应用，在三角函数的学习中，对于三角函数的性质非常重要，要注意记忆和理解，在应用中也极其广泛，值得注意．9．（3分）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD=1，点P 在线段AD 上，则的最小值为（）A ． ﹣1B ． 1C ．D ．考点： 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用．分析： 设出|AP|，利用D 为BC 边的中点，AD=1，表示出，然后通过数量积求出表达式的最小值．解答： 解：在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD=1，点P 在线段AD 上， 设|AP|=t ，t ∈（0，1）， 则|PD|=1﹣t ，=2，=2||•||cos π=﹣2t （1﹣t ）=2t 2﹣2t=2（t ﹣）2﹣，因为t ∈（0，1），所以2（t ﹣）2﹣的最小值为﹣．的最小值为．故选D．点评：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，利用几何图形关系表示是解题的关键．10．（3分）已知向量=（a，b），=（c，d），=（x，y），定义新运算*=（ac+bd，ad+bc），其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量都有*=成立，那么向量为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用新定义可得对任意a、b都成立，可得，由此求得向量的坐标．解答：解：因为*=，（a，b）*（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），∴，即．由于对于任意，即对任意a、b都有（a，b）*（x，y）=（a，b）成立，所以，即，∴=（1，0），故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，恒成立问题，属于基础题．二、填空题11．（3分）cos600°的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用余弦函数的诱导公式cos（k•360°﹣α）=cosα即可求得cos600°的值．解答：解：cos600°=cos（720°﹣120°）=cos（2×360°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查运算求解能力，属于基础题．12．（3分）O，N，P在△ABC所在平面内，且||=||=||，++=，且•=•=•，则点O，N，P依次是△ABC的外心、重心、垂心（请按顺序填写）．考点：三角形五心．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据三角形外接圆的性质，结合||=||=||，可得O为△ABC的外心；根据向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，可证出N为△ABC的三条中线的交点，得N为△ABC 的重心；根据向量数量积的运算性质与向量减法法则，结合•=•，证出，点P在AC边上的高所在直线上．同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上，因此，P 是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．解答：解：①若||=||=||，则点O到A、B、C三点的距离相等，∴O为△ABC的外接圆的圆心，即外心；②若++=，则+=﹣，以NA、NB为邻边作平行四边形NAGB，可得GN、AB的交点E为AB的中点，且E、N、C三点共线．因此，CE为△ABC的中线．同理可得BN、AN也在△ABC的中线上．∴点N为△ABC的三条中线的交点，可得N为△ABC的重心；③若•=•，可得（﹣）•=0，∴=0，可得，点P在AC边上的高所在直线上．同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上．因此，P是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．综上所述，点O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．故答案为：外心、重心、垂心点评：本题给出三角形中的点满足的向量式，求该点是三角形“五心”中的哪一个．着重考查了向量的加法、减法法则和向量数量积的运算性质等知识，考查了向量在几何中的应用，属于中档题．13．（3分）函数f（x）=（）|cosx|在上的单调减区间为，．考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：分解函数：令t=|cosx|，y=（）t，由y=（）t在R上单调递减，故只要考查函数t=|cosx|的单调递增区间，然后由复合函数的单调性可求f（x）=（）|cosx|在上的单调递减区间．解答：解：令t=|cosx|，y=（）t，由于y=（）t在R上单调递减，函数t=|cosx|在（k∈Z）上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f（x）=（）|cosx|的单调减区间为（k∈Z），故函数f（x）=（）|cosx|在上的单调减区间为与．故答案为：，．点评：本题考查复合函数的单调性，指数函数及三角函数的单调性，是中档题．14．（3分）关于平面向量、、，有下列三个命题：①若•=•，则=②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．④若=（λ，﹣2），=（﹣3，5），且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是λ∈（﹣，+∞）其中正确命题的序号为②．（写出所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用．分析：①，利用向量的运算性质，可得⊥（﹣），从而可判断①；②，利用向量共线的坐标运算可求得k=﹣3，可判断②；③，设非零向量和的夹角为θ，依题意，可求得θ=60°，而+的方向与、的角平分线位于同一直线上，则与+的夹角为30°，可判断③；④，依题意，知﹣3λ﹣10＜0且﹣3λ﹣10≠﹣1，求得λ的取值范围是λ∈（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞），可判断④．解答：解：对于①，若•=•，则•（﹣）=0，即⊥（﹣），故①错误；对于②，若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则1×6﹣k×（﹣2）=0，解得k=﹣3，故②正确；对于③，设非零向量和的夹角为θ，则丨﹣丨2=2+2﹣2||||cosθ，由于||=||=|﹣|，可得cosθ=，故θ=60°+的方向与、的角平分线位于同一直线上，则与+的夹角为30°，故③错误；对于④，若=（λ，﹣2），=（﹣3，5），且与的夹角是钝角，则﹣3λ﹣10＜0且﹣3λ﹣10≠﹣1，解得：λ的取值范围是λ∈（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞），故④错误．故答案为：②．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积及平面向量的加减运算，考查分析、运算及求解能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）向量=（sinx，cosx），=（2，1），（1）若∥，求sin2x﹣sinxcosx的值（2）若⊥，求sinx的值．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）通过向量的平行，求出正弦函数与余弦函数的关系，利用“1”的代换，化简表达式为正切函数的形式，即可求出结果．（2）通过向量的垂直，结合平方关系式，即可求出所求结果．解答：解：（1）由∥得sinx﹣2cosx=0 …（3分）tanx=…（4分）sin2x﹣sinxcosx=…（6分）=…（7分）（2）2sinx+cosx=0…（10分）且sin2x+cos2x=1解得sinx=…（12分）．点评：本题考查向量共线以及向量垂直，三角函数的化简求值，考查计算能力．16．（12分）已知平面向量=，=，||=4，||=3，∠BAC=β，（2﹣3）•（2+）=61（1）求β的大小；（2）求||．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）运用向量的平方即为模的平方，结合向量的夹角公式，计算即可得到夹角；（2）运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，计算即可得到．解答：解：（1）由于（2﹣3）•（2+）=61，展开得4﹣4﹣3=61，由于||=4，||=3，则4×16﹣4﹣3×9=61，=﹣6，cosβ===﹣由0≤β≤π，则；（2）||=|﹣|=====．点评：本题考查向量的数量积的夹角公式和向量的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．17．（14分）已知函数f（x）=2sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用正弦函数的周期的求法公式，求解f（x）的最小正周期；（2）通过三角函数的图象的变换求出函数的解析式，通过角的范围，求解函数g（x）在区间上的最小值．解答：解：（1）f（x）的最小正周期为=6π．…（3分）（2）∵若将f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，再将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数=的图象，…（8分）∵时，…（9分）∴当时，即时…（11分），g（x）取得最大值2 …（12分）点评：本题考查三角函数的周期的求法，三角函数的图象的变换，三角函数的最值的求法，考查计算能力．18．（14分）据市场调查，某种商品出厂价按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x﹣2）+2．（1）分别写出每件该商品的出厂价函数f（x），售价函数g（x）的解析式；（2）问：哪几个月能盈利？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）利用函数的最值、周期、求出函数的相位初相，得到售价函数g（x）的解析式；（2）将x=1，2，…，12代入f（x），g（x）求出数值比较知，当x=4，5，6，7，8，12时，g （x）＞f（x）．解答：解：（1）f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0）．由题意可得A+B=8，﹣A+B=4，T=8，∴A=2，B=6，ω=．…（3分）∵当x=3时，f（x）取得最大值8．即2sin（+φ）+6=8，∴φ=2kπ﹣，k∈Z，不防令φ=﹣，…（5分）所以f（x）=2sin（x﹣）+6（1≤x≤12，x为正整数），…（6分）g（x）=f（x﹣2）+2=2sin（x﹣）+8（1≤x≤12，x为正整数）．…（8分）（2）将x=1，2，…，12代入f（x），g（x）求出数值比较知，当x=4，5，6，7，8，12时，g（x）＞f（x），故4，5，6，7，8，12月能赢利．…（14分）点评：本题考查函数的模型的选择与应用，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．19．（14分）已知函数f（x）=cos2x+1，g（x）=sinx（1）求h（x）=，x∈（0，）的值域（2）若x∈时，h（x）=f（x）﹣2m2g（x）的最小值为，求实数m的值．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）表示出h（x）=，利用正弦函数的值域，结合二次函数求解x∈（0，）的值域（2）若x∈时，化简h（x）=f（x）﹣2m2g（x）的表达式，通过函数的最小值为，即可求实数m的值．解答：解：（1）h（x）====…（3分）设，∵…（4分）．h（t）=t2﹣t在（2，+∞）为递增函数，故h（t）＞22﹣2=2…（6分）所以h（x）的值域为（2，+∞）…（8分）（2）I（x）=cos2x+1﹣2m2sinx=﹣sin2x﹣2m2sinx+2=﹣（sinx+m2）2+m4+2 …（10分）又则sinx∈当0≤时，I（x）的最小值．∴，∴…（12分）当时，I（x）的最小值．∴m无解综上，…（14分）点评：本题看三角函数的化简求值函数的最值的求法，考查计算能力．20．（14分）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量、、满足：=λ+μ，其中λ+μ=1．（1）若A、B、C三点共线且有成立．记y=f （x），求函数y=f（x）的解析式；（2）若对任意，不等式|a﹣lnx|﹣ln＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；函数恒成立问题．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，根据A、B、C在同一条直线上，可得，由此求得函数y=f（x）的解析式．（2）原不等式，即，或，利用单调性求出的最小值和的最大值，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）∵，∴，（1分）又∵A、B、C在同一条直线上，∴…（2分），，即，…（5分）（2）∵，∴原不等式为，得，或，…（8分）设，，…（10分）依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在上恒成立，∵g（x）与h（x）在上都是增函数，…（12分）∴要使不等式①成立，当且仅当或，即，或，…（14分）点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，属于中档题．。
【首发】广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试题Word版含答案
汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期高一月考（10月份）高 一 数 学 试 卷试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集为R ，集合AB ＝{}086-|2≤+x x x ，则()BC A R ⋂等于（ ）A ．{x |x≤0}B ．{x |2≤x≤4}C ．{x |0≤x<2或x>4}D ．{x |0<x≤2或x≥4}2．化简32的结果为 （ ）A ．－5B ．5C ．－5D ．53．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．2)(,)(x x g x x f == BC ．1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D ．1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 4．下列函数中值域为（0，)∞+的是（ ） A ．122+=xy B ．12-+=x x y C ．x y 21-= D ． x y -=1)31( 5．二次函数y=ax 2+bx 与指数函数y =(ab )x的图象只可能是（ ）6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x-1 2-x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值为( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2] 7．已知3()1(0)f x ax bx ab =++≠，若k f =)2013(，则=-)2013(f （ ）． A ．k B ．k - C ．k -1 D ．k -28．函数22y x =+-是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数9．已知偶函数f （x ）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫⎝⎛31f 的x取值范围是（ ）A ．11(,)33-B ．]31,31[-C ．24(,)33 D ．]34,32[10．设)(x f 是R 上的奇函数，对任意的实数x,y ,有),()()(y f x f y x f +=+且当0>x 时，0)(<x f ，则)(x f 在区间],[b a 上（ ）A ．有最大值)2(b a f + B ．有最小值)2(ba f + C ．有最大值)(a f D ．有最小值)(a f11．函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+=0,10,2x a x x x a x x f ， 若()0f 是()x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]0,1-C ．[]2,1 D ．[]2,0 12．非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中，所有元素的算术平均数记为E A ()，即123na a a a E A n++++=()．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆；②E B E A =()()，则称B 为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}12345，，，，的“保均值子集”有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数51(0x y a a -=+>且1a ≠）的图象必经过定点 ．14．若{}b a a a b a +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧,0,12，，，则20162015b a +等于 ．15．⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足))](()([2121x x x f x f --<0对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是 ．16．设奇函数()f x 在 （0，＋∞）上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本题满分14分)设22{|190}A x x ax a =-+-=,2{|560}B x x x =-+=,}082{2=-+=x x x C ． （1）若B A B A =，求a 的值； （2）若A B A C =≠∅，求a 的值．18．(本题满分14分)如图18所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝4，AD ＝BC ＝5，动点P 从B 点开始沿着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，若P 点运动的路程为x ，△PAB 的面积为y ． (1)求y ＝f (x )的解析式，并指出函数的定义域； (2)画出函数的图象并写出函数的值域．图1819. （本题满分14分） 已知函数()2121xxf x +=-. (1)判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域．y20．（本题满分14分）已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数y x ,都满足()()()y f x f y x f ⋅=+，且(1)0f ≠，当0,()1x f x >>时．（1）求(0)f 的值；（2）证明()f x 在(),-∞+∞上是增函数；21．（本题满分14分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-． （1）求()y f x =的解析式；（2）问是否存在这样的正数a, b ()b a <使得当[],x a b ∈ 时，函数)()g x f x =的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出所有a, b 的值，若不存在，说明理由．高 一 数 学 月 考 试 卷 答 案CDADA DDBCC BC (5,2) -1 ]41,0({|10x x -<<或}01x <<17、解：由题可得B={2,3},C={-4,2}……2分（1）A B=A B A=B,⇒∴2,3是方程22190x ax a -+-=的两个根即2235,2319a a a +=⎧⇒=⎨⨯=-⎩ （2）A B A C =≠∅，2A ∴∈，即224-2a+ a -19=0 a -2a-15=0 a=5a= - 3⇒⇒或，当5a =时，有A={2,3},则A B={2,3}A C={2}≠,5a ∴=（舍去） 当3a =-时，有A={2,-5}，则A B={2}A C =，3a ∴=-符合题意，3a ∴=-18、解： 如图所示，(1)①当P 在BC 上运动时，如图①所示， 易知sin ∠B ＝45， y ＝12×10×(x sin ∠B )＝4x ,0≤x≤5. ………2分 ②当P 点在CD 上运动时，如图②所示， y ＝12×10×4＝20，5＜x≤9. …………4分 ③当P 在DA 上运动时，如图③所示， y ＝12×10×(14－x ) sin ∠B ＝－4x ＋56，9＜x≤14. ………………6分 综上所得，函数的解析式为O2059 14y ＝4,0520,59456,914x x x x x ≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-+<≤⎩………8分 (2)函数y ＝f (x )的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标的取值范围是0≤y≤20. 所以函数y ＝f (x )的值域为[0,20]．………………14分 19.解：.(1) 函数()2121x x f x +=-的定义域为()(),00,-∞+∞()2121212()1221122x x x x x x x xf x f x --+++-====---- 所以函数()2121x x f x +=-是奇函数.(2)()2121221212121x x x x x f x +-+===+--- 当0x >时，21x >，210x ∴->，2021x ∴>-，21121x ∴+>-又由（1）知函数()121x f x +=-是奇函数， 所以函数()f x 的值域为()(),11,-∞-+∞．20.（1）解： 对于任意实数y x ,都满足()()()y f x f y x f ⋅=+，∴令0,1==yx 0(1)(10)(1)(0)a b f f f f ===+=则(1)0(0)1f f ≠∴=（2）证明：当0-x>0x <时，∴1,()0f x f x f x x f f x -=-==->由()()()(0)1,()0f x f x f x x f f x -=-==-> 得()0f x >()0x f x ∴>对于任意实数， 设1221210()1x x x x f x x <->->则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->()(,)y f x ∴=-∞+∞函数在上是增函数。
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一上学期12月月考数学试卷 word版
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一上学期12月月考数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为（ ）A 、θcosB 、θcos -C 、θcos ±D 、以上都不对2、若23)2sin(-=-x π，且ππ2<<x ，则x 等于( ) A 、π34B 、π67 C 、π35 D 、π611 3、设1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）A 、1e →与1e →-2e →B 、1e →+2e →与1e →-32e →C 、1e →-22e →与－31e →+62e →D 、21e →+32e →与1e →-22e →4、如图，已知DC BD b AC a AB 3,,=== ，用b a,表示AD ，则AD =（ ）A 、b a 43+B 、b a 4341+C 、1144a b +D 、3144a b +5、若向量,a b满足:()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥ 则b = （ ）A 、2B 、2C 、D 、22 6、在ABC ∆中，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 7、函数()cos()(,0)3f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()y f x =的图象,只需将函数()sin()3g x x πω=+的图象（ ）A 、向左平移2π个单位长度 B 、向右平移2π个单位长度 C 、向左平移4π个单位长度 D 、向右平移4π个单位长度8、函数())(,0,||f x x x ωϕωϕ=+∈><R π)2的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A 、π2,3-B 、 π2,6-C 、 π4,6-D 、 π4,39、函数x x x f cos )(-=在(0，＋∞)内( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 10、给出下列命题： ①函数)232cos(π+=x y 是奇函数；②若βα,是第一象限角且βα<，则βαtan tan <； ③8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴； ④函数)32sin(π+=x y 的图象关于点)0,12(π成中心对称．其中正确命题的序号为（ ）． A 、①③ B 、②④ C 、①④ D 、②③11、已知O 是△ABC 内一点，230OA OB OC ++=，则△AOC 与△BOC 的面积比为（ ）A 、32 B 、53C 、2D 、312、如图，菱形ABCD 的边长为2， 60=∠A ,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AN AM ⋅的最大值为（ ） A 、3 B 、32 C 、9 D 、6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、一个扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角为 ． 14、函数()f x =|cos |1()3x 在[],ππ-上的单调减区间为__ ___15、已知四边形ABCD 是矩形,3,2==AD AB ,E 是线段BC 上的动点,F 是CD 的中点.若AEF ∠为钝角,则线段BE 长度的取值范围是____16、定义平面向量的一种运算：><=⊗b a b a b a,sin ||||，给出下列命题：①a b b a ⊗=⊗；②b a b a⊗=⊗)()(λλ；③)()()(c b c a c b a ⊗+⊗=⊗+； ④若),(),,(2211y x b y x a == ，则||1221y x y x b a -=⊗。
广东省汕头市金山中学高一数学上学期期末考试试题
汕头市金山中学2015—2016年上学期高一数学期末考试试题分值：150分 时量：120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A.34- B.43 C.43± D.34±2、与463-o终边相同的角可表示为（ ） A ．()360436k k Z ⋅+∈o o B ．()360103k k Z ⋅+∈o o C ．()360257k k Z ⋅+∈o oD ．()360257k k Z ⋅-∈o o3、已知ABC ∆中，4,43,30a b A ===o，则B 等于（ ）A ．30oB ．30150o o 或C ．60oD ．60120o o或 4、在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．23- C ．14 D ．14- 5、如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为（ ）A.6πB.4πC. 3πD. 2π 6、在ABC ∆中，AB c =u u u r r ，BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r，下列推导不正确的是（ ）A ．若0a b >r r g，则ABC ∆为钝角三角形 B ．0a b =r r g ，则ΔABC 为直角三角形C ．a b b c =r r r r gg ，则ABC ∆为等腰三角形 D ．()0c a b c ++=r r r r g ，则ABC ∆为正三角形 7、设向量,a b r r满足1a b a b ==+=r r r r ，则()a tb t R -∈r r 的最小值为（ ）A.32 B. 12C.1D.2 8、在ABC ∆中，已知53cos ,sin 135A B ==，则cos C 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516-9、已知O 是平面上一定点,,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 10、为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，可将函数sin y x =的图像向左平移m 个单位长度或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）A.3π B.23π C.43π D.53π11、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2220b c bc a ++-=，则()sin 30a C b c--o 的值为（ ）A ．12 B．2 C ．12- D．2-12、已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13、已知二次函数221y x mx =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数m 的取值范围是 .14、已知24sin 225α=，02πα<<4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 15、如图在ABC ∆中，,60,45,5,263οο=AB 则AD = .16、设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、解答题:本大题共5小题，每题14分，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17、已知函数()12sin()33f x x π=-.（1）求()f x 的单调增区间； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，163217f πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()635f βπ+=，求()cos αβ+的值.18、在ABC ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设向量(cos ,sin ),A A =m (cos ,sin ),A A =-n 且m 与n 的夹角为π.3（1）求⋅m n 的值及角A 的大小； （2）若7,3a c ==，求ABC ∆的面积S ．19、已知函数()f x 是二次函数，且满足()()()01,125f f x f x x =+-=+； 函数()()01xg x aa a =>≠且.（1）求()f x 的解析式； （2）若()124g =，且()g f x k ≥⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围.20、已知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2cos 2cos sin 2)(（其中0>b ，0>ω）的最大值 为2，直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为2π． （1）求b ，ω的值； （2）若32)(=a f ，求)465sin(a -π的值．21、已知函数21()2f x ax x c =-+()a c ∈R 、满足条件：①(1)0f =；②对一切x ∈R ，都有()0f x ≥． （1）求a 、c 的值；（2）若存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5，求出实数m 的值.汕头市金山中学2015—2016年上学期高一数学期末考试答案1—12 ACDDA DAABB AC13.(][),23,-∞⋃+∞ 14.7515.7 16.82 17.解：（1）若()f x 单调递增，则122,2332k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈.56622k x k ππππ∴-+≤≤+. 所以()f x 的增区间为()56,622k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）11632sin (3)2sin 2cos 2323217f ππππαααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 所以8cos 17α=. ()1632sin (3)2sin 335f πβπβπβ⎡⎤+=+-==⎢⎥⎣⎦.所以3sin 5β=.因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====， 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-.18解：（1）1,==Q m 1,==n∴⋅⋅m n=m n π1cos.32⋅=22cos sin cos 2A A A ⋅-=Q m n=， 1cos 2.2A ∴= π0,02π,2A A <<<<Q ππ2,.36A A ∴==（2）(法一) a c ==Q π,6A =及2222cos a b c bc A =+-,2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b = 故1sin 2S bc A ==(法二) a c ==Q π,6A =及sin sin a cA C =,sin sin c A C a ∴==a c >Q , π2C ∴<<,cos C ==π1sin sin(π)sin()cos62B A C C C C =--=+==Q .sin4sin a B b A ∴==.故1sin 2S bc A ==19.解：（1）设()()20f x mx bx c m =++≠.()()20 1.1f c f x mx bx ==∴=++Q .()()()()2211111f x f x m x b x mx bx ∴+-=++++---22 5.mx m b x =++=+1,4m b ∴==.()241f x x x ∴=++.（2）()()24121112...422x x g a a g f x ++⎛⎫==∴=∴=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭Q()f x Q 开口向上，对称轴为2x =-.()f x ∴在[]1,1-上单调递增. ()()max 16f x f ∴==. ()6min12g f x ⎛⎫∴=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 611264.k ⎛⎫∴≤=⎪⎝⎭20.解：（1）()sin 2cos2.f x x b x ωω=+Q()2max 1 2.0. 3.f x b b b ∴=+=>∴=Q()sin 23cos 22sin 23f x x x x πωωω⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭.又2. 1.2T ππωω==∴=Q ()2sin 2.3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）()212sin 2.sin 2.3333f ππααα⎛⎫⎛⎫=+=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又227cos 412sin 2339ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 53227sin 4sin 4cos 4.62339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21.解：（1）当0a =时，1()2f x x c =-+．由(1)0f =得：102c -+=，即12c =，∴11()22f x x =-+．显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴ 0a ≠，函数21()2f x ax x c =-+是二次函数．由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－即 ()010.16a ac >⎧⎪*⎨≥>⎪⎩，由(1)0f =得 12a c +=，即12c a =-， 代入（*）得11216a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭．整理得 2110216a a -+≤，即2104a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭．而2104a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 14a =．14c =.（Ⅱ）∵ 14a c ==， ∴ 2111()424f x x x =-+．∴2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭．该函数图象开口向上，且对称轴为21x m =+．若存在实数m 使函数2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭在区间[],2m m +上有最小值-5① 当m ＜－1时，21m +＜m ，函数()g x 在区间[],2m m +上是递增的，∴()g m ＝－5，即21115424m m m ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭， 解得 m ＝－3或m ＝73．∵ 73＞－1， ∴m ＝73舍去．② 当－1≤m ＜1时，m ≤21m +＜m ＋1，函数()g x 在区间[],21m m +上是递减的，而在区间[]21,2m m ++上是递增的，∴ ()21g m +＝－5，即 ()()211121215424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭． 解得 m ＝112122-m ＝112122-+③当m ≥1时，21m +≥m ＋2，函数()g x 在区间[],2m m +上是递减的，∴ ()2g m +＝－5，即()()2111225424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭． 解得 m ＝122--m ＝122-+m ＝122--综上可得，当m ＝－3或m ＝122-+()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5。
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若4sin 5α=，且α是第二象限角，则tan α的值为（ ） A ．43- B ．34 C ．34± D ．43± 2．与463-︒终边相同的角可表示为（ ）A ．()360436k k Z ⋅︒+︒∈B ．()360103k k Z ⋅︒+︒∈C ．()360257k k Z ⋅︒+︒∈D ．()360257k k Z ⋅︒-︒∈3．已知ABC ∆中，4,30a b ===︒，则B 等于（ ）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒4．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．23B ．23-C ．14D ．14- 5．如果函数()3cos 2y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么φ的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．在ABC ∆中，,,AB c BC a CA b === ，下列推导不正确的是（ ） A ．若0a b ⋅> ，则ABC ∆为钝角三角形B ．0a b ⋅= ，则ABC ∆为直角三角形 C ．a b b c ⋅=⋅ ，则ABC ∆为等腰三角形D ．()0c a b c ⋅++= ，则ABC ∆为正三角形 7．设向量,a b 满足1a b a b ==+= ，则()a tb t R -∈ 的最小值为（ ）A B ．12 C ．1 D ．28．在ABC ∆中，已知53cos ,sin 135A B ==，则cos C 的值为（ ） A ．1665 B ．5665 C ．1665或5665 D ．1665- 9．已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2220b c bc a ++-=，则()s i n 30a C b c︒--的值为（ ） A ．12 B．2 C ．12- D．2- 12．设函数()()2log 10f x a x a =+≠，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知二次函数221y x mx =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．已知24sin 2,0252παα=<<4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 15．如图在ABC ∆中，5,45,60AB CD ABC ACB ==∠=︒∠=︒，则AD =______．16．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心．研究函数()3s i n 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17、已知函数()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调增区间；（2）设()166,0,,3,322175f f ππαβαβπ⎡⎤⎛⎫∈-=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，求()cos αβ+的值． 18．在ABC ∆中，角A 为锐角，记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．设向量()()cos ,sin ,cos ,sin m A A n A A ==- ，且m 与n 的夹角为3π． （1）求m n ⋅ 的值及角A 的大小；（2）若a c ==ABC ∆的面积S ．19．已知函数()f x 是二次函数，且满足()()()01,125f f x f x x =+-=+；（1）求()f x 的解析式；（2）若()124g =，且()g f x k ≥⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围． 20．已知函数()22sin cos 2cos f x x x b x b ωωω=⋅+-（其中0,0b ω>>）的最大值为2，直线1x x =、2x x =是()y f x =图象的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π． （1）求,b ω的值；（2）若()23f a =，求5sin 46a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 21．已知函数()(212f x ax x c a =-+、)c R ∈满足条件：①()10f =；②对一切x R ∈，都有()0f x ≥．（1）求a 、c 的值； （2）若存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值5-，求出实数m 的值．。
【百强校】2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一上期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一上期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：139分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、为了得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足,.则点的轨迹一定通过的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4、在中，已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．5、设向量满足，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．1D ．26、在中，，，，下列推导不正确的是（ ）A ．若，则为钝角三角形B ．，则ΔABC 为直角三角形 C ．，则为等腰三角形D ．，则为正三角形7、如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、在中，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知中，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．10、与终边相同的角可表示为（）A． B．C． D．11、若，且是第二象限角，则的值为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）12、设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到.13、如图在中，则14、已知，，则= .15、已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是 .三、解答题（题型注释）16、已知函数满足条件：①；②对一切，都有．（1）求、的值；（2）若存在实数，使函数在区间上有最小值－5，求出实数的值.17、已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求，的值；（2）若，求的值．18、已知函数是二次函数，且满足；函数.（1）求的解析式；（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.19、（在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量,且与的夹角为（1）求的值及角的大小； （2）若，求的面积．20、已知函数.（1）求的单调增区间；（2）设，，，求的值.参考答案1、C2、B3、B4、A5、A6、D7、A8、D9、D10、C11、A12、13、14、15、16、(1) ，；(2) 或.17、(1) ，；(2).18、(1) ；(2) .19、(1)，；(2) ．20、(1) ；(2)．【解析】1、试题分析：①中，时有的存在，所以不成立；②中当对任意的时都有可得函数是偶函数；③中由函数可知在内为增函数，则有，即结论成立；④中的图象在轴及其上方，则有个零点，是正确的.故选C.考点：函数的奇偶性、单调性、零点.【方法点晴】本题的难点有两个：一是如何认识函数的图象，注意的正负对函数的图象的单调性如何影响，这样不管还是都可以得到它的单调性；二是如何从奇偶性的定义上去了解函数，分段函数的奇偶性的证明是难点．解决以上两个难点，本题的各个命题就好判断了．本题考查的知识点更抽象，难度较大.2、试题分析：由函数的图象得到函数的图象可向左平移个单位长度，也可向右平移个单位长度，则得最小值为.故选B.考点：函数的图象.3、试题分析：是分别与同向的单位向量，则的终点在的角平分线上，由得在的角平分线上，所以点轨迹一定通过的内心.故选B.考点：向量加法的平行四边形法则、向量的数乘的几何意义.4、试题分析：由得，由，得，得，故选A.考点：同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式.5、试题分析：由已知可得夹角为，设，则的最小值为点到直线的距离，值为.故选A.考点：向量加法的三角形法则、向量减法的三角形法则.【思路点晴】本题主要考查了平面向量的几何表示：向量加减法、数乘．由已知条件结合向量加法的三角形法则可得夹角为．在中，如何理解对的影响是本题的难点，的变化使得的大小也在变化，当时与是垂直的，此时最小．本题考查的知识点比较隐含，难度较大.6、试题分析：A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.考点：平面向量的数量积.7、试题分析：由余弦函数的性质可知：，当时有最小值为.故选A.考点：余弦函数的对称性.8、试题分析：，.可设.由余弦定理的推论，故选D.考点：正弦定理、余弦定理的推论.9、试题分析：由正弦定理得，解得，.故选D.考点：正弦定理.10、试题分析：为的整数倍，故选C.考点：终边相同的角的集合.11、试题分析：，且是第二象限角，，.故选A.考点：同角三角函数的基本关系式.12、试题分析：由知当时，.，，，，，，则.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题.13、试题分析：由正弦定理得，，，由余弦定理得：，则.考点：正弦定理、余弦定理.【方法点晴】如果只是正弦定理、余弦定理的考查，知识比较简单．本题的难点就在于放在了两个三角形中分别运用正弦定理、余弦定理去解决．“执果索因”或是“执因索果”都用到，考虑要全面．此种情况下要考虑两个三角形的共性，即有一个公共边和一对互补的角，这样做到条件的共用解决问题就比较简单了．本题难度中等.14、试题分析：，，，.故.考点：二倍角公式.15、试题分析：二次函数的对称轴为，因为在区间内是单调函数，所以.考点：二次函数.16、试题分析：(1)由题意可知即函数为二次函数，由得，由②得解得，；（2）由(1)可得的解析式，进而可得的解析式，由于为二次函数，由对称轴为，可分三种情况：，，，最后可解得当或时，函数在区间上有最小值.试题解析：（1）当时，．由得：，即，∴．显然＞1时，＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴，函数是二次函数．由于对一切，都有，于是由二次函数的性质可得即由得，即，代入（*）得．整理得，即．而，∴．.（Ⅱ）∵，∴．∴．该函数图象开口向上，且对称轴为．若存在实数使函数在区间上有最小值-5①当＜－1时，＜，函数在区间上是递增的，∴＝－5，即，解得＝－3或＝．∵＞－1，∴＝舍去．②当－1≤＜1时，≤＜＋2，函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，∴＝－5，即．解得＝或＝，均应舍去．③当≥1时，≥＋2，函数在区间上是递减的，∴＝－5，即．解得＝或＝，其中＝应舍去．综上可得，当＝－3或＝时，函数在区间上有最小值－5．考点：二次函数.【易错点晴】本题第一问的难点是、的值的求法，也就是的解决，如何由这个条件得到、的不等式，进而由不等式的性质得到、的值．第二问虽然构建了新的函数，但也是放在了二次函数中研究的，在对称轴不定，定义域不定的前提下，如何用分类讨论思想来解决问题是本题的又一个难点．本题难度较大.17、试题分析：（1）由得最大值为解得，由的最小值为可得函数周期为，解得；（2）由得，由二倍角公式得，最后由诱导公式得.试题解析：（1）.又（2）又考点：正弦函数的性质、二倍角公式、诱导公式.18、试题分析：（1）用待定系数法设的解析式，由已知条件可求得三个系数；(2)由的解析式可得当时的值域，由可得的解析式，由的单调性可得的最小值，由可得. 试题解析：（1）设....（2）开口向上，对称轴为.在上单调递增. .考点：二次函数的值域、指数函数的单调性.【易错点晴】本题的第一问主要考查待定系数求二次函数，由题中的条件很容易求出函数的解析式；第二问由求出的解析式，只要注意的值域和的单调性很容易求出时的值域，这样的能求.本题也是围绕着函数的性质来进行考查的，着重了值域的考查，难度中等.19、试题分析：(1)由,可知，、，的值，由平面向量的数量积的定义和坐标运算可求的值进而可得的大小；（2）由余弦定理可求的值，代入面积公式可求得的面积.试题解析：（1）,，（2）(法一) ,及,, 即(舍去)或故(法二) ,及,.,,...故考点：平面向量的坐标运算、同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式.20、试题分析：（1）由得的单调增区间为；（2）由得，可求，由得可求，代入余弦定理可求的值.试题解析：1）若单调递增，则.. 所以的增区间为. （2）.所以..所以.因为，所以，所以.考点：正弦函数的单调性、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式.。
广东省汕头市金山中学高一数学上学期12月月考试卷(含
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A．cosθB．﹣cosθC．±cosθD．以上都不对2．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A． B． C． D．3．设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．与﹣ B．+与﹣3C．﹣2与﹣3+6D．2+3与﹣24．如图，已知，，，用，表示，则=（）A．B．C．D．5．若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．6．已知△ABC满足，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．函数f（x）=cos（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到f（x）的图象，只需将函数g（x）=sin（ωx+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，9．函数f（x）=在（0，+∞）内（）A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点10．给出下列命题：①函数y=cos（）是奇函数；②若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；③x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；④函数y=sin（2x+）的图象关于点（）成中心对称．其中正确命题的序号为（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③11．设是O是△ABC内一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比值是（）A．B．C．2 D．312．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B．C．6 D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角为．14．函数f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调减区间为．15．已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是CD的中点．若∠AEF 为钝角，则线段BE长度的取值范围是．16．定义平面向量的一种运算：⊗=||•||sin＜，＞，则下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=（⊗）+（⊗）；④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知，，与的夹角为60°．（1）求与的夹角的余弦值；（2）当取得最小值时，试判断与的位置关系，并说明理由．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）当x∈[]时，求f（x）的值域．19．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元，据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润（1﹣）万元：当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9万元，为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？20．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，设．（1）证明：A、B、C三点共线的条件是λ+μ=1（2）若成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意x∈[，]，不等式|a﹣lnx|﹣ln[f（x）﹣3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知定义在R上的奇函数．（1）求a、b的值；（2）若不等式对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（﹣1，1）时，g（x）=f （x）﹣x，求方程g（x）=0的所有解．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A．cosθB．﹣cosθC．±cosθD．以上都不对【考点】三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】利用题设条件可推断出θ为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案．【解答】解：∵sinθ＜0，tanθ＞0∴θ为第三象限角∴=|cosθ|=﹣cosθ故选B【点评】本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题．考查了基础知识的灵活运用．2．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A． B． C． D．【考点】诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】利用诱导公式化简三角函数式，通过角的范围求出三角函数对应的角的值．【解答】解：，，．故选B．【点评】本题是基础题，考查诱导公式的应用，已知三角函数值求角，送分题目．3．设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．与﹣ B．+与﹣3C．﹣2与﹣3+6D．2+3与﹣2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底．【解答】解：、是平面内所有向量的一组基底，与﹣，不共线，可以作为基底，+与﹣3，不共线，可以作为基底，﹣2与﹣3+6共线，不可以作为基底，2+3与﹣2，不共线，可以作为基底，故选：C．【点评】本题考查向量是否共线，共线向量的基本定理的应用，基本知识的考查．4．如图，已知，，，用，表示，则=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；向量的加法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】题中由，由向量的减法法则：代入上式计算可以得出结果．【解答】解：如图，，且．即：，所以故选B．【点评】本题为向量的加，减运算的简单应用，结合图形容易得出答案．5．若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．6．已知△ABC满足，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+•，得•=0．结合向量数量积的运算性质，可得CA⊥CB，得△ABC是直角三角形．【解答】解：∵△ABC中，，∴=（﹣）+•=•+•即=+•，得•=0∴⊥即CA⊥CB，可得△ABC是直角三角形故选：C【点评】本题给出三角形ABC中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．7．函数f（x）=cos（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到f（x）的图象，只需将函数g（x）=sin（ωx+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先由周期求得ω，再利用诱导公式、函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=cos（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π=，∴ω=2，f（x）=cos（2x+），故g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）=cos（2x+﹣）=cos（2x﹣）．把函数g（x）=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，可得y=cos[2（x+）﹣]=cos （2x+）=f（x）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式、余弦函数的周期性，属于基础题．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象可得，代入周期公式求得ω的值，再由五点作图的第二点列式求得φ的值．【解答】解：由图知，∴T=π，即=π，解得：ω=2．由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，∴ω，φ的值分别是2，﹣．故选：A．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．9．函数f（x）=在（0，+∞）内（）A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数y=与y=cosx的图象，从而利用数形结合的思想判断．【解答】解：作函数y=与y=cosx的图象如下，，∵函数y=与y=cosx的图象有且只有一个交点，∴函数f（x）=在（0，+∞）内有且仅有一个零点，故选B．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．10．给出下列命题：①函数y=cos（）是奇函数；②若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；③x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；④函数y=sin（2x+）的图象关于点（）成中心对称．其中正确命题的序号为（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】利用诱导公式变形，结合函数的奇偶性判断①；举例说明②错误；分别求解当x=、的函数值判断③④．【解答】解：①函数y=cos（）=﹣sin，是奇函数，故命题①正确；②若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ，错误，如α=60°，β=390°，tan，tan；③当x=时，函数y=sin（2×+）=﹣1，故命题③正确；④当x=时，函数y=sin（2×+）=1，∴命题函数y=sin（2x+）的图象关于点（）成中心对称错误．∴正确的命题是①③．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．11．设是O是△ABC内一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比值是（）A．B．C．2 D．3【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；平面向量及应用．【分析】延长OB至B'，使OB'=2OB；延长OC至C'，使OC'=3OC，可得O是△AB′C′的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论．【解答】解：延长OB至B'，使OB'=2OB；延长OC至C'，使OC'=3OC，则∴O是△AB′C′的重心∴S△AOC′=S△B′OC′，∵S△AOC=S△AOC′，S△BOC=S△B′′OC′，∴S△AOC：S△BOC=2：1，故选C．【点评】本题主要考查三角形面积的计算，考查向量的加法法则，体现了向量在解决有关平面图形问题题中的优越性．12．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B．C．6 D．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角为 2 ．【考点】扇形面积公式．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意列方程组可解半径r和弧长l，代入α=计算可得．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得lr=4，2r+l=8，解得l=4，r=2，∴扇形的圆心角α==2故答案为：2【点评】本题考查扇形的面积公式和弧长公式，属基础题．14．函数f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调减区间为[﹣，0]，[，π] ．【考点】复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】分解函数：令t=|cosx|，y=（）t，由y=（）t在R上单调递减，故只要考查函数t=|cosx|的单调递增区间，然后由复合函数的单调性可求f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调递减区间．【解答】解：令t=|cosx|，y=（）t，由于y=（）t在R上单调递减，函数t=|cosx|在[kπ，kπ+]（k∈Z）上单调递减，在[kπ﹣，kπ]上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f（x）=（）|cosx|的单调减区间为[kπ﹣，kπ]（k∈Z），故函数f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调减区间为[﹣，0]与[，π]．故答案为：[﹣，0]，[，π]．【点评】本题考查复合函数的单调性，指数函数及三角函数的单调性，是中档题．15．已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是CD的中点．若∠AEF 为钝角，则线段BE长度的取值范围是（1，2）．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】以A为原点，AD、AB所在直线为x、y轴，建立直角坐标系．以AF为直径作圆，由圆的性质可得当点E位于圆内时，∠AEF为钝角，因此求出圆的方程并算出圆与直线y=2的交点（1，2）和（2，2），得到当E的横坐标m∈（1，2）内时点E位于圆内，利用两点的距离公式即可算出线段BE长度的取值范围．【解答】解：以A为原点，AD、AB所在直线为x、y轴，建立直角坐标系∵矩形ABCD中，AB=2且AD=3，F是CD的中点∴F（3，1），设E（m，2）以AF为直径作圆，由圆的性质可得当点E位于圆内时，∠AEF为钝角，∵圆心为（，），半径r=∴圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=令y=2，可得x=1或2，即直线y=2与圆的交点为（1，2）和（2，2）因此，当E的横坐标m∈（1，2）内时，点E位于圆内时，∠AEF为钝角此时1＜BE＜2，即BE∈（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题给出矩形满足的条件，求动点E满足∠AEF为钝角时BE长度范围．着重考查了解三角形、圆的方程和圆的几何性质等知识，属于中档题．16．定义平面向量的一种运算：⊗=||•||sin＜，＞，则下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=（⊗）+（⊗）；④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题是①④（写出所有真命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】①根据定义不难得出⊗=⊗是正确的；②需对参数λ进行分类讨论，再依据定义即可判断其正确性；③直接代入定义即可验证；④根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．【解答】解：①由于⊗=||•||sin＜，＞，则⊗=||•||sin＜，＞=||•||sin＜，＞=⊗，故①正确；②由于⊗=||•||sin＜，＞，当λ＞0时，λ（⊗）=λ||•||sin＜，＞，（）⊗=||•||sin＜，＞=λ||•||sin＜，＞=λ||•||sin＜，＞，故λ（⊗）=（λ）⊗当λ=0时，λ（⊗）=0=（λ）⊗，故λ（⊗）=（λ）⊗当λ＜0时，λ（⊗）=λ||•||sin＜，＞（λ）⊗=|λ|•||sin＜λ，＞=﹣λ||•||sin＜λ，＞=﹣λ||•||×sin（π﹣＜，＞）=﹣λ||•||sin＜，＞，故λ（⊗）≠（λ）⊗故②不正确；③显然（+）⊗=（⊗）+（⊗）不正确；④令=（x1，y1），=（x2，y2），则，则=，即有⊗==|x1y2﹣x2y1|，故④正确故答案为：①④．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需根据新定义对四个结论逐一进行判断，即可得到正确的结论．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知，，与的夹角为60°．（1）求与的夹角的余弦值；（2）当取得最小值时，试判断与的位置关系，并说明理由．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】（1）先设与的夹角为θ，根据向量的数量积的定义先求，根据向量的数量积的性质求，代入向量的夹角公式可求cosθ（2）令根据向量的数量积的性质可得，整理可得关于t的二次函数，根据二次函数的性质可求【解答】解：（1）设与的夹角为θ，于是，，于是．（2）令，当且仅当时，取得最小值，此时，所以．【点评】本题主要考查了屏幕向量的基本运算，解决问题的关键是熟练运用向量数量积的性质：||=，还有主要二次函数的性质在求解最值中的应用．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）当x∈[]时，求f（x）的值域．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、单调性，求得函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．【解答】解（1）由最低点为M（，﹣2），可得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，可得=，即T==π，ω=2．由点M（，﹣2）在图象上，可得2sin（2•+φ）=﹣2，即sin（+φ）=﹣1，故+φ=2kπ﹣，k∈Z，结合0＜φ＜，可得φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，得 kπ+≤x≤kπ+，故函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵x∈[]，∴2x+∈[，]，故当 2x+=时，f（x）取得最大值为2；故当 2x+=时，f（x）取得最小值为﹣1．故f（x）的值域为[﹣1，2]．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．19．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元，据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润（1﹣）万元：当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9万元，为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】利用在岗员工人数乘以留岗员工每人每年可为企业多创利；分两段求出企业年利润，得到的是分段函数；利用基本不等式求出第一段函数的最大值；再利用一次函数的单调性求出第二段函数的最大值，从两个最大值中比较出最大值．【解答】解：设重组后，该企业年利润为y万元．当待岗人员不超过1%时，由1﹣＞0，x≤2000×1%=20，得0＜x≤20（x∈N），则y=（3.5+1﹣）﹣0.5x=﹣5（x+）+9000.36，当待岗人员超过1%且不超过5%时，由20＜x≤2000×5%，得20＜x≤100（x∈N），则y=（3.5+0.9）﹣0.5x=﹣4.9x+8800．∴y=，当0＜x≤20且x∈N时，有y=﹣5（x+）+9000.36≤﹣5×2+9000.36=8880.36，当且仅当x=，即x=12时取等号，此时y取得最大值，最大值是8880.36；当20＜x≤100且x∈N时，函数y=﹣4.9x+8800为减函数．所以y＜﹣4.9×20+8800=8702．综上所述，当x=12时，y有最大值8880.36万元．即要使企业年利润最大，应安排12名员工待岗．【点评】本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查求分段函数的最值时分段求再挑出最值中的最值、考查利用基本不等式求函数的最值注意满足的条件：一正、二定、三相等．20．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，设．（1）证明：A、B、C三点共线的条件是λ+μ=1（2）若成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意x∈[，]，不等式|a﹣lnx|﹣ln[f（x）﹣3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】平面向量的综合题．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；平面向量及应用．【分析】（1）A，B，C三点共线时便有，从而可以得到，这样即可得出λ+μ=1；（2）根据（1）便有，从而可以解出y，这样即可得出y=f（x）的解析式为f（x）=；（3）根据条件可以得到或在x上恒成立，可设g（x）=，可以判断g（x），h（x）在上都是增函数，从而得出，这样便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：若A，B，C三点共线，则：；∴；∴；又；∴λ+μ=1﹣k+k=1；即λ+μ=1；（2）∵A，B，C三点共线；由（1）知，若，则λ+μ=1；∴由得：；∴；即；（3）原不等式为；∴，或；设，；依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在上恒成立；g（x）与h（x）在上都是增函数；∴为g（x）在上的最小值，为h（x）的最大值；∴，或；∴实数a的取值范围为（）∪（，+∞）．【点评】考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，绝对值不等式的解法，以及对数的运算，复合函数单调性的判断，根据单调性求函数在闭区间上的最值．21．已知定义在R上的奇函数．（1）求a、b的值；（2）若不等式对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（﹣1，1）时，g（x）=f （x）﹣x，求方程g（x）=0的所有解．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；函数的周期性．【专题】综合题；探究型；转化思想．【分析】（1）由题意，函数在R上是奇函数，由于其在原点有定义故一定有f（0）=0，再结合f（﹣1）=﹣f（1），由此两方程即可求出a、b的值；（2）本小题的不等式恒成立，故可由（1）解出的函数解析式求出函数的最值，将恒成立的不等式﹣m2+（k+2）m﹣转化成对 m∈R恒成立，再由二次函数的性质研究此不等式组，解出参数K的取值范围；（3）由题设条件函数是周期为2的奇函数，故可先研究其一个周期上的零点，再由周期性得出所有的零点，由于函数是奇函数易得f（0）=0，再由周期性的性质与奇函数的性质可得出由此解得f（﹣1）=f（1）=0，由此知一个周期上的零点，再由周期性得出结论【解答】解：（1）由于f（x）为R上的奇函数，故 f（0）=0，得b=1…则由 f（﹣1）=﹣f（1）得，解得 a=2∴…（2）由（1）由 2x+1＞1知则…要使对一切实数x及m恒成立则需且只需对 m∈R恒成立即对 m∈R恒成立…只需解得﹣1≤k≤0…（3）当x∈（﹣1，1）时显然及﹣x均为减函数，故g（x）在（﹣1，1）上为减函数…由于g（0）=0，故在（﹣1，1）内g（x）=0有唯一根x=0由于g（x）周期为2，由此有x∈（2k﹣1，2k+1）内有唯一根x=2k（k∈N）（1）…综合得x=2k（k∈N）为g（x）=0的根又因为g（﹣1）=g（﹣1+2）=g（1）得﹣g（1）=g（1）故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）（2）…综合（1）（2）有g（x）=0的所有解为一切整数…【点评】本题考查函数恒成立的问题，函数恒成立的问题由于其抽象，推理难度大，方法不易得出而使得解此类题比较困难，解此类题，理解题意，对题设中所给的恒成立的关系进行准确转化是解题的关键，本题考查了转化的思想，对探究意识要求较高，在高考试卷上多以压轴题的形式出现，由于此类题思维难度过大，新教材实验区已多年没有出现这样的题了。
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二上学期期末考试文科数学试卷
汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期期末考试 高文科数学试题卷命题人：本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) ，则为（） A． B． C． D． 2．设的导函数数为，则的值为（） A. B. C. D. 3.已知条件：，则是成立的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既充分不又不必要条件 4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1 ( ) 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A． B． C． D． 7．已知圆的方程为.设该圆过点P（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD 的面积为（） A． 10 B. 20 C. 30 D. 40 8．已知在上是单调增函数，则的是 B． C． D． 9．直线mx＋ny＝4和圆O: x2＋y2＝4没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆的交点个数为( )A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 11．如右图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，以下四个命题： ①点是△的垂心；②垂直平面 ③直线和所成角为；的延长线经过点 其中假命题的个数为( )A 0B 1C 2D 3 12．已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数)、极小值为，且∈(0,1)，∈(1,2),则的取值范围是( ). A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 1在点P(1,1)处的切线互相垂直，则的值为 14．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 . 15．已知点F是的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为 ,对一切恒成立; 命题: 函数在上是增函数.若或为真, 且为假,则实数的取值范围为_______. 三、解答题：（本大题共小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）的内角的对边分别为，且 （1）求的大小；（2）若且三角形ABC的面积为1 ，求的值。
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知条件p：log2（x﹣1）＜1；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件2．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln23．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．85．在△ABC中，AB=2，AC=3， =，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．407．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．29．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C． D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．11．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，412．下列四个命题中p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）x；p2：∃x∈（0，1），log x＞log x；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＜（）xp4：：∀x∈（0，），（）x＜log x其中真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4二、填空题（每空5，共计20分）13．函数的单调递减区间为．14．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．15．正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为．16．平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是．三、解答题（共5小题，每题14分）17．已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c 的最大值．18．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；（Ⅱ）求f（x）的极值．21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知条件p：log2（x﹣1）＜1；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】log2（x﹣1）＜1，|x﹣2＜1|，求解两个不等式，即可判断．【解答】解：∵p：log2（x﹣1）＜1，∴1＜x＜3，∵q：|x﹣2|＜1∴1＜x＜3，根据充分必要条件的定义可判断：p是q成立的充分必要条件，故选：C【点评】本题考察了充分必要条件的定义，对数不等式，绝对值不等式，属于容易题．2．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=， =3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．4．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】双曲线的定义；余弦定理．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．5．在△ABC中，AB=2，AC=3， =，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，用向量、表示出与，再求它们的数量积．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=2，AC=3，∴==（﹣），∴D是BC的中点，∴=（+）；∴•=（+）•（﹣）=（﹣）=×（32﹣22）=．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，是基础题目．6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【考点】直线与圆相交的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选B【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．7．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【专题】压轴题．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．9．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C． D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=，则z==||•=||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．11．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4【考点】等比数列的性质．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】根据新定义，结合等比数列性质a n a n+2=a n+12，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知a n a n+2=a n+12，①f（a n）f（a n+2）=a n2a n+22=（a n+12）2=f2（a n+1），故正确；②f（a n）f（a n+2）=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（a n+1），故不正确；③f（a n）f（a n+2）===f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠ln|a n+1|2=f2（a n+1），故不正确；故选B．【点评】本题考查新定义，考查等比数列性质及函数计算，理解新定义是解题的关键．12．下列四个命题中p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）x；p2：∃x∈（0，1），log x＞log x；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＜（）xp4：：∀x∈（0，），（）x＜log x其中真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；推理和证明．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：p1：∀x∈（0，+∞），（）x＞（）x，故p1不正确；p2：∀x∈（0，1），log x＞log x；故正确；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞（）x，故不正确；p4：：∀x∈（0，），（）x＜1＜log x，故正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，考查指数、对数函数的性质，比较基础．二、填空题（每空5，共计20分）13．函数的单调递减区间为（0，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．14．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a ＞2} ．【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}【点评】本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．15．正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；空间位置关系与距离；球．【分析】由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由正三棱锥A﹣BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心，由线面垂直的性质可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD，可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形，故AB=AC=AD=2，将正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，即有2R=2，可得R=，由球的表面积公式可得S=4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题．16．平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是（0，] ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知给出的两个向量，不共线，则三个向量构成三角形，在三角形中运用余弦定理得到关系式所以，由有解，利用判别式大于等于0可求|的范围．【解答】解：由题意可知向量不共线，则，所以，由，且平面向量为非零向量得：．故答案为（0，]．【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了转化思想，解答此题的关键是把给出的数学问题转化为方程有解，是中档题．三、解答题（共5小题，每题14分）17．已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c 的最大值．【考点】余弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．（2），求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．【解答】解：（1）∵函数的周期是π，∴T=，则ω=2，则f（x）=2cos（2x+φ），∵为它的图象的一条对称轴，∴2×（﹣）+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ+，∵0＜φ＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2cos（2x+），若时，2x∈，2x+∈，即当2x+=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，当2x+=时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，即函数的值域为．（2）若，则2cos=2cos（﹣A+）=，即cos（﹣A+）=，额cos（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，即A﹣=，即A=，∵a=3，∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2﹣bc=9，即（b+c）2﹣3bc=9即3bc=（b+c）2﹣9，∵bc≤（）2，（b+c）2﹣9≤3（）2，即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，则（b+c）2≤36，即0＜b+c≤6，即b+c的最大值是6．【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．18．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；证明题；分类讨论；等差数列与等比数列．【分析】（1）解方程可得a2=3，a5=9，从而求得a n=2n﹣1；讨论n以确定b1=；n≥2时b n=b n﹣1，从而解得{b n}的通项公式；（2）化简c n=a n•b n=2（）n•（2n﹣1），从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．【解答】解：（1）∵x2﹣12x+27=0，∴x=3或x=9，又∵等差数列{a n}是递增数列，且a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，∴a2=3，a5=9，∴a n=2n﹣1；①当n=1时，b1=1﹣b1，故b1=；②当n≥2时，S n=1﹣b n，S n﹣1=1﹣b n﹣1，故b n=（1﹣b n）﹣（1﹣b n﹣1），故b n=b n﹣1，故{b n}是以为首项，为公比的等比数列，故b n=•（）n﹣1=2（）n．（2）证明：c n=a n•b n=2（）n•（2n﹣1），T n=•1+•3+•5+…+2（）n•（2n﹣1），3T n=2•1+•3+•5+•7+…+2（）n﹣1•（2n﹣1），故2T n=2+•2+•2+•2+…+4（）n﹣1﹣2（）n•（2n﹣1），故T n=1++++…+2（）n﹣1﹣（）n•（2n﹣1）=1+﹣（）n•（2n﹣1）=2﹣（）n﹣1﹣（）n•（2n﹣1）＜2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF 法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；（Ⅱ）求f（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，由两直线平行的条件得，f′（1）=0，即可求出a；（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，即可得到函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣1+的导数f′（x）=1﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，∴a=e；（2）导数f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；②当a＞0时，e x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；e x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna﹣1+1=lna，无极大值．综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用，求切线方程和求极值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由即，再由点B（2+r，y0）在椭圆上，建立关于r的方程求解．（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．【解答】解：（1）设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由得，即（1）而点B（2+r，y0）在椭圆上，（2）由（1）、（2）式得15r2+8r﹣12=0，解得或（舍去）（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx（3）则，即32k2+36k+5=0（4）解得将（3）代入得（16k2+1）x2+32kx=0，则异于零的解为设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则则直线FE的斜率为：于是直线FE的方程为：即则圆心（2，0）到直线FE的距离故结论成立．【点评】本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系．。
广东省汕头市金山中学1617学年度高二上学期入学模拟考试——数学数学
广东省汕头市金山中学2015—2016学年度上学期入学模拟考试高二数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合，集合，则等于A．B．C．D．2、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是A．＜B．ab＜b2C．ac2＜bc2D．a2＞ab＞b23、设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=A．0 B．1 C．2 D．﹣24、在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为A．B．C．D．5、已知偶函数在内单调递减，若，，，则、、之间的大小关系是A．B．C．D．6、设是方程的两个根,则的值为A．B．C．1 D．37、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙8、把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是A．y=sin（2x﹣）（x∈R）B．y=sin（）（x∈R）C．y=sin（2x+）（x∈R）D．y=sin（2x+）（x∈R）9、若图1的框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是A．？B．？C．？D．？10、在等差数列中, , ,则的前项和A. B. C. D.11、已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足|，则的最小值是A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣112、已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2﹣x ），若函数y=|x 2﹣2x ﹣3|与 y=f （x ） 图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则x i = A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 二、填空题（每小题5分，共20分）13、从某班位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为,则在这位老师中,女老师有_______人.14、已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则的取值范围是15、若0＜α＜，cos （+α）=，则cosα16、若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有，则的取值范围是三、解答题（共70分） 17、（12分）正项数列的前项和为，满足 （1）求的通项公式（2）设，求数列的前项和。
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2015高一入学考试数学试题一、选择题1、下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±2、已知关于x 的方程2x ＋k x －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 3、如图，BD 、CE 是ABC ∆的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ） （A ）1：3 （B ）1：4 （C ）1：5 （D ）1：64、函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定5、如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ） （A ）α＋β ≥12 （B ）α＋β ≤12（C ）α＋β ≥ 1 （D ）α＋β ≤ 1 6、不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数7、方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标，则方程0132=-+x x 的实根x 0所在的范围是（ ）（A ）0＜x 0＜41 （B ）41＜x 0＜31 （C ）31＜x 0＜21（D ）21＜x 0＜1 8、下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个①方程2x ＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程2x －2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程32x －7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程32x ＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、如图，已知ABC ∆周长为1，连结ABC ∆三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）（A ）12002 （B ）12003 （C ）200212 （D ）20031210、等式=成立的条件是（ ）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<二、填空题11、方程22x ＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ 。
12、已知四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB //CD ，AB =8cm,CD =6cm, ⊙O 的半径等于5cm ，则梯形ABCD 的面积为 。
13、分解因式：x y xy x 332-+-= 。
14、如图，AB 是半圆O 的直径，且8AB =，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π） 15、已知一元二次方程0)12(22=-+--m m x m x 的两根均大于0且小于2，则m 的取值范围为 。
16、已知x y ==22353x xy y -+的值是 ． 三、解答题17、若1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根。
（1）求|1x －2x |的值； （2）求221211x x +的值； （3）求31x ＋32x 的值。
18、二次函数12---=mx x y 与x 轴两交点分别为)0,(),0,(21x B x A ，且321<<x x ，求m 的取值范围。
B19、如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，求OD.20、已知：如图①，直线y =+x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，两动点D 、E 分别从A 、B两点同时出发向O 点运动（运动到O 点停止，如图②）；对称轴过点A 且顶点为M 的抛物线)0()(2<+-=a h k x a y 始终经过点E ，过E 作EG ∥OA 交抛物线于点G ，交AB 于点F ，连结DE 、DF 、AG 、BG ，设D 、E 的运动速度分别是1个单位长度//秒，运动时间为t 秒． （1）用含t 代数式分别表示BF 、EF 、AF 的长； （2）当t 为何值时，四边形ADEF 是菱形？（3）当△ADF 是直角三角形，且抛物线的顶点M 恰好在BG 上时，求抛物线的解析式．2015高一入学考试数学试题答题卷班级_________ 姓名_____________ 座号_________ 分数__________一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上.图①11． ． 12． ．13． ． 14． ．15． ． 16． ．三、解答题（本大题共有4小题，共50分．请在答题．．卷．指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分） 18．（本题满分10分） 19．（本题满分15分） 20．（本题满分15分）参考答案DCBAC ABBCC11、3 12、7或492cm 13、)3)((--x y x 14、38π15、21<<m 16、28917、解： ∵1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-。
（1）∵| 1x －2x |2＝x 12+ x 22－2 21x x ⋅＝(1x +2x )2－421x x ⋅＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，图①∴|1x -2x |＝72。
（2）22221212122222221212125325()2()3()21137224()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-。
（3）31x ＋32x ＝(1x +2x 2)( 21x －21x x ⋅＋22x )＝(1x +2x )[ (1x +2x ) 2－321x x ⋅]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158。
18、解：设函数1)(2---==mx x y x f ，则因为函数的两根321<<x x ，有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=∆<--=<-040310)3(322m m f m，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<>->->2或23106m m m m 。
∴借助数轴，可以得知m 的取值范围为2310-<<-m 或2>m 。
19、解：如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又BC AC ⊥，所以OP AC ⊥， 又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==， 在Rt OCD ∆中，122OC AB ==， 由于AC OP ⊥，因此DOC COP OCD CPO ∠=∠∠=∠,，因此ODC OCP ∆∆~，ODOCOC OP =， 所以2OC OP OD =⋅，即222812OC OD OP===．20、解：（1）t BF 2=，t EF =，t AF 22-= （10≤≤t ） （2）①在t DO t EO DOE Rt -=-=∆133，中，∴)1(2)1()33(2222t t t DO EO DE -=-+-=+=∵t EF =，t AD =，OA EG // ∴四边形ADEF 为平行四边形． 若四边形ADEF 为菱形，则有DE AD =∴)1(2t t -=解之得32=t ，即当32=t 时四边形ADEF 为菱形．(3) ①当时︒=∠90ADF ，如图，则有DF //OB∴AO AD OB DF =即1333t t =- ∴21=t ，（另：易证︒=∠∆∆30,ABO Rt AOB 且为 ∴AD EF AD AF EF BF ===而,2,2∴BF AF =,即F 为AB 的中点，21=t ）又由对称性可知EG=2AO=2∴),23,2(),23,0(),3,0(G E B 设直线BG 的解析式为b kx y +=，把B 、G 两点的坐标代入有：⎪⎩⎪⎨⎧+==b k b 2233 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==433k b∴343+-=x y令433,1==y x 则，∴ M (1，433)设所求抛物线的解析式为433)1(2+-=x a y ，又)23,0(E ∴433)10(232+-=a 解之得43-=a 故所求解析式为2323432++-=x x y ②当时︒=∠90AFD ，如图， 在,30︒=∠∆ADF ADF Rt 中，,t AD =由∴t AF 21= 由（1）有t AF 22-=∴t t 2221-= 解之得：54=t ∴),53,2(),53,0(),3,0(G E B设直线BG 的解析式为n mx y += 把B 、G 两点的坐标代入有：⎪⎩⎪⎨⎧=+=5323n m n 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-==5323m n∴3532+-=x y令533,1==y x 则，∴M （1，533)设所求抛物线的解析式为533)1(2+-=x a y 又)53,0(E ∴533)10(532+-=a 解之得532-=a 故所求解析式为535345322++-=x x y 综上所求函数的解析式为：2323432++-=x x y 或535345322++-=x x y ．。