初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾.pptx
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故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形。 二、赋值法
将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法 叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式 有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。
例 8 一群旅游者，从 A 村走到 B 村，路线如下图所示。怎样走才能在最短 时间内到达 B 村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。
下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC 的三条边都是红色的。若△ DEF 也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；若△DEF 三边中有一条 边为蓝色，设其为 DE，再考虑 DA，DB，DC 三条线段：若其中有两条为红色，则 显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为 DA，DB。此时在 EA， EB 中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在 一个红色三角形。
若把图（3）放在（7，12，13，17）位置上，则方格 1 这一格只能由图（2） 或图（6）来占据。如果图（2）放在（1，2，3，4），那么图（6）无论放在何
Leabharlann Baidu 学无 止 境
处都要出现孤立空格；如果把图（6）放在（1，4，5，10），那么 2，3 这两格 放哪一图形都不合适。
例 6 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是 1×2×4。现在有一批现成 的木箱，内空尺寸是 6×6×6。问：能不能用这些商品将木箱填满？
解：我们用染色法来解决这个问题。先将 6×6×6 的木箱分成 216 个小正方 体，这 216 个小正方体，可以组成 27 个棱长为 2 的正方体。我们将这些棱长为 2 的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。
解：如下图，将 8×8 的棋盘染成黑白相间的形状。如果 15 个“T”字形纸 片和 1 个“田”字形纸片能够覆盖一个 8×8 的棋盘，那么它们覆盖住的白格数 和黑格数都应该是 32 个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖 1 个或 3 个白格，而 1 和 3 都是奇数，因此 15 个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田 ” 字形纸片一定覆盖 2 个白格，从而 15 个“T”字形纸片与 1 个“田”字形纸片所 覆盖的白格数是奇数，这与 32 是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。
那么其它图形如何拼呢？为了说明方便，给每一格编一个数码（见左下图）。
因为图（3）是 3 白 1 黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在（1，3，4 ， 5）或（7，12，13，17）或（11，15，16，21）这三个位置上。
若放在（1，3，4，5）位置上，则图（6）只能放在（7，12，13，18）或（15 ， 16，19，20）或（2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行 的， 否则角上会空出一格。若放在（2，7，8，13）上，则图（2）只能放在（ 12，17， 18，19）位置上，此时不能同时放下图（4）和图（5）。
学无止 境
解：如左下图所示，将 8×8 方格黑白交替地染色。
此题允许右上图所示的 6 个操作，这 6 个操作无论实行在哪个位置上，白格 中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图 1 中白格中的数字之和减 去黑格中的数字之和，与图 2 中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等， 都等于 32，由（31＋A）-32=32，得出 A=33。
将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。像 国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关 系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称 为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。
例 1 用 15 个“T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片（如下图所示），能否 覆盖一个 8×8 的棋盘？
例 7 6 个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明： 存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互 相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。
学无 止 境 证明：将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条 红色线段，否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色 的三角形。 设这六个点为 A，B，C，D，E，F。我们先证明存在一个同色的三角形： 考虑由 A 点引出的五条线段 AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成 了相同的颜色，不妨设 AB，AC，AD 同为红色。再考虑△BCD 的三边：若其中有 一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三 角形。
容易计算出，有 14 个黑色的，有 13 个白色的。现在将商品放入木箱内，不 管怎么放，每件商品要占据 8 个棱长为 1 的小正方体的空间，而且其中黑、白色 的必须各占据 4 个。现在白色的小正方体共有 8×13=104（个），再配上 104 个 黑色的小正方体，一共可以放 26 件商品，这时木箱余下的是 8 个黑色小正方体 所占据的空间。这 8 个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是 容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。
如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为 偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法， 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
例 5 图 1 是由数字 0，1 交替构成的，图 2 是由图 1 中任选
多次形成的。问：图 2 中的 A 格上的数字是多少？
减 1，如此反复
解：我们先把从 A 村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一 标注，如下图所示。
由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60 分钟）内从 A 村走 到 B 村。
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例 9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直 线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字 之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这 五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每 个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加 过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方 案不能实现。
例 3 8×8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2×2 的正方形和 9 个 4×1 的 长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。
解：如下图，对 8×8 的棋盘染色，则每一个 4×1 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格，每一个 2×2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 3 白 1 黑小方格。推知 7 个 正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为 32，是一个偶数，故这 种剪法是不存在的。
例 2 如左下图，把正方体分割成 27 个相等的小正方体，在中心的那个小正 方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方 体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走 遍所有的正方体吗？
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解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成 27 个小正 方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻 的小正方体染上不同的颜色。显然，在 27 个小正方体中，14 个是黑的，13 个是 白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它 走 27 步，应该经过 14 个白色的小正方体、13 个黑色的小正方体。因此在 27 步 中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小 正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。
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初一数学竞赛讲座
第 11 讲 染色和赋值
染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而 言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是 能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色 的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些，我们可 将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以 及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法
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8 15 3 14 1 4 22 24
表3 11 2 4 19 8 5 24 7 18 20 2 19 3 6 25 1
表4 容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而 16 个数字的和的奇偶性 没有改变。因为表 3 中 16 个数字的和为 213，表 4 中 16 个数字的和为 174，它 们的奇偶性不同，所以表 3 不能变成表 4，即表 1 不能变成表 2。 例 12 如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图，如果图（1）必须放 在右下图的中间一列，应如何拼？
解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。其中有 11 个白格和 10 个黑格， 当图形拼成后，图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各 2 格，而图形（3） 必须有 3 格是同一种颜色，另一种颜色 1 格。因为前四种图形，黑、白已各占 2 ×4=8（格），而黑格总共只有 10 格，所以图形（3）只能是 3 白 1 黑。由此知 道图（1）一定在中间一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以图（1）在中间 一 列下面的黑格中。
例 10 平面上 n（n≥2）个点 A1，A2，…，An 顺次排在同一条直线上，每点 涂上黑白两色中的某一种颜色。已知 A1 和 An 涂上的颜色不同。证明：相邻两点 间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。
证明：赋予黑点以整数值 1，白点以整数值 2，点 Ai 以整数 值为 ai，当 Ai 为黑点时，ai=1，当 Ai 为白点时，ai=2。再赋予线段 AiAi+1 以 整数值 ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为 2 或 4，两端异色的线段具有 的整数值为 3。 所有线段对应的整数值的总和为 （a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（an-1＋an） ＝a1＋an＋2（a2＋a3＋…＋an-1） ＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋an-1）＝奇数。 设具有整数值 2，3，4 的线段的条数依次为 l，m，n，则 2l＋m＋4n=奇数。 由上式推知，m 必为奇数，证明完毕。 例 11 下面的表 1 是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同 时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序， 每个英文字母变成它的下一个字母（即 A 变成 B，B 变成 C……Z 变成 A）。问 ： 能否经过若干次操作，使表 1 变为表 2？如果能，请写出变化过程，如果不 能， 请说明理由。 S O B R K B DS TZ FPHE X G HOCN RTBS ADVX C FYA 表1表2 解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A 用 1 ， B 用 2……Z 用 26 代替）。这样表 1 和表 2 就分别变成了表 3 和表 4。 每一次操作中字母的置换相当于下面的置换： 1→2，2→3，…，25→26，26→1。 19 15 2 18 20 26 6 16
例 4 在平面上有一个 27×27 的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子， 它们被摆成一个 9×9 的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水 平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的 这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？
解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染 色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两部分中的 棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个 部分的棋子数的奇偶性都要改变。
因为一开始时，81 个棋子摆成一个 9×9 的正方形，显然三个部分的棋子数 是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。
将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法 叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式 有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。
例 8 一群旅游者，从 A 村走到 B 村，路线如下图所示。怎样走才能在最短 时间内到达 B 村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。
下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC 的三条边都是红色的。若△ DEF 也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；若△DEF 三边中有一条 边为蓝色，设其为 DE，再考虑 DA，DB，DC 三条线段：若其中有两条为红色，则 显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为 DA，DB。此时在 EA， EB 中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在 一个红色三角形。
若把图（3）放在（7，12，13，17）位置上，则方格 1 这一格只能由图（2） 或图（6）来占据。如果图（2）放在（1，2，3，4），那么图（6）无论放在何
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处都要出现孤立空格；如果把图（6）放在（1，4，5，10），那么 2，3 这两格 放哪一图形都不合适。
例 6 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是 1×2×4。现在有一批现成 的木箱，内空尺寸是 6×6×6。问：能不能用这些商品将木箱填满？
解：我们用染色法来解决这个问题。先将 6×6×6 的木箱分成 216 个小正方 体，这 216 个小正方体，可以组成 27 个棱长为 2 的正方体。我们将这些棱长为 2 的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。
解：如下图，将 8×8 的棋盘染成黑白相间的形状。如果 15 个“T”字形纸 片和 1 个“田”字形纸片能够覆盖一个 8×8 的棋盘，那么它们覆盖住的白格数 和黑格数都应该是 32 个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖 1 个或 3 个白格，而 1 和 3 都是奇数，因此 15 个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田 ” 字形纸片一定覆盖 2 个白格，从而 15 个“T”字形纸片与 1 个“田”字形纸片所 覆盖的白格数是奇数，这与 32 是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。
那么其它图形如何拼呢？为了说明方便，给每一格编一个数码（见左下图）。
因为图（3）是 3 白 1 黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在（1，3，4 ， 5）或（7，12，13，17）或（11，15，16，21）这三个位置上。
若放在（1，3，4，5）位置上，则图（6）只能放在（7，12，13，18）或（15 ， 16，19，20）或（2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行 的， 否则角上会空出一格。若放在（2，7，8，13）上，则图（2）只能放在（ 12，17， 18，19）位置上，此时不能同时放下图（4）和图（5）。
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解：如左下图所示，将 8×8 方格黑白交替地染色。
此题允许右上图所示的 6 个操作，这 6 个操作无论实行在哪个位置上，白格 中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图 1 中白格中的数字之和减 去黑格中的数字之和，与图 2 中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等， 都等于 32，由（31＋A）-32=32，得出 A=33。
将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。像 国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关 系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称 为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。
例 1 用 15 个“T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片（如下图所示），能否 覆盖一个 8×8 的棋盘？
例 7 6 个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明： 存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互 相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。
学无 止 境 证明：将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条 红色线段，否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色 的三角形。 设这六个点为 A，B，C，D，E，F。我们先证明存在一个同色的三角形： 考虑由 A 点引出的五条线段 AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成 了相同的颜色，不妨设 AB，AC，AD 同为红色。再考虑△BCD 的三边：若其中有 一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三 角形。
容易计算出，有 14 个黑色的，有 13 个白色的。现在将商品放入木箱内，不 管怎么放，每件商品要占据 8 个棱长为 1 的小正方体的空间，而且其中黑、白色 的必须各占据 4 个。现在白色的小正方体共有 8×13=104（个），再配上 104 个 黑色的小正方体，一共可以放 26 件商品，这时木箱余下的是 8 个黑色小正方体 所占据的空间。这 8 个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是 容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。
如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为 偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法， 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
例 5 图 1 是由数字 0，1 交替构成的，图 2 是由图 1 中任选
多次形成的。问：图 2 中的 A 格上的数字是多少？
减 1，如此反复
解：我们先把从 A 村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一 标注，如下图所示。
由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60 分钟）内从 A 村走 到 B 村。
学无 止 境
例 9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直 线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字 之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这 五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每 个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加 过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方 案不能实现。
例 3 8×8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2×2 的正方形和 9 个 4×1 的 长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。
解：如下图，对 8×8 的棋盘染色，则每一个 4×1 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格，每一个 2×2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 3 白 1 黑小方格。推知 7 个 正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为 32，是一个偶数，故这 种剪法是不存在的。
例 2 如左下图，把正方体分割成 27 个相等的小正方体，在中心的那个小正 方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方 体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走 遍所有的正方体吗？
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解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成 27 个小正 方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻 的小正方体染上不同的颜色。显然，在 27 个小正方体中，14 个是黑的，13 个是 白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它 走 27 步，应该经过 14 个白色的小正方体、13 个黑色的小正方体。因此在 27 步 中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小 正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。
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第 11 讲 染色和赋值
染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而 言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是 能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色 的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些，我们可 将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以 及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法
学无 止 境
8 15 3 14 1 4 22 24
表3 11 2 4 19 8 5 24 7 18 20 2 19 3 6 25 1
表4 容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而 16 个数字的和的奇偶性 没有改变。因为表 3 中 16 个数字的和为 213，表 4 中 16 个数字的和为 174，它 们的奇偶性不同，所以表 3 不能变成表 4，即表 1 不能变成表 2。 例 12 如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图，如果图（1）必须放 在右下图的中间一列，应如何拼？
解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。其中有 11 个白格和 10 个黑格， 当图形拼成后，图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各 2 格，而图形（3） 必须有 3 格是同一种颜色，另一种颜色 1 格。因为前四种图形，黑、白已各占 2 ×4=8（格），而黑格总共只有 10 格，所以图形（3）只能是 3 白 1 黑。由此知 道图（1）一定在中间一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以图（1）在中间 一 列下面的黑格中。
例 10 平面上 n（n≥2）个点 A1，A2，…，An 顺次排在同一条直线上，每点 涂上黑白两色中的某一种颜色。已知 A1 和 An 涂上的颜色不同。证明：相邻两点 间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。
证明：赋予黑点以整数值 1，白点以整数值 2，点 Ai 以整数 值为 ai，当 Ai 为黑点时，ai=1，当 Ai 为白点时，ai=2。再赋予线段 AiAi+1 以 整数值 ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为 2 或 4，两端异色的线段具有 的整数值为 3。 所有线段对应的整数值的总和为 （a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（an-1＋an） ＝a1＋an＋2（a2＋a3＋…＋an-1） ＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋an-1）＝奇数。 设具有整数值 2，3，4 的线段的条数依次为 l，m，n，则 2l＋m＋4n=奇数。 由上式推知，m 必为奇数，证明完毕。 例 11 下面的表 1 是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同 时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序， 每个英文字母变成它的下一个字母（即 A 变成 B，B 变成 C……Z 变成 A）。问 ： 能否经过若干次操作，使表 1 变为表 2？如果能，请写出变化过程，如果不 能， 请说明理由。 S O B R K B DS TZ FPHE X G HOCN RTBS ADVX C FYA 表1表2 解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A 用 1 ， B 用 2……Z 用 26 代替）。这样表 1 和表 2 就分别变成了表 3 和表 4。 每一次操作中字母的置换相当于下面的置换： 1→2，2→3，…，25→26，26→1。 19 15 2 18 20 26 6 16
例 4 在平面上有一个 27×27 的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子， 它们被摆成一个 9×9 的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水 平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的 这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？
解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染 色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两部分中的 棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个 部分的棋子数的奇偶性都要改变。
因为一开始时，81 个棋子摆成一个 9×9 的正方形，显然三个部分的棋子数 是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。