理论力学 第10章 动静法

理论力学
第十章 动静法
§ 10-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
FI
ma F FN
惯性力
m
FN
Fg ma F FN Fg 0
F
ma
－－质点的达朗贝尔原理
作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形
式上组成平衡力系.
§ 10-2
3．平行轴定理
J z J zC md
2
式中 zC 轴为过质心且与
z 轴平行的轴，d 为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积.
证明：
J zC mi ( x12 y12 )
mx (Fi( e ) ) M gx 0 mz i( e )） M gz 0 （F
m y (Fi( ) ) M gy 0
Fg1 , Fg2 , , Fgn

F
Rg
, M go
例10-1 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮
缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影 响，求轮缘横截面的张力。
( F Fg )r M gC 0
３．运动学补充方程
aC r
结果
2F aC 3m
例1０-６
已知：均质圆盘 m1 , R, 纯滚动.均质杆 l 2 R, m2 . 求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
解:
刚好离开地面时,地面约束力为零.
１．研究整体
FIA m1a A ,
m, J ,m1, m2 , r1
O
,
r2 ，不计摩擦.
（2）轴承O 处约束力 FN （3）绳索张力 FT1， FT2
解：1.研究整个质点系统
Fg1 m1a1
Fg 2 m2 a2
M gO J O
2.列平衡方程
F
y
0
FN mg m1 g m2 g Fg1 Fg 2 0
注意内力力系自相平衡
Fi(i ) 0 m o (Fi(i ) ) 0
推得
Fi( e ) Fgi 0
m o (Fi( e ) ) m o (Fgi ) 0
质点系统动力学方程
Fx Fy Fz
(e) ( ) (e)
Fgx 0 Fgy 0 Fgz 0
Fx
(e) (e) (e)
FRgx 0 FRgy 0 FRgz 0
mx (Fi( e ) ) mx (Fgi ) 0 mz Fi(t )） mz (Fgi ) 0 （

Fy Fz
m y (Fi( ) ) m y (Fgi ) 0
质点系
(e) 1
质点系的达朗贝尔原理
(e) (i ) (e ) (i ) F , F , F2 , , F2 ,, Fn , Fn
(i ) 1
m1 , m2 ,, mn
引入第i个质点的惯性力
Fgi mi a i
Fi( e ) Fi (i ) Fgi 0
解：1. 研究重物H
F F
Fg1 m1a1 2ma1
y
0
P T Fg1 0 1
2. 研究三角板BCK
y
0
T sin 45 P2 Fg 2 0
3. 运动学补充方程
vB cos vH 0 2 2 vB t aB cos sin aH 0 2 4l 2
解：1.取四分之一轮缘为研究对象
Fgi mi a in
2.列平衡方程
F
x
ห้องสมุดไป่ตู้
0
F
gi
cos i FA 0
m 2R
mi ds Rd
FA 2
0

m mR 2 R 2 cosd 2 2
mR 2 FB 2
§ 10-3
1.平移
刚体简单运动时惯性力系的简化
2 l 2
l 3
（2）均质圆板对中心轴的转动惯量
M 2 R dm dS rdrd
J z r 2 dm r 2 rdrd
2
k 0
1 4 1 r dr R MR 2 2 2
3
2. 回转半径（惯性半径）
z
Jz m
或
J z m z2
M IA J A ,
FIC m2 aC
F
x
0
F Fs FIA FIC 0
M D 0 FR FIA R M IA FIC R sin 30 m2 gR cos 30 0
D
２．研究 AB 杆
MA 0
m2 aR sin 30 m2 gR cos 30 0
m
O
0
(m1 g Fg1 ) r1 (m2 g Fg 2 ) r2 M gO 0
3.运动学补充方程
a1 r1 a2 r2
4.结果
(m1r1 m2 r2 ) g J O m1r12 m2 r22
FN (m m1 m2 ) g ( m1r1 m2 r2 )
a i aC
rC
m r
M
i i
F
,
g1
, Fg2 ,, Fgn FRg
FRg Fgi mi ai MaC
M go m 0 (Fgi ) ri mi ai ( mi ri ) aC
MrC aC rC ( MaC ) rC FRg
t mO ( Fgi )
( mi ri 2 ) J O
§10-4 刚体对轴的转动惯量
J z mi r i r 2 dm
2 M
1.
简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
M , dm dx l
Jz 1 2 x dm x dx ml 0 3 3
mi [ x12 ( y1 d ) 2 ] J z m i r m i (x y )
2 2 2
mi ( x12 y1 ) 2d mi y1 d 2 mi
2
0
J z J zC md 2
例
1 1 1 1 J C J O Ml 2 Ml 2 Ml 2 Ml 2 4 3 4 12
4．组合法
已知：杆长为 l 质量为 m1 ，圆盘半径为 d ，质量为 m2 .
J 求： O .
解：
J O J O杆 J O 盘
1 2 J O杆 ml 3 1 d 2 d 2 J O盘 m2 ( ) m2 (l ) 2 2 2
3 2 2 m 2 ( d l ld ) 8 1 2 3 2 2 J O m1l m2 ( d l ld ) 3 8
如图，均质杆AB长l, 质量m，初始处于铅垂静止位置。今在 距铰链h处作用一水平力F，求力F作用瞬间铰链A的约束反 力。当h取何值时铰链A处的水平约束反力为零？
§ 10-5
刚体平面运动动力学方程
1.刚体平面运动惯性力系的简化
F
g1
, Fg 2 ,, Fgn
向质心简化o
F
Rg
, M gC

2.定轴转动（平面）
F
g1
, Fg 2 ,, Fgn
t i n i
向转轴O简化
F
Rg
, M go
ai a a
ait ri
ain 2 ri
FRg Fgi mi ai MaC
t n M gO mO (Fgi ) mO (Fgi Fgi )
已知：m , R1 , R2。 解：
J 求 ： z.
J z J1 J 2
1 1 2 2 m1 R1 m 2 R2 2 2
2 其中 m1 πR12l m2 π R2 l 1 4 J z π l ( R14 R2 ) 2 1 π l ( R12 R22 )( R12 R22 ) 2
FRg Fgi mi ai MaC
,
n a i a c a tiC a iC ac α ric ω (ω ric )
t n Fgi mi a c FgiC FgiC
t n M gC mC (Fgi ) mC (mi a c FgiC FgiC )
2 2 由 π l ( R1 R2 ) m，得 1 2 J z m( R12 R2 ) 2
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.
由
T 2
J mgl
其中 m, l 已知,T 可测得，从而求得 J .
例10-4：已知 求:（1）
OC
M gC 0
例10-2 如图：框架底座CE以加速度a0 沿水平面运动。 已知：mABC=2m, mDE=0， CD=CE=BD=h, AB=2h， 不计摩擦。试求杆DE的内力
解：
1. 取直角弯杆ABCE为研究对象
Fg1 Fg 2 ma0
2. 平衡方程
m
C
0
PAB h Fg1 2h Fg 2 h S DE h cos 45 0
均质细杆长l，质量为ml，上端B靠在光滑的墙上，下端A以 铰链与均质圆柱的中心相连。圆柱质量为m2,半径为R，放 在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动， 杆与水平线的交角θ=45°。求点A在初瞬时的加速度。
平衡力系

( e) (i ) (e) (i ) F , F , Fg1 , F2 , , F2 , Fg 2 , Fn , Fn , Fgn
(e) 1 (i ) 1

力系平衡条件
Fi( e ) Fi(i ) Fgi 0
m (F
o
(e) i
) m o (Fi(i ) ) m o (Fgi ) 0
圆柱体A半径为 R，其上缠有绳子，绳子的一端绕过半径为 R/2 的滑轮 B 。并系在圆柱体的质心上。已知 mA=2mB=2m, 并假定绳子与各物体之间无滑动，试求圆柱体质心A的加速 度。
图示均质杆AB长为l，放在铅直平面内，杆的一端A靠在光滑 的铅直墙上，另一端B放在光滑的水平地板上，并与水平面 成φ 0角。此后，令杆由静止状态倒下。求: (1)杆在任意位置 时的角加速度和角速度; (2)当杆脱离墙时，此杆与水平面所 夹的角。
3. 结果
S DE
m 3a0 g 2
例10-3 均质三角板BCK质量为m，由两根平行的无重杆AB、 CD支撑。重物H的质量为2m。初始系统静止，θ =90o，求该 瞬时重物H的加速度。
例10-3 均质三角板BCK质量为m，由两根平行的无重杆AB、 CD支撑。重物H的质量为2m。初始系统静止，θ =90o，求该 瞬时重物H的加速度。
３．运动学补充方程
a A R
aC a A
3 3 F m1 m2 3 g Fs m1 g 2 2
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
曲柄OA质量为ｍ，在力偶Ｍ作用下绕轴O转动，并借助连 杆AB驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中作无滑动的滚 动。设OA=AB=R=2r=1 m，轮Ｂ的质量也为ｍ，ＡＢ杆的质 量忽略不计，在图示位置系统从静止开始运动，求该瞬时点B 的加速度。
t mC (FgiC )
( mi ri 2 ) J 0
例10-5 均质圆盘质量为m, 半径为r, 在质心上作用有水 平力F. 若圆盘作纯滚动，求质心加速度 aC
解：１．取圆盘为研究对象
Fg maC
２．列平衡方程
M gC
1 2 J C mr 2
m
D
0
FT1 m1 ( g r1 )
FT2 m2 ( g r2 )
图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA绕水平轴O 作匀角速度ω 转动。已知曲柄OA的质量为ml，OA=r，滑槽BC的质量为m2(重 心在点D)。滑块A的重量和各处摩擦不计。求当曲柄转至图示 位置时，滑槽BC的加速度、轴承O的约束反力以及作用在曲柄 上的力偶矩M。