空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
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' ' l O 轴，2 为 y 轴，求坐标变换公式。
例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y 2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．
§4.8.2 二次曲线与直线的相关位 置
二次曲线的概念
由二元二次方程
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0
所表示的曲线叫做二次曲线(quadratic curve).
注：1. a11 , a12 , a13 不全为零；
2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，
下标“2”代表“y”，交叉项前有2.
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
I2 I2 I2
a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22
0 0 0
椭圆型曲线： 抛物型曲线: 双曲型曲线：
2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所 有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C 叫做二次曲线的中心(central point). 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心， 其充要条件是：
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
(a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 )t 2 2 (a11 x0 a12 y0 a13 ) X (a12 x0 a22 y0 a23 )Y t (a11 x02 2a12 x0 y0 a22 y02 2a13 x0 2a23 y0 a33 ) 0
第四章 二次曲面的一般理论
一、平面二次曲线
§4.8平面二次曲线
§4.8.1 二次曲线方程的化简与分类
1.移轴
标架 O; i, j 和 O; i, j 的原点o与o不同， o在 O; i, j 中的坐标为( x0 , y0 )
但两标架的坐标基向量相同，即有 i i , j j , 那么标架 O; i, j 可以看成是 由标架 O; i, j 将原点平移到o点而得来的
二次曲线的有关记号
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33
F1 ( x, y) a11x a12 y a13
F2 ( x, y) a12 x a22 y a23
F3 ( x, y) a13 x a23 y a33
变换叫做转轴（坐标旋转）．
x x cos y sin y x sin y cos
y'
y P x' j' j i' O i
( 为坐标轴的旋转角 )
x
3.平面直角一般坐标变换
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
设P是平面内任意一点，它对标架 O; i, j 和 O; i, j 的坐标分别为
( x, y )与 ( x, y)，则有
y P
y'
x x x0 y y y0
j j O i i O' (x0 , y0 ) x' x
线心二次曲线(line central conic)， 无心二次曲线和线心二次曲线统称为 非中心二次曲线(non-central conic).
定义5.2.5
通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的 直线叫做二次曲线的渐近线(asymptotic line).
定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或 者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.
a11 a12 a13 当 时， (*)无数多解，直线上所有 a12 a22 a23 点都是二次曲线的中心，这条直线叫中心直线.
定义5.2.4
有唯一中心的二次曲线叫
中心二次曲线(central conic)，
没有中心的二次曲线叫
无心二次曲线(noncentral conic)，
有一条中心直线的二次曲线叫
x2 y2 [1] 2 2 1 (椭圆) a b
x y [2] 2 2 1 (虚椭圆) a b 2 2 x y [3] 2 2 1 (双曲线) a b
2
2
x2 y 2 [4] 2 2 0 (点或相交于实点的共轭虚直线) a b
x y [5] 2 2 0 (两相交直线) a b
F1 ( x, y) a11 x a12 y a13 0 F2 ( x, y) a12 x a22 y a23 0 (*)
如果I2≠0，则(*)有唯一解，即为唯一中心坐标
如果I2＝0，分两种情况：
a11 a12 a13 当 时， (*)无解，没有中心. a12 a22 a23
( X , Y ) t 2 2 F 1 ( x0 , y0 ) X F 2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0
(3)
(4)
若 ( X , Y ) 0，（4）是关于t的二次方程。
F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ( X , Y ) F ( x0 , y0 )
2
二次曲线与直线的相关位置 讨论二次曲线
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 （1）
与直线
x x0 Xt y y0 Yt
（ 2）
的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程.
( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2
a11 a12 a13 A a12 a22 a23 a a 13 23 a33
a11 A a12
*
a12 a22
I1 a11 a22
a11 I 3 a12 a13
2．转轴
若两个标架 O; i, j 和 O; i, j 的原点相同，
即O O，但坐标基向量不同，且有 (i，i ') ，则标架可以看成是 由标架 O; i, j 绕O点旋转角 而得来的, 这种由标架 O; i, j 到标架 O; i, j 的坐标
§4.8.4 二次曲线的切线
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重 合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线 (tangent)，这个重合的交点叫做切点(tangent point)，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它 为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切 点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=
0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a11 x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证明：
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过 M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：
2
2
[6] y 2 px (抛物线)
2
[7] y a (两平行直线)
2 2
[8] y a (两平行共轭虚直线)
2 2
[9] y 0 垂直的直线 l1 : 2x y 3 0 与 l2 : x 2 y 3 0 ，取
l1 为
O' x '
K1 a11 a13
I2
a11 a12
a12 a22
a12 a22 a23
a13 a33
a13 a23 a33
a22 a23 a23 a33
例
写出二次曲线的矩阵 A 的几种常用符号
2 2 x
x y 1 2 2 1 a b
2
2
2
xy y 6x 7 y 4 0
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点
(singular point)，简称奇点；二次曲线的非奇异 点叫做二次曲线的正常点(proper point).
定理5.3.1 如果(x ,y )是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x ,y )的切线方程是
0 0 0 0
(x-x )F (x ,y )+ (y-y )F (x ,y )=0， (x ,y )是它的切 点. 如果(x ,y )是二次曲线(1)的奇异点，那么通过 (x ,y )的切线不确定，或者说过点(x ,y )的每一条直线 都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是：
2
1 0. 方程(4)有两个不等的实根t1与t2，
代入(2)得直线(2)与二次曲线(1)的两个不同的实交点.
2 0. 方程(4)有两个相等的实根t1与t2，
直线(2)与二次曲线(1)有两个相互重合的实交点.
3 0. 方程(4)有两个共轭的虚根，
直线(2)与二次曲线交于两个共轭的虚点.
2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此时(4)是关于t 的一次方程, 直线(2)与二次曲线(1)有唯一实交点.
2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 而F ( x0 , y0 ) 0. (4)是 矛盾方程, 直线(2)与二次曲线(1)无交点.
F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0
推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
3 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y F ( x0 , y0 ) 0. 此时(4)
是恒等式, 直线(2)全部在二次曲线(1)上.
§4.8.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近 线
1.二次曲线的渐近方向
定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向 X:Y叫做二次曲线的渐近方向(asymptotic direction)，否则叫做非渐近方向 (nonasymptotic direction).
或
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
为转轴公式，其中α 为坐标轴的旋转角.
4.二次曲线方程的化简和分类
定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以化成下列三个简化方程中的一个：
例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y 2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．
§4.8.2 二次曲线与直线的相关位 置
二次曲线的概念
由二元二次方程
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0
所表示的曲线叫做二次曲线(quadratic curve).
注：1. a11 , a12 , a13 不全为零；
2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，
下标“2”代表“y”，交叉项前有2.
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
I2 I2 I2
a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22
0 0 0
椭圆型曲线： 抛物型曲线: 双曲型曲线：
2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所 有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C 叫做二次曲线的中心(central point). 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心， 其充要条件是：
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
(a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 )t 2 2 (a11 x0 a12 y0 a13 ) X (a12 x0 a22 y0 a23 )Y t (a11 x02 2a12 x0 y0 a22 y02 2a13 x0 2a23 y0 a33 ) 0
第四章 二次曲面的一般理论
一、平面二次曲线
§4.8平面二次曲线
§4.8.1 二次曲线方程的化简与分类
1.移轴
标架 O; i, j 和 O; i, j 的原点o与o不同， o在 O; i, j 中的坐标为( x0 , y0 )
但两标架的坐标基向量相同，即有 i i , j j , 那么标架 O; i, j 可以看成是 由标架 O; i, j 将原点平移到o点而得来的
二次曲线的有关记号
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33
F1 ( x, y) a11x a12 y a13
F2 ( x, y) a12 x a22 y a23
F3 ( x, y) a13 x a23 y a33
变换叫做转轴（坐标旋转）．
x x cos y sin y x sin y cos
y'
y P x' j' j i' O i
( 为坐标轴的旋转角 )
x
3.平面直角一般坐标变换
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
设P是平面内任意一点，它对标架 O; i, j 和 O; i, j 的坐标分别为
( x, y )与 ( x, y)，则有
y P
y'
x x x0 y y y0
j j O i i O' (x0 , y0 ) x' x
线心二次曲线(line central conic)， 无心二次曲线和线心二次曲线统称为 非中心二次曲线(non-central conic).
定义5.2.5
通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的 直线叫做二次曲线的渐近线(asymptotic line).
定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或 者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.
a11 a12 a13 当 时， (*)无数多解，直线上所有 a12 a22 a23 点都是二次曲线的中心，这条直线叫中心直线.
定义5.2.4
有唯一中心的二次曲线叫
中心二次曲线(central conic)，
没有中心的二次曲线叫
无心二次曲线(noncentral conic)，
有一条中心直线的二次曲线叫
x2 y2 [1] 2 2 1 (椭圆) a b
x y [2] 2 2 1 (虚椭圆) a b 2 2 x y [3] 2 2 1 (双曲线) a b
2
2
x2 y 2 [4] 2 2 0 (点或相交于实点的共轭虚直线) a b
x y [5] 2 2 0 (两相交直线) a b
F1 ( x, y) a11 x a12 y a13 0 F2 ( x, y) a12 x a22 y a23 0 (*)
如果I2≠0，则(*)有唯一解，即为唯一中心坐标
如果I2＝0，分两种情况：
a11 a12 a13 当 时， (*)无解，没有中心. a12 a22 a23
( X , Y ) t 2 2 F 1 ( x0 , y0 ) X F 2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0
(3)
(4)
若 ( X , Y ) 0，（4）是关于t的二次方程。
F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ( X , Y ) F ( x0 , y0 )
2
二次曲线与直线的相关位置 讨论二次曲线
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 （1）
与直线
x x0 Xt y y0 Yt
（ 2）
的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程.
( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2
a11 a12 a13 A a12 a22 a23 a a 13 23 a33
a11 A a12
*
a12 a22
I1 a11 a22
a11 I 3 a12 a13
2．转轴
若两个标架 O; i, j 和 O; i, j 的原点相同，
即O O，但坐标基向量不同，且有 (i，i ') ，则标架可以看成是 由标架 O; i, j 绕O点旋转角 而得来的, 这种由标架 O; i, j 到标架 O; i, j 的坐标
§4.8.4 二次曲线的切线
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重 合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线 (tangent)，这个重合的交点叫做切点(tangent point)，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它 为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切 点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=
0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a11 x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证明：
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过 M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：
2
2
[6] y 2 px (抛物线)
2
[7] y a (两平行直线)
2 2
[8] y a (两平行共轭虚直线)
2 2
[9] y 0 垂直的直线 l1 : 2x y 3 0 与 l2 : x 2 y 3 0 ，取
l1 为
O' x '
K1 a11 a13
I2
a11 a12
a12 a22
a12 a22 a23
a13 a33
a13 a23 a33
a22 a23 a23 a33
例
写出二次曲线的矩阵 A 的几种常用符号
2 2 x
x y 1 2 2 1 a b
2
2
2
xy y 6x 7 y 4 0
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点
(singular point)，简称奇点；二次曲线的非奇异 点叫做二次曲线的正常点(proper point).
定理5.3.1 如果(x ,y )是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x ,y )的切线方程是
0 0 0 0
(x-x )F (x ,y )+ (y-y )F (x ,y )=0， (x ,y )是它的切 点. 如果(x ,y )是二次曲线(1)的奇异点，那么通过 (x ,y )的切线不确定，或者说过点(x ,y )的每一条直线 都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是：
2
1 0. 方程(4)有两个不等的实根t1与t2，
代入(2)得直线(2)与二次曲线(1)的两个不同的实交点.
2 0. 方程(4)有两个相等的实根t1与t2，
直线(2)与二次曲线(1)有两个相互重合的实交点.
3 0. 方程(4)有两个共轭的虚根，
直线(2)与二次曲线交于两个共轭的虚点.
2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此时(4)是关于t 的一次方程, 直线(2)与二次曲线(1)有唯一实交点.
2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 而F ( x0 , y0 ) 0. (4)是 矛盾方程, 直线(2)与二次曲线(1)无交点.
F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0
推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
3 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y F ( x0 , y0 ) 0. 此时(4)
是恒等式, 直线(2)全部在二次曲线(1)上.
§4.8.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近 线
1.二次曲线的渐近方向
定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向 X:Y叫做二次曲线的渐近方向(asymptotic direction)，否则叫做非渐近方向 (nonasymptotic direction).
或
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
为转轴公式，其中α 为坐标轴的旋转角.
4.二次曲线方程的化简和分类
定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以化成下列三个简化方程中的一个：