三角形形状的判定

三角形形状的判定

长沙市天心一中 胡同文

判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题： 1、 基本知识点：（1）等腰三角形⇔a=b 或A=B （2）直角三角形⇔222a b c +=或A=90 （3）钝角三角形⇔222a b c >+或A >90

（4）锐角三角形⇔若a 为最大边且222a b c <+或A 为最大角且A <90 2、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径： （1） 统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换； （2） 统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等； 常见的题型有： 一、 利用三角形三边的代数关系直接判断

1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c

满足::2:1)a b c =，试判断三角形的形状。 解析：a b c << 则c

边最大，且2

4c =+228a b +=， 222c a b ∴<+，则最大角C 为锐角，所以三角形为锐角三角形。 二、运用三角函数的关系直接判断

2、（05北京）在A B C ∆中已知2sin cos sin ,A A C =那么A B C ∆一定是（ ）

A 、直角三角形

B 、等腰三角形

C 、等腰直角三角形三角形

D 、正三角形

解析：

(),s i n s i n ()

2s i n c o s s i n (),s i n c o s c o s s i n 0

s i n ()0,,C A B C A B

A B A B A B A B A B A B C π=-+∴=+∴=+∴-=

∴-=∴ 又是三角形的内角A-B=0,则选B

3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 2

2

A ，试判断此三角形的类型.

解析： ∵sin sin B C ＝cos 2

2

A ∴sin sin

B

C ＝2

cos 1A

+

∴2sin sin B C ＝1＋cos[180()]B C -+

将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC 代入上式得 cosB cosC +sinB sinC =1 ∴cos （B －C ）＝1

又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π ∴B －C ＝0 ∴B ＝C 故此三角形是等腰三角形.

评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A ＝2cos 2

2

A －1的逆用.

(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形

三、运用向量进行判断

4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →

=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△

ABC 为( )

A 、三边均不相等的三角形

B 、直角三角形

C 、等腰非等边三角形

D 、等边三角形

解析：非零向量与满足(||||

A B A C

A B A C +

)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅

=1

2

，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ．

5、在A B C ∆中，设,,,B C a C A b A B c === 若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅

判断A B C ∆的形状。

解析：0a b c ++= ，2

2

,()a b c a b c ∴+=-+= ，2222a b a b c ∴++⋅=

同理2222b c b c a ++⋅= ，两式相减，得2222

2()a c a b b c c a -+⋅-⋅=- ，

a b b c ⋅=⋅ ，∴2a =2

c ，a c = ，同理a b = ，∴a b c == ，故A B C ∆是等边三角

形。

四、运用正（余）弦定理判断

6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状

分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.

解法一：利用余弦定理将角化为边.

∵cos cos b A a B = ∴b ·

ac

b

c a a bc

a

c b 222

222

22-+⋅

=-+

∴b 2

＋c 2

－a 2

＝a 2

＋c 2

－b 2

∴a 2

＝b 2

∴a ＝b

故此三角形是等腰三角形.

解法二：利用正弦定理将边转化为角.

∵cos cos b A a B = 又2sin ,2sin b R B a R A ==

∴2R sinB cosA =2R sinA cosB ∴sinA cosB -cosA sinB =0 ∴sin （A －B ）＝0

∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π ∴A －B ＝0 即A ＝B

故此三角形是等腰三角形.

评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；

(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式

sinBcosA=sinAcosB 端同除以sin sin A B 得cot cot A B =，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝

B .

7、在A B C ∆中，如果lg a lg c -=lg sin lg B =-，且角B 为锐角，判断此三角形

的形状。

解析：由lg a lg c -=lg sin lg

B =-，得l g s i n g 2

B =-

lg 2

=，

sin 2

B ∴=

，又B 是锐角，∴45B = ，又lg a lg c -lg

=-

即lg

lg

2

2

a a c

c

=∴

=

由正弦定理，得：

sin sin 2

A C

=

，2sin ,180

C A A B C ∴

=++=

，

180A C B ∴=--

18045C =--

135C =-

，2sin(135)C C ∴

=-

，

sin sin cos ,C C C ∴=+cos 0,90C C ∴=∴=

故此三角形是等腰直角三角形。

巩固练习：在A B C ∆中，若22

tan :tan :,A B a b =试判断A B C ∆的形状。

解一：由已知条件及正弦定理可得2

2sin cos sin cos sin sin A B A A B

B

=，,A B 为三角形的内角，

sin 0,sin 0A B ∴≠≠，sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或 2

A B π

+=

，所以A B C ∆为等腰三角形或直角三角形。