复数项级数2010118

第四章 解析函数的级数表示

前面我们用微分、积分可以研究解析函数的性质；实际上级数也是研究解析函数的一种有效的工具.在本章,我们将讨论复数项级数，讨论复变函数项级数；重点利用解析函数的级数（泰勒级数与洛朗级数）表示导出解析函数的一些良好的性质.

§4.1 复数项级数

教学目的：1．理解复数序列与复数项级数的定义；

2.掌握复数项级数的基本性质以及复数序列(级数)与实 数列(级数)敛散性的关系，能正确判断复数项级数的敛散 性．

教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

§4.1.1复数序列的极限

通常, 把按照自然数的顺序排列的一列复数, ,…, ,…, 称为复数列, 简记为{}n z ．其中称为通项．

【定义】※设{}n z 是一个复数列, 为一个复常数, 若对

0ε∀>,0N ∃>（正整数）, 使得当n N >时, 总有0n z z ε-<，

则称

{}n z 当n →∞时收敛于(或{}n z 收敛(于), 而称为{}n z 当n →∞

时的极限, 记为 0lim n n z z →∞

=．若不存在, 则称{}n z 发散或{}n z 不

收敛．

注:定义的几何意义: 0lim n n z z →∞

=等价于任给的一个邻域,

在此邻域之外至多含 有{}n z 的有限项

（如图4.1(a)）； 从上述两个定义 不难看出, 复数序

列的极限与实数列的极限, 在形式上是完全相似的． 因此, 类似于实数列极限的有关结果, 我们还可平行地给出复数列极限的相应结果,如极限的四则运算法则, 收敛数列的有界性, 数列收敛的柯西准则等.

【定理4.1】（复数列与实数列收敛的关系） 记n n n z x iy =+,

1n =,,…000z x iy =+, 则 0lim n n z z →∞=00

lim lim n n n

n x x y y →∞→∞=⎧⎪⎨=⎪⎩．

证：此命题注意到下面的不等式立即可得

0n x x -，0000n n n n y y z z x x y y -≤-≤-+-．

例1 求下列极限

(1) sin )n n i

n

→∞

； (2)1

lim(2)2n n n i →∞+；

(3)lim lim(cos sin )in

n n e n i n →∞

→∞

=+．

解 (1)

因lim 1n =, sin lim

0n n

n

→∞=,

所以

sin )1n n

i

n

→∞

=． (2)因1lim 02n n →∞=,

lim 2n

n →∞

=+∞不存在, 所以1lim(2)2

n

n n i →∞+不存在．

(3) 因cos sin in

e

n i n =+, 而lim cos n n →∞

与lim sin n n →∞

均不存在,

所以 l i m

in

n e →∞

不存在．

例2 判断下列复序列的敛散性

(1) 11{|}2n n n i n αα=+⋅；

（2）1{|n n n

i n

ββ+=+⋅；

（3）1

{|(1)

n n i n n γγ=

++;

(4)111{|(1)(1)cos (1)sin }i n n n e i n n n n n

πππ

δδ=+=++⋅+;

(5) {|cos }n n n in εε=. （6）1

{|}2n

n n n

i αα=+

（7）2{|}!

n n n i n αα= （8）{|}n

n n z z αα⎛⎫

= ⎪⎝⎭

解 (1)因为 11

0()2n n i n n α=+⋅→→∞,所以{}n α收敛于0.

(2) 1n n

i n β+=+⋅ 11()

n n n +=

+→→∞, {}n β收敛于1.

(3)因为 1

(1)(1)

n n i i n n n γ=

+→→∞=+,

所以 {}n γ收敛于. (4)因为 11(1)cos (1)sin n i n

n n n

π

π

δ=++⋅+1()n →→∞, 所以{}n δ收敛于1.

(5)因为 cos ()2

n n

n e e n in nchn n n ε-+===⋅→∞→∞, 所以{}n ε发散.

（6）因为,411,42,4314n

i n k n k i i n k n k =+⎧⎪-=+⎪=⎨-=+⎪⎪=⎩，

（为整数），所以发散.

故 1

{|}2

n

n n n i αα=+

发散. （7）240(!n n n n n α=≤→→∞时），2{|}!

n n n i n αα=收敛. （8）设i z re θ

=，则2n n

i ni n i z re e z re θθθα--⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

lim n n α→∞

不存在，所以{|}n

n n z z αα⎛⎫

= ⎪⎝⎭

发散. 练习： 判断下列序列极限是否存在,若存在,求出其极限 (1)11n ni ni α+=

-(收敛)；（2）(1)2

n

n i α-=+(收敛)； （3）(1)1n

n i

n

α=-+＋(发撒)；（4）2n i

n e πα-=(发撒)；