解的连续性

y = ϕ(x, x0 , y0 )定义于α(x0 , y0 ) < x < β(x0 , y0 )上 ,
令 V = {( x, x0 , y0 ) | α(x0 , y0 ) < x < β(x0 , y0 ), (x0 , y0 ) ∈G},
下证y = ϕ(x, x0 , y0 )在V内连续 对 (x, x0 , y0 ) ∈V, , ∀
y
D
y0
y0
η = min(ε, ρ / 2)
p( x0, y0 )
G
o
ca
x0x0
bd
x
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有 根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性 显然有: 显然有 定理 方程 条件: 条件: 结论: 结论: 解对初值的连续性定理
dy = f ( x, y), dx ( x, y) ∈G ⊂ R2 (1 )
( x0 − x0 )2 + ( y0 − y0 )2 ≤ δ 2
ϕ( x, x0, y0 ) −ϕ( x, x0, y0 ) < ε , a ≤ x ≤ b.
见下图) 见下图 记积分曲线段S： 记积分曲线段 ：y = ϕ( x, x0, y0 ) ≡ ϕ( x), x ∈[a, b] (见下图 显然S是xy平面上的有界闭集 显然 是 平面上的有界闭集. 平面上的有界闭集
如 对 ε > 0, ∃δ = δ (ε, a, b) > 0, 使 对 满 果 ∀ 得 于 足 2 2 2 (x0 − x0 ) + ( y0 − y0 ) ≤ δ
的 切 x0 , y0 ), 一 (
初值问题
dy = f (x, y) , dx y(x0 ) = y0
(3.1)
( x0 − x0 )2 + ( y0 − y0 )2 ≤ δ 2
方程(1) 时,方程(1)过点 ( x0, y0 )的解 y = ϕ( x, x0, y0 ) 在[a,b]上也有 方程(1)过点 上也有 定义,且 定义 且
ϕ( x, x0, y0 ) −ϕ( x, x0, y0 ) < ε , a ≤ x ≤ b.
ϕ(x) −ψ (x) ≤ ϕ(x0) −ψ (x0) eL x−x ,其中 y G 区间内的某一值. 区间内的某一值.
等式
0
x0为所考虑
y =ψ (x ）
(x,ψ (x))
(x0 ,ψ (x0 )) (x0 ,ϕ(x0 ))
(x,ϕ(x))
y = ϕ(x）
பைடு நூலகம்
o a x0
x
b
x
定义 设初值问题
dy = f (x, y) , (3.1) dx y(x0 ) = y0 的解y = ϕ(x, x0 , y0 )在区间 a, b]上存在 [ ,
ε
ϕ(x, x0 , y0 ) −ϕ(x, x0 , y0 )
≤ ϕ(x, x0 , y0 ) −ϕ(x, x0 , y0 ) + ϕ(x, x0 , y0 ) −ϕ(x, x0 , y0 )
< ε.
对含参量λ的微分方程
dy = f (x, y, λ), dx
(3.1)λ
设f (x, y, λ)在区域Gλ ={( x, y, λ) | (x, y) ∈G, λ ∈(α, β)} 连续 且在Gλ内一致地关于y满足局部Lipschitz条件 ,
第一步:找区域 使 上满足Lips.条件 条件. 第一步 找区域D,使 S ⊂ D,且 f (x, y) 在D上满足 找区域 且 上满足 条件 由已知条件,对 ,使 由已知条件 对 ∀( x, y) ∈ S ,存在以它为中心的圆 Ci ⊂ G使 存在以它为中心的圆 在其内满足Lips.条件, . 满足 条件 f (x, y) 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 L 根据有限
ɶ 覆盖定理,存在 , ɶ 覆盖定理,存在N,当 G = ∪Ci 时,有 S ⊂ G ⊂ G
N
i
对 ∀ε > 0 ,记 记 ɶ ρ = d(∂G, S),η = min{ε , ρ / 2}
L = max{L ,⋯, LN } 1
i= i=1
C i
y
G
ɶ G
为半径的圆,当其圆心从S的 则以η为半径的圆,当其圆心从 的 左端点沿S 运动到右端点时, 左端点沿 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D 的区域即为符合条件的要找区域
a
S : y = ϕ(x, x0 , y0 )
b
(x0 , y0 )
x
第二步:证明 上有定义. 第二步 证明 ψ (x) = ϕ(x, x0, y0 ) 在[a,b]上有定义 上有定义
y
D
y0 y0
η = min(ε, ρ / 2)
p( x0 , y0 )
G
o
ca
x0 x0
bd
(*)
x
利用引理2 的连续性可得: 假定 [c, d] ⊂ [a, b]利用引理2及ψ (x) 的连续性可得:
则 ∀λ0 ∈(α, β), 方 (3.1)λ 通 点 x0 , y0 , λ0 ) ∈Gλ 对 程 过 ( 的 存 且 一 记 个 为 = ϕ(x, x0 , y0 , λ0 ) 解 在 唯 , 这 解 y 且 y0 = ϕ(x0 , x0 , y0 , λ0 ). 有
(即对∀(x, y, λ) ∈Gλ , ∃以 x, y, λ)为中心球C ⊂ Gλ , 使 ( f (x, y, λ)在C内对y满足Lipschitz条件 L与λ无关) ,
ϕ(x, x0 , y0 , λ) −ϕ(x, x0 , y0 , λ0 ) < ε , a ≤ x ≤ b.
解对初值和参数的连续性定理
设f (x, y, λ)在区域Gλ连续 且在Gλ内一致地关于y满足 , 局部Lipschitz条件 则方程(3.1)λ的解y = ϕ(x, x0 , y0 , λ) , 作为x, x0 , y0 , λ的函数在它们存在范围内是连续的 .
ψ( x) −ϕ( x) <η , c ≤ x ≤ d
第三步:证明 第三步 证明
在不等式(*) (*)中 ψ( x) −ϕ( x) < ε , a ≤ x ≤ b 在不等式(*)中
中将区间[ 中将区间[c,d] 换成[a,b]即得. 由于ϕ 换成[ 即得.
1 −L(b−a) 对δ1 = ηe , ∃δ2 ,当x − x0 < δ2时 ϕ(x) −ϕ(x0 ) < δ1 , 2 2 R : (x − x0 ) + ( y − y0 )2 < δ 2 ,0 < δ ≤ m δ1,δ2} in{
≤ 2δ1e
L(b−a)
=η < ε
定理 解对初值的连续依赖定理
方程
dy = f ( x, y), dx ( x, y) ∈G ⊂ R2 (1 )
条件: 条件; 条件: I. f ( x, y) 在G内连续且关于y 满足局部Lips.条件; 内连续且关于 满足局部Lips.条件 (1)满足 的解, II.y = ϕ( x, x0 , y0 ) 是(1)满足 ( x0 , y0 ) ∈G 的解,定义 区间为[a,b]. 区间为[ ]. 结论: 结论: 对 ∀ > 0 , ∃δ = δ (ε , a, b) > 0使得当 ε
定理 解对初值的连续依赖定理
方程
dy = f ( x, y), dx ( x, y) ∈G ⊂ R2 (1 )
条件: 条件; 条件: I. f ( x, y) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件; 内连续且关于 满足局部Lips.条件 (1)满足 的解, II.y = ϕ( x, x0 , y0 ) 是(1)满足 ( x0 , y0 ) ∈G 的解,定义 区间为[a,b]. 区间为[ ]. 结论: 对 ∀ε > 0 , ∃δ = δ (ε , a, b) > 0使得当 结论: 方程(1) 时,方程(1)过点 ( x0, y0 )的解 y = ϕ( x, x0, y0 ) 在[a,b]上也有 方程(1)过点 上也有 定义,且 定义 且
对 当 义 其 a ≤ x0 ≤ b, 则 ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε, a, b) > 0, 使 , 中
(x0 − x0 )2 + ( y0 − y0 )2 + (λ − λ0 )2 ≤ δ 2
时 方 (3.1)λ 通 点 x0 , y0 )的 y = ϕ(x, x0 , y0 , λ)在 间 , 程 过 ( 解 区 a ≤ x ≤ b上 有 义 且 也 定 ,
( x)连续
∀(x0 , y0 ) ∈R
ψ (x) −ϕ(x) ≤ ψ (x0 ) −ϕ(x0 ) e
L x−x0
L x−x0
≤ (ψ (x0 ) −ϕ(x0 ) + ϕ(x0 ) −ϕ(x0 ) )e
= ( y0 − y0 + ϕ(x0 ) −ϕ(x0 ) )e
L(b−a)
< (δ +δ1)e
L(b−a)
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
dy = f (x, y) , (x, y) ∈G ⊂ R2 dx y(x0 ) = y0
解可看成是关于 x, x0 , y0 的三元函数 y = ϕ(x, x0 , y0 ) 满足 y0 = ϕ(x0 , x0 , y0 )
解对初值和参数的连续依赖定理
设 (x, y, λ)在 域 λ连 , 且 Gλ内 致 关 y满 f 区 G 续 在 一 地 于 足 局 Lipschitz条 , (x0 , y0 , λ0 ) ∈Gλ , y = ϕ(x, x0 , y0 , λ0 ) 部 件 方 (3.1)λ 通 点 x0 , y0 )的 , 在 间 ≤ x ≤ b上 定 程 过 ( 解 区 a 有
3.3.3 解对初值的可微性(解对初值的可微性定理) 解对初值的可微性(解对初值的可微性定理)
∂f 若函数f (x, y)以及 都在区域G内连续 则方程 , ∂y (3.1)的解y = ϕ(x, x0 , y0 )作为x, x0 , y0的函数在它们存 在范围内是连续可微的 .
y
G
S : y = ϕ(x, x0 , y0 )
(x1, y1)
o
(x0 , y0 )
a
b x
3.3.2 解对初值的连续依赖性
引理 内连续， 如果函数 f (x, y)于某域 G 内连续，且关于 y 满足利普 希茨条件（ ），则对方程 dy = f (x, y)的任 希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 dx 意两个解ϕ(x) 及 ψ (x) ,在它们的公共存在区间内成立着不
dy =y ⇒ y = y0ex−x0 例: dx y(x0 ) = y0
3.3.1 解关于初值的对称性
解关于初值的对称性定理
设方程（3.1）的满足初值条件 y(x0 ) = y0 的解是唯一的，记为y = ϕ(x, x0 , y0 ), 则在此表达式中，x, y) 与 (x0, y0 ) 可以调换其相对位置， 即在解的存在范围内 ( 成立着关系式 y0 = ϕ(x0, x, y) .
2
ε
2 1
而y = ϕ(x, x0 , y0 )在x ∈[a, b]连续 故∃δ2 > 0, 使当 x − x < δ2时 ,
ϕ(x, x0 , y0 ) −ϕ(x, x0 , y0 ) < , x, x ∈[a, b]
2
取 = m δ1,δ2},则 要(x − x)2 + (x0 − x0 )2 + ( y0 − y0 )2 ≤ δ 2, 就有 δ in{ 只
∃ a, b], 使 = ϕ(x, x0 , y0 )在 a, b]上 定 , 其 x, x0 ∈[a, b] [ y [ 有 义 中
对 ε > 0, ∃δ1 > 0, 使 (x0 − x0 ) + ( y0 − y0 ) ≤ δ ,时 ∀ 当
2 2
ϕ(x, x0 , y0 ) −ϕ(x, x0 , y0 ) < , x ∈[a, b]
'
的 y = ϕ(x, x0 , y0 )都 区 [a, b]上 在 并 解 在 间 存 , 且
ϕ(x, x0 , y0 ) −ϕ(x, x0 , y0 ) < ε , x ∈[a, b]
则称初值问题(3.1)'的解y = ϕ(x, x0 , y0 )在点 x0 , y0 ) ( 连续依赖于初值(x0 , y0 ).
f ( x, y) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件; 内连续且关于 满足局部Lips.条件
y = ϕ( x, x0, y0 ), ( x0, y0 ) ∈G,作为 x, x0, y0 的函数
在它的存在范围内是连续的. 在它的存在范围内是连续的.
∀ 证明 对 (x0 , y0 ) ∈G, (3.1)过 x0 , y0 )的饱和解 (