程书电磁学答案

20 使立方体多次旋转，然后叠加，原则就是一个面叠加 6 种电势，然后叠加完了，立方体 变成等势体， 中心的电势自然是 6 个电势的和， 然后 6 次叠加对中心的电势的贡献都是一样 的，所以中心电势是和的六分之一 21 一看就知道 o4 的电势等于 o3 的电势，那么 o3o4 的电势差就是由最小的球球造成的，完 毕 22 半球在中间的面面上产生的电势就是整个球产生的电势的一半喽
d处，v= 2 在x = 则v中 = 2
bde 3 bd 2 e 3 bd 2 e 1 bd 2 e d= 3 bed 2 = 2 ，Ek = ，E k中 =+ Ek m 2 m 2 m 2 m
kq1q3 kq1q2 = 2 ……① a2 l 其中，a为q1q 3的距离，b为q 2 q 3l为q1q 2的距离 kq q kq q 2 3 1 3 = 2 ……② l b2 由式①得：a =l q3 q2
带入式②得答案 q 又由①得： r1 − r3 = (r2 − r1 ) 2 再把第1问的答案带入，化简得答案 q3
sin qx sin qx ) kQq cos(q − ) r − cos qx = r − cos qx x 2 + r 2 − 2 xr cos q x 2 + r 2 + 2 xr cos q sin q sin qx sin qx sin qx 且 cos(q + = − sin qsin ≈ cos q − ) cos qcos sin q r − cos qx r − cos qx r − cos qx r （小量约化有关事宜请自己练习……） kQq cos(q + 然后把高阶小量x 2 拿走，化简化简答案就出来了
6 受力分析……大家都会的 7 原问题等价于在原点放根杆子,球在杆内.然后如果是稳定平衡与不稳定平衡中间的状态,那 么沿杆子方向的力就等于 0， 由此列式： (这里有个误区:无视 “限制” 一词。 “限制” 什么呢？ 方向！限制方向有什么用呢？提供支持力！众所周知，杆子可以给球支持力，方向跟管子垂 直，而原题中没有直接说明管子，于是大家就容易忽略管子提供的支持力，进而受力分析发 生错误)设位移与 x 轴夹角为θ，位移大小为 x
ε 0 SU 2
2 3 2(d 0 -d1 )d1 d1 ε 0 SU 2 x0 2 2(d 0 -d1 )d1 g
-
ε 0 SU 2
d1 1 1 = 2 ε 0 SU x 0 2π 2π g =
2 2ε 0 SU 2 (d 0 -d1 )d1 2ε 0 S 2 U (d 0 -d1 ) ε 0 SU 2 -ε 0 SU 2 3
1 1 9 3kqQ = ma 3 （答案貌似是按照π=3 算的，于是结果 f= T 2π
相差 5%左右。遇到类似的小差距，一般就是 3 种情况：1 π按 3 算 2 g 按 9.8 算 3 你过 程中的量保留的位数太少。 ） 5 首先它们要共线，否则无法平衡，其次负电荷应在正电荷中间，否则负电荷无法平衡。于 是乎
29 30
由矢量图中的数量关系可以知道答案……
首先，看看r 2 a的意义：球外电荷不影响球上电荷的分 布，即把带电球看作点电荷。再看看电荷分布的原则：如 果电荷等分后整个系统的电荷对称分布，那么就等分。于 1 1 1 Q, Q3 Q.Q4本来不应该等于 Q的，但是差 = 2 4 8 距是一个1阶小量，对最后答案的影响就是2阶小量，而答案 a 中只有1阶小量（ ），所以暂令它是 r 1 Q。与此同时，1带的电量也带着一个一阶小量，这个就不能 8 丢了，因为这个小量对答案的影响也是一阶小量。 Q2 = 是，很自然地 那么根据1、4接触时电势相等和1接地电势为0得（还有Q1 + Q4 Q ）（接地后电荷Q '）： 8 kQ1 kQ 2 kQ3 kQ4 kQ 4 kQ3 kQ2 kQ1 + + + a + r + 2r += r a r r 2r ' kQ kQ 2 kQ3 kQ4 + + + = 0 a r r 2r = 2 （ -2）a +r （5 2 + 2）a 2 解得：Q1 = = Q, Q ' Q 8(r-a) -8 2r 2 2 -2）ar + (5 + 2)a (r - a ) r2 + （ -2）ar + (5 + 2)ar 2 2 于是∆Q = Q1 - Q ' = Q≈ Q 8r ( r - a ) 8r ( r - a ) a a 3 1 3 1 2)a ] (1 - ) -1 Q ≈ [r + (3 + 2)a ] (1 + )Q ≈ 答案喽 = [r + (3 + r r 2 8r 2 8r 1 这道题把Q 4约化为 Q是关键，否则后来的计算会异常麻烦 8 （ r2 +
31 那么……（1）
1 1 Eq = k（d 0 -d1）为什么是 呢？因为上下板产生的合场强 2 2 才是那个U / d1的E，但是一边电荷所在的电场是另一边电荷产生的，所 F电 = ∆F弹 ⇒ 1 1 U ε0S U k（d 0 -d= 以要加 。再 ⇒ ） = ⇒ k 答案 1 2 2 d1 d1
Q≥2
GMm 14 k 则 Q ≥ 1.14*10
(2)答案有问题,不提
3kqQ sin 3 2 ( a) 4 设 q 向下移动Δx，则所受合力 F= 3 θ其中θ是Δx 对 Q 的偏角 ∆x 3 9 3kqQ a a 3 Δx 带入上式，得：F= 那么 sinθ ≈ θ ≈ 3
9 3kqQ a3 那么 k=
2
其中，q 是每个铜原子的核电荷量 2
取一小段圆环（圆心角 2Δθ） ，分析受力如图（做得 我好憔悴）于是 2ΔTΔθ/2=kq q 0 Δθ/（2π r ）
2
ΔT=kq q 0 /（2π r ）
2
Q2 （ ） GMm kq 1 Q-q1 4 = ≤ 2 2 2 r r 3(1) r (q1 是地球上的电荷量) k
（2）根据答案，U 是固定的，即一直连着电源，于是电场力会改变 k，所以咱们来研究一 下电场力的性质。 在平衡位置处， 如果极板下移一段距离， 那么电场力增加， 跟回复力相反。 如果极板上移，则电场力减小，相当于向上增加，又忤逆回复力，所以~~电场力对回复力 造成负面影响。现在研究极板从平衡位置下移的情况（暂不考虑弹簧产生的回复力）
∆F =
ε 0 SU 2
2(d1 -∆x) 2
-
ε 0 SU 2
2 2d1
=
ε 0 SU 2
2 2d1
∆x -2 ε 0 SU 2 ε 0 SU 2 = ∆x (1 -) 2 3 d1 2d1 d1
1 k等效 1 f = = m 2π 2π
k-源自文库
ε 0 SU 2
3 d1 1 = 又mg kx 0则f = m 2π
2 2
17 要使题设成立，则系统的电势能必须大于等于零，那么 Q 就不能太大喽，顶多大到使电 势能为 0。
18 恩…… 19
∑ 2U q
i =1 i
n
1
i
1 U P1 = U1则每个面对中心的电势贡献为 U1 4 1 于是U 2中有一部分是靠近的一个面贡献的 U1，剩下的就是剩下的三个面等价地贡献的 4 1 U 2 − U1 4 ，四面体心则还剩 3 U 拿走一个，则，还剩U 2 − 1 3 4 1 U 2 − U1 4 3
程书电磁学答案
主编：
血色の寂宁
小编：
lx10525
没有“等等”
编者的话：本人是 freshman，故时间精力有限，还有能力有限……故步骤缺失与不
准确再所难免，请大家原谅。另感谢徒弟 第一章
星新一一同学提供相关材料。
1F =
kQ k (0.01ne) = = 2 R R2
2
2
k (0.01
m qN Ae) M = 答案 R2
既然是让内部电势=0，那么就是让内部与无穷远等势。于是我们从外面开始数首 先，由于是金属球壳，所以内球1壳内表面无电荷，故外表面电荷量为q1，然后由 高斯定理得：外球壳内表面电荷量为-q1，那么我们从最外面开始数：造成无穷远 kQ ，造成内球壳与外球 b 壳电势差的电荷是夹在中间的电荷，产生的电势差相当于一个半径a带电-q1的金 与外球壳电势差的是外球壳外表面的电荷Q，则电势差为 属球在表面处和距球心为b处产生的电势差，为 kQ + = 0故Q - q = 答案 1 b ---kq1 kq1 kq kq1 -, 则由题意得： 1 a b a b
（2）取一小段线段，令其到 r 处的距离为 x，则 E=
∫
r −l
k
r +l
∆x q 2l x 2 =答案
（3）依然等效…… 13 因为无限大带点平板两边场强与距离无关， 所以可以把所研究位置两边的电荷压到一起。 14（1）把外面的球壳拿掉（貌似牛顿证明过平方反比力场球壳内部场强为 0） 挖空等效于放上一个电荷密度相同，点性相反的球，然后根据第一问，矢量叠加即可
34 第 n 滴恰好滴不上，那么版上已经带了 n-1 滴的电荷，于是乎……
kq
35（1）接地时球心电势为 0，则
a2 + r2
+
kq 环1 R =0（注意研究对象取的是 o 点，因为这
里的电势好研究。 ） （2）它带电量为 0，那么对自身电势无贡献，只考虑环对它电势的影响即可 （3）…… （4）作用力的该变量相当于环对均匀分布在球表的多出来的电荷的作用力 （5）大家懂的 36 质子刚好不能到达时，速度与切线平行，根据角动量守恒和能量守恒得答案 37 证明切向是简谐振动，然后求出半周期乘以速度即可 38
以减半，方向只有对称轴方向才有效，所以再减半，然后上面提到的场强也是减半，最后就
kq 2 2 是 8R
16
kq cos q = ( x / cos q ) 2
kq (
x
2
R +x = x2
2
)3
kqx (R2 + x2 ) 2
3
令E 'x ( E对x的导数) = 0 R 距离环心 x 处的场强 E= ⇒ 2x =
2 v0 U F向 m 有一个对应的 而F向 Eq= q = = R d 1 C V , 其中，C ε 0 2π RL ，代入即可 U = = 1 1 d + C CX
33
首先，金属球的电荷必分布在表面，则金属网内表面带电量q1，外表面电荷量与本题 无关。假设粒子速度无穷大，则路径如1所示，然后逐渐减小速度，重新发射，路径 就从1渐变至4，再减小，则无法到达金属网。故粒子取最小速度时，轨迹是一个长轴 GM 为r1 +r2的椭圆。根据天体物理学的知识，轨迹半长轴为a，则总能量为，那么现 2a kq1e kq1e 在的总能量为- m ，在发射处，其中有- m 的势能，那么初速度就是…… r1 + r2 r1
= 由高斯定理得：E1 +E2
23 联立解得答案 24
σ d 2d E2 = 由上下电势相等得：E1 ε0 3 3
假设补上另一半球面，则P点电势为 此即为Q点目前的电势
2 U v0 d 2g
k2q k2q ，故另一半球面对P点电势的贡献为 −UP R R
25
U MN = E ∆l =
26（1）那个圆面是红果果的等势面啊（2）假设补上另一半球面，则做功 0，这个功是由所 求的 A 和所给的 W 组成的，于是 A=-W 27 等效重力…… 28
剩下的也用这方法搞搞就行了 8 方法同题 4 9 可以用极限法——如果向右移动很长距离，那么正负电荷离 q 的距离近似相等，那么合力 应该向左。于是乎，稳定平衡。图像程书的很详细嘛 10 嗯……大家都懂的 11 由对称性可知答案为 0
12（1） 等效为加粗虚线所示圆弧…………前面程书都有这类问题的
kq 2 15 首先，是金属小球，所以电荷都在求表面。其次，球表面每处场强是 2 R 为什么呢？因 kq 2 为球外表面的场强是 R ，而内表面是 0，这差距就是球表面的面元提供的场强方向相反造 kq kq∆q 2 2 成的。于是，把这面元拿掉，剩下的位置的场强就是 2 R ，于是 2 R 然后是半个球，所
d1 ε 0 SU 2 x 0 g
1 d1 - 2(d 0 -d1 ) = 答案（弄错了好几次T T） d1 x 0 2π g
32
L 2 R 2 d 意味着什么呢？L 2 R意味着可以看成理想电容器，R 2 d 意味 着可以把极板间的电场看成匀强的。 于是n 2π R 2h 然后由于粒子在水平方向是匀速圆周运动，那么每个v 0都 = v0 g