例谈计算定积分的三种方法

例谈计算定积分的三种方法
定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。

一、用定积分的定义计算定积分
例1. 求定积分⎰1
03xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[n
i n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n
1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）.
（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，
△S i =f （n
i 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i n n i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S n
i n i i 123)]1(21[3)1(321
21-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i n
n n i n . ∴⎰103xdx 23=.
点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。

二、用微积分基本定理计算定积分
例2. 求定积分⎰
+21221dx x x 的值. 解析：⎰
+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 2
1)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x .
点评：本题由⎰+2
1221dx x
x 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。

三、用定积分的几何意义计算定积分
例3. 求定积分⎰---1
02))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2
141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---1
02))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想
到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。

运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。

定积分的计算，在实际解题中，应因题而异，择优用之，灵活解题，才能快速而准确地解决问题。