台湾集集大地震断层非均匀滑动分布的反演

观测值安排成如下的向量
uT = [ ux ( X1) , ux ( X2) , …, ux ( XN1) ; uy ( X1) ,
uy ( X2) , …, uy ( XN1) ]
(5)
对应的数据的误差向量表示为
eT = [ e1 , e2 , …, e2N1 ]
(6)
样条函数系数组织成如下的向量
cT = [ c111 , c112 , …, c11 N ; …; c1M1 , c1M2 , …, c1MN ; c211 , c212 , …, c21N ; …; c2M1 , c2M2 , …, c2MN ]
WU Ji2cang1 ,2 , HSU Hou2tse2 , DING Xiao2li3 , LIU Guo2xiang3
(1. Department of Surveying and Geo2informatics , Tongji University , Shanghai 200092 , China ; 2. Institute of Geodesy and Geophysics , CAS , Wuhan 430077 , China ; 3. Department of LSGI , The Hong Kong Polytechnic University , Hong Kong , China )
p( y |
c ; σ2 )
=
1 σ】(2π) D|
E|〈 exp [ -
1 2σ2
(
y
-
Hc) T E - 1 ( y - Hc) ]
(12)
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测 绘 学 报 第 31 卷
式中 , E 为数据误差的方差阵 ; D 是数据的维数 。
下面介绍一种顾及滑动分布平滑程度的阿卡
第 31 卷 增刊 2002 年 5 月
测 绘 学 报
ACTA GEODAETICA et CARTOGRAPHICA SINICA
Vol. 31 , Sup. May ,2002
文章编号 :100121595 (2002) S020034205
中图分类号 : P228. 4 文献标识码 :A
台湾集集大地震断层非均匀滑动分布的反演
伍吉仓1 ,2 , 许厚泽2 , 丁晓利3 , 刘国祥3
(1. 同济大学 测量与国土信息工程系 ,上海 200092 ; 2. 中国科学院 测量与地球物理研究所 ,湖北 武汉 430077 ; 3. 香港理工大学 土地测量与地理资讯学系 ,香港)
Inversion of Variable Fault Slip of Taiwan Chi2Chi Earthquake
考虑到断层面上的滑动从物理上讲应该满足
连续性和光滑性 , 我们用二次样条函数来表达断
层面上的滑动分布 。这样一方面每一个网格的滑
动量 (位错) 都可以用同一个二次样条函数来描
述 ,它是若干个二次样条函数系数的函数 ,式 (1) ;
另一方面 ,地表任一点的位移 (或应变或应力) 是
各个网格单元滑动 (位错) 造成的位移 (或应变或
Key words : GPS ;displacement ; inversion ; INSAR
摘 要 :利用台湾 1999 集集大地震前后 GPS 测量获得的地表位移数据 ,反演断层面上的非均 匀滑动分布 。反演中采用二次样条函数作为滑动分布的基函数 ,通过引入阿卡克贝叶斯准则 , 获得了反演问题的惟一解 。反演得到的地表位移与实测位移的差在几个厘米 ,较好地解释了 观测到的 GPS 位移 。另一方面 ,用反演结果计算得到的地表形变场同 INSAR 得到的地表实测 位移场较相近 。 关键词 : GPS ;位移 ;反演 ; INSAR
克贝叶斯信息准则法 (Akaike’s Bayesian Informa2
tion Criterion) ,从而求得一组惟一解 。
根据文献[3 ] ,断层滑动分布的粗糙程度可以
用二次样条函数的系数向量的二次型来描述
r = cT Gc
(13)
这里 , G 是一个阶数为 2 MN 的半正定对称矩阵 ,
可以通过定义断层滑动的粗糙度函数来求得 。我
其中
s ( c) = ( y - Hc) T E - 1 ( y - Hc) +α2 cT Gc
(17)
α2 =σ2/ ρ2
(18)
现在的问题是已知 y , 求解 c ,σ2 ,ρ2 , 使得式 (16)
的后验概率最大 。首先 ,我们假定 σ2 ,ρ2 固定 , 最
大化式 (16) 等价于最小化式 (17) , 得到 c 的最或
(7)
这样 ,观测方程可写成
u = Hc + e
(8)
这里 ,矩阵 H 的元素为
HIJ = Hijmn ( Xp)
(9)
其下标按下式计算
I = ( i - 1) N1 + p
(10)
J = ( j - 1) MN + ( m - 1) N + n (11)
从观测方程式 (8) 来看 , 如果我们能求解出未知
数 :系数 cjmn , 就可以按式 (1) 计算断层面上的位 错滑动分布 ,进一步利用位错模型的正演公式就 可以计算地表任意点的位移或应变 。但是 , 未知
系数的个数有 2 MN 个 ,通常大于地表测量数据的 个数 ,所以方程式 (8) 是一个欠定问题 ,为了求解 , 我们必须加入其他条件 。另外 , 如果用 y 表示位 移观测数据 ,则数据误差认为其服从正态分布 ,概 率密度函数为
应力) 的叠加 ,式 (3) 。
MN
Uj (ξ,η) = ∑ ∑cjmn Pm (ξ) Pn (η) ( j = 1 ,2) (1) m = 1n = 1
式中 , cjmn是系数 ,而
Pm ( s) = 4ΔsM4 , m + 2 ( s)
(2)
其中 , M4 , m 是 4 阶 样 条 函 数 基 , 其 定 义 在 ( sm 4Δs ≤s < sm) 区间上 ,具体如下[3 ] 24Δs4 M4 , m ( s) =
布越粗糙 ,反之则越光滑 。根据贝叶斯准则 , c 的
后验概率密度函数为
p ( c ;σ2 ,ρ2| y) = kp ( y| c ;σ2) p ( c ;ρ2)
(15)
即
p ( c ;σ2 ,α2|
y)
=σ2】(2π)
(D
kα + P) |
E| | Λq|〈·
exp [
-
1 2σ2
s
(
来自百度文库
c)
]
(16)
收稿日期 : 2001212206 ; 修回日期 : 2002201230 基金项目 :国家杰出青年科学基金资助项目 (49725411) ;中国科学院测量与地球物理所博士后工作站基金资助
作者简介 :伍吉仓 (19632) ,男 ,安徽无为人 ,同济大学副教授 ,博士 ,主要从事大地测量与地球动力学研究 。
( s - sm + 4Δs) ( sm - Δs - s) 2 + ( sm - s) ·
( s - sm + 3Δs) ( sm - Δs - s) + ( sm - s) 2·
( s - sm + 2Δs) ( sm - 2Δs ≤s < sm - Δs) ;
( sm - s) 3 ( sm - Δs ≤s < sm) ;
Abstract : In this paper the variable fault slip distribution caused by the 1999 Taiwan Chi2Chi Earthquake is determined by
displacements of GPS sites observed based on the dislocation model. The second order spline base functions and the Akaike Bayesian inversion criterion are used in the representation of the fault slip and the solution. The maximum ground displace2 ments caused by the earthquake was more than 6 meter in the epicenter based on the GPS observations. After inversion , the variable fault slip distributions are obtained and the maximum difference between the observed site displacements and model2 ing site displacements is only several centimeters. The obtained variable fault slip dislocation model has an good explanation on the observed GPS site displacements. On the other hand , the ground displacement field obtained by our inversion result has similar pattern with that obtained by INSAR.
然解[4 ] ,记作
c 3 = ( HT E - 1 H +α2 G) - 1 HT E - 1 y (19)
根据误差传播定律 , 估计值 c 3 的方差协方差矩
阵为
C =σ2 ( HT E - 1 H +α2 G) - 1
们可以用 r 和一个超参数ρ2 来定义一个表示断
层滑动分布粗糙程度的概率密度函数
p(
c ;ρ2)
=ρ】(2π)1P|
Λq|〈exp
(
-
1 2ρ2
cT
Gc)
(14)
这里 , p = 2 MN ; Λq 是由 G 的 q 个非零特征值组
成的对角阵 , 超参数 ρ2 控制了系数 c 的先验分
布 ,进而控制了滑动的粗糙程度 ,ρ2 越大滑动分
2 非均匀滑动模型和反演方法
为了研究地震造成的断层面上的滑动分布 , 我们把断层划分为均匀的网格 (如图 1) ( M 行 , N 列) ,假定在每一个格网内的滑动 ( 位错) 是均匀 的 ,但是不同的格网内滑动的大小和方向可以不 同。
图 1 断层面网格划分 Fig. 1 Grid division of fault plane
1 概 述
1999 年 9 月 21 日我国台湾发生了 MW7. 5 级 的集集大地震 ,给台湾人民的生命财产造成了巨 大的 损 失 。Hirata 等 人[1] 通 过 处 理 地 震 前 后 的
GPS测量数据 , 得到了这次大 地 震 引 起 的 地 表 GPS 测站点的位移 。这次地震发生在台中西南的 车龙辅断层上 。这是一条低倾角的逆冲断层 ,本 次地震表现为逆冲 、左旋运动 。本文通过地表 GPS 测站观测到的位移 ,通过断层位错模型 ,反演
增刊 伍吉仓等 : 台湾集集大地震断层非均匀滑动分布的反演
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地震断层的非均匀滑动分布 ,进而研究地震造成 的地表形变场和应变场特征 ,并且与 Liu 等人[2] 用 INSAR 数据得到的地表位移场做了对比 。下 面 ,首先介绍地震的非均匀滑动模型和反演方法 , 接着介绍 GPS 测量数据 ,最后给出反演的结果和 结论 。
0 ( s < sm - 4Δs , s ≥sm)
2 MN
ui ( X) = ∑ ∑ ∑Hijmn ( X) cjmn + ei
(3)
j = 1m = 1n = 1
这里
κ Hijmn ( X)
=
1μ
F∑
Pm (ξ)
Pn (η) Wjidξdη
(4)
假设地表有 N1 个 GPS 站点 , 我们把它们的位移
( s - sm + 4Δs) 3 ( sm - 4Δs ≤s < sm - 3Δs) ;
( s - sm + 4Δs) 2 ( sm - 2Δs - s) + ( s - sm + 4Δs) ·
( s - sm + 3Δs) ( sm - Δs - s) + ( sm - s) ·
( s - sm + 3Δs) 2 ( sm - 3Δs ≤s < sm - 2Δs) ;