变化率问题 课件

h0
h
h0
h
=lim f (x0 h) f (x0 ) lim f (x0 h) f (x0 )
h0
h
h0
h
=f′(x0)+f′(x0)=2f′(x0).
方法二：由f(x)在x0处的导数意义，
得
f
(x0
)
lim
x0
f
(x0
用xx)0代f (替x0x)，0-h,
x
则 lim f (x0 h) f (x0 h) 2lim f (x0 2h) f (x0) .
类型 一 求函数的平均变化率 【典型例题】 1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点
B(-1+Δx,-2+Δy),则 y =______.
x
2.某物体运动的位移s与时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(位
移单位：m，时间单位：s).求20 s后的0.1 s内此物体运动的 平均速度.
二、函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
1.定义式：lim y lim f (x0 x) f (x0 ) .
x x0
x0
x
2.实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变
化率趋近的值.
3.作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.
思考：匀速直线运动的瞬时速度和平均速度相等吗？ 提示：因为匀速直线运动的速度的瞬时变化率为零，所以瞬 时速度和平均速度相等.
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
=2m+2m①=4m.
答案:4m
【误区警示】
【防范措施】
弄清导数的含义
函数在某一点的导数，是该点函数平均变化率的极限，函数
在某一点自变量的增量，既可以是正数，也可以是负数，导
数是函数值的改变量与“相应”自变量改变量的极限，如本
例中
lim f (a 2与x) f (a) lim f (a 2x) f (a)
2
Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32
=29.4Δt+4.9(Δt)2，
s=29.4+4.9Δt.
t
所以 v lim s lim(29.4 4.9t) 29.4(m / s).
t t0
t0
说明在第3秒附近小球以29.4 m/s的速度下降.
【互动探究】若把题1中的“v0”改为“v0=20”，求物体在
x
际上，在平均变化率的表达式 中y ，Δx≠0.
x
(3)错误.Δx不能为零，Δy可能为零.
答案：(1)√ (2)× (3)×
【知识点拨】 1.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间［x1,x2］上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平 均变化率的“直观化”.
三、导数的概念
1.定义式: lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
x x0
x0
x
2.记法: y |xx0 或_f_′__(_x_0_).
3.实质:函数y=f(x)在x=x0处的导数就是y=f(x)在x=x0处的
_瞬__时__变__化__率__.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
3.导数与瞬时变化率的关系 导数是函数在x0及其附近函数值的改变量Δy与自变量的改变 量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念,若 lim y
x0 x
存在,则函数y=f(x)在x0处有导数,否则不存在导数.
4.导数的物理意义 不同的物理量有着不同的物理意义.例如,变速直线运动路程 s=s(t)的导数，就是瞬时速度，即s′(t0)=v(t0).我们也常说路 程函数s(t)对时间的导数就是瞬时速度.
(1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关. ( )
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率. ()
(3)在导数的定义中，Δx,Δy都不能为零.
()
提示：(1)正确.Δx值可正，可负.
(2)错误.y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx趋近于0时，平均 变化率 无y 限接近的一个常数值，而不是Δx＝0时的值，实
t 0.1
故20 s后的0.1 s内此物体运动的平均速度为210.5 m/s.
【拓展提升】求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx=x2-x1.
第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1).
第三步，求平均变化率 y f (x2 ) f (x1) .
Leabharlann Baidu
x
x2 x1
类型 二 求瞬时速度 【典型例题】 1.以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为 s(t)＝v0t－ 1 gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_____.
h0
h
h0
2h
令2h=Δx,则上式=2 lim x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
2f (x0 ).
【典型例题】
1.若 lim f (x0 x) f (x0 ) k，则 lim f (x0 2gx) f (x0 )
x0
x
x0
x
等于( )
A.2k
B.k
C. 1 k
2
2.求函数 y＝ x 在x＝1处的导数.
D.以上都不是
【解题探究】1.函数值增量f(x0+2Δx)-f(x0)与自变量的增量 Δx不一致,此时应如何处理才可求函数的导数？ 2.题2中求函数在x=1处的导数的实质是什么？ 探究提示： 1.求解时只需把自变量的增量Δx换成2Δx即可,但要注意使式 子相等. 2.求函数在x=1处的导数的实质是求此函数在x=1处的瞬时变 化率.
(2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线(即割线)的斜率. (3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数 s=s(t)，在时间段［t1,t2］上的平均速度， 即 v s(t2) s(t1) .
t2 t1
2.对瞬时变化率的两点说明
x
【解析】1.-2+Δy=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)，
所以 y (1 x)2 (1 x) 2 3 x.
x
x
答案:3-Δx
2.Δs＝s(t＋Δt)－s(t) ＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202 ＝1＋20＋5×0.01＝21.05， 所以 v＝s＝21.05＝210.5(m / s).
y＝ 趋1 近于
1，
x 1＋x＋1
2
故函数 y＝ 在x x＝1处的导数是 1，
2
即
y
|x＝1
＝1 2
.
【拓展提升】求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限.
【易错误区】对导数的概念理解不清致误
【典例】若函数f(x)在x=a的导数为m，那么
lim f (a 2x) f (a 2x) 的值为______.
第一步，求时间改变量Δt和位置改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
第二步，求平均速度
第三步，求瞬时速度，v 当Δst. 无限趋近于0， 无限趋近
t
于常数v即为瞬时速度.
s
t
2.求 (y当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
x
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算.
(2)求出 的y 表达式并化简(如对Δx约分)后，Δx无限趋近
【解析】1.因为Δs＝v0(t0＋Δt)－ g1(t0＋Δt)2－(v0t0－
2
1gt02)＝(v0－gt0)Δt－ g1(Δt)2，
2
2
所以
s t
＝v0－gt
0－12
gt，
所以当Δt无限趋近于0时， 无s 限趋近于v0－gt0，
t
故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
答案：v0－gt0
2.自由落体的运动公式是s= 1gt2(其中g是重力加速度)，
x
于0就是令Δx=0，求出结果即可.
3.瞬时变化率的几种等价变形形式
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x0 nx) f (x0 )
x0
nx
lim
x0
f
(x0
x) f (x0 2x
x)
f (x0 )
类型 三 求函数在某点处的导数
f (x0 )
lim
h0
f
(x0
h) h
f (x0)
=lim f (x0 h) 则 f (x0 )， lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
h0
h
=lim f (x0 h) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 h)
h0
h
=lim f (x0 h) f (x0 ) lim f (x0 ) f (x0 h)
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
(1)平均变化率与瞬时变化率的关系：
①区别：平均变化率刻画函数值在区间［x1,x2］上变化的快 慢,瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率 趋y 于一个常数，这个
x
常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)“Δx无限趋近于0”的含义： Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任 意小的正数，且始终Δx≠0.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
x0
x
【解析】lim f (a 2x) f (a 2x)
x0
x
=lim f (a 2x) f (a) f (a) f (a 2x)
x0
x
=lim f (a 2x) f (a) lim f (a) f (a 2x)
x0
x
x0
x
=2 lim f (a 2x) f (a) 2 lim f (a 2x) f (a)
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
t=3时刻的瞬时速度.
【解析】因为Δs＝20(3＋Δt)－ g1(3＋Δt)2－(20×3－
2
1×32g)＝(20－3g)Δt－ g1(Δt)2，
2
2
所以 s＝20－3g－1 gt，
t
2
所以当Δt无限趋近于0时， 无s 限趋近于20－3g，
t
故物体在t=3时刻的瞬时速度为20－3g.
【拓展提升】
1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
【解析】1.选A.
lim f (x0 2gx) f (x0 )
x0
x
lim f (x0 2gx) f (x0 ) g2
x0
2gx
2glim f (x0 2gx) f (x0 ) 2k.
x0
2gx
2.因为 y＝ 1＋x－1，
所以 y＝ 1＋x－1＝ 1 .
x
x
1＋x＋1
所以当Δx无限趋近于0时，