向量函数

其中 ξ1 , ξ2 , ξ3 介于 t , t +∆t 之间
∆s =1 , 当 x'(t ) , y'(t ) , z'(t ) 连续时 , lim ∆ t →0 M0 M
(3)
(3) 式称为空间曲线的一般方程表示 . 式称为空间曲线的一般方程表示
例 画出曲线 C:
z = 1 − x2 − y 2
x2 − x + y2 = 0
的图形
解 z = 1− x2 − y2 是单位半球面
z
o
y
x2 − x + y2 = 0
12 12 2 ⇒( x − ) + y = ( ) 2 2
z2 + ax = a2
y =0
(3)
C 在 xz 平面上的投影曲线 平面上的投影曲线:
z2 + ax = a2
再从 (3) 得
1 2 2 x = (a − z ) a
代入 (1) 得 C 在 yz 平面上的投影曲线
z4 + a2 ( y2 − z2 ) = 0
x=0
3º 向量函数的导数
v 设曲线 C : r (t ) = { x(t ) , y(t ) , z(t ) } , α ≤ t ≤ β
v r (t ) = { x(t ) , y(t ) , z(t ) }
( R3 → R3 )
本节我们仅讨论 R1 → R3 的向量函数 .
例 求坐标原点处质量为 m0 的质点对位于点
M( x, y, z) 处质量为 m 的质点的引力 F z 解 由万有引力定律 , F 的大小
F= G m0 m x2 + y2 + z2
设曲线 C :
F ( x , y , z) = 0 1
F2 ( x , y , z) = 0
(4) (5)
下面计算 C 在 xy 平面上的投影曲线 轴平行, 由于 C 到 xy 平面上的投影柱面的母线与 z 轴平行 所以投影柱面的方程不含变量 z ( 而且经过 C ) 若从 (4) 式 F ( x , y , z) = 0 中解得 z = f ( x, y) , 1 代入 (5) 式有
空间曲线弧长的计算 设空间曲线 v C : r (t ) = { x(t ) , y(t ) , z(t ) }
M0
∆s
M
C
r r (t )
v r(t + ∆t)
o
v 上的光滑曲线 是 [ α , β ] 上的光滑曲线 ( r'(t ) 在 [ α , β ] 上连续 , v 且 r'(t ) ≠ 0 )
1 x2 + y2 + z2
o
M
其方向
F = MO =
o o
o x
y
{−x,− y,−z}
所以
F= FF =
G m0 m
3 ( x2 + y2 + z2 ) 2
{−x,− y,−z}
F= FF =
o
G m0 m
3 ( x2 + y2 + z2 ) 2
{−x,− y,−z}
= {−
G m0 mx
3 ( x2 + y2 + z2 )2
= { x'(t0 ) , y'(t0 ) , z'(t0 ) }
v r v 为向量函数 r = r (t ) 在 t0 处的导数 , 记为 r '(t0 ) , r 即 r '(t0 ) = { x'(t0 ) , y'(t0 ) , z'(t0 ) }
向量函数导数的几何意义: 向量函数导数的几何意义 r r v r 当 r '(t0 ) ≠ 0 时 , r '(t0 ) 表示曲线 r = r (t ) 在 t0 所对应的点 M0 处切线的切向量 , 其方向为 t 增加的方向 向量函数的微分: 向量函数的微分 r d r = { x'(t ) , y'(t ) , z'(t )}dt = {x'(t )dt , y'(t )dt , z'(t )dt }
§10.5 向量函数 空间曲线 1º向量函数 向量函数
向量函数: 向量函数 从 Rn → R3 ( 或 R2 , 或 Rm ) 的映射 称为向量函数 称为向量函数 .
1 3 例如 ( R →R ) v r (u, v) = { x(u, v) , y(u, v) , z(u, v) } ( R2 → R3 ) v f ( x, y, z) = { P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) }
z
P r r (t )
C
= { x(t ) , y(t ) , z(t ) }
( 一元向量函数 )
(1)
o
x
y
将 (1) 用坐标分量表示得 : C:
x = x(t ) y = y(t ) z = z(t )
(2)
(2) 式称为空间曲线的参数方程表示 . 式称为空间曲线的参数方程表示 一般地 , 两空间曲面
向量函数的导数: 向量函数的导数 若函数 x(t) , y(t) , z(t) 在 t0 处可导 , 我们称 r r r r (t0 + ∆ t ) − r (t0 ) ∆r lim = lim ∆ t →0 ∆ t ∆ t →0 ∆t
x(t0 + ∆ t ) − x(t0 ) y(t0 + ∆ t ) − y(t0 ) z(t0 + ∆ t ) − z(t0 ) } , , = lim { ∆ t→0 ∆t ∆t ∆t
b a b b b r ∫ f (t )dt = {∫ f1(t )d , ∫ f2(t )dt , ∫ f3(t )dt} a a a
r r ∫ f (t )dt = F(t ) + c
r 若 F(t ) 是 f (t ) 的一个原函数 , 则有以下
牛顿 --莱布尼兹公式 莱布尼兹公式
b a
r b ∫ f (t )dt = F(t ) a = F(b) − F(a)
r v d r = r '(t )dt
若记 x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , 则 r d r = { dx , dy , dz } 且有
r dr = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
曲线的切线方程: 曲线的切线方程
v 曲线 r (t ) = { x(t ) , y(t ) , z(t ) } ,
r 下面考虑 C 在 M0 处切线方向 l 的计算
o
给 t0 一增量 ∆t , 则 t0+∆t 对应 C 上的点为 M
r OM = r (t0 + ∆ t ) = { x(t0 + ∆ t ) , y(t0 + ∆ t ) , z(t0 + ∆ t ) }
割线 M0M 的方向为 r r r ∆ r = r (t0 + ∆ t ) − r (t0 )
例 求曲线 C :
x2 + y2 + z2 = a2 x2 + y2 − ax = 0
(1) (2)
在各坐标面上的投影曲线 解
x2 + y2 − ax = 0 经过 C , 且母线 由于圆柱面
平行于 z 轴 , 于是 C 在 xy 平面上的投影曲线为
x2 + y2 − ax = 0
z =0
(1) − (2) 得
向量函数 . 如果 x(t ) , y(t ) , z(t ) 在 [ a , b ] 上连续 , v 则称 r (t ) 为 [ a , b ] 上连续的向量函数 . 2、空间曲线的表示 、 空间曲线的向量形式表示: 空间曲线的向量形式表示 r r r v r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k
母线平行于 z 轴的圆柱面
x
3、 空间曲线在坐标面上的投影 、 设 C 是一空间曲线 , π 是一平面 , 由 C 上的点在 上的投影曲线 π 上的投影点形成的曲线称为 C 在 π 上的投影曲线 经过曲线 C 且与平面垂直 的柱面 Γ 称为 C 到 π 上的 投影柱面
Γ
C'
C
π
可以看到: 上的投影曲线 可以看到 C 在 π 上的投影曲线 C' , 即为其投影 柱面 Γ与 π 的交线 与 因此 , 计算投影曲线 C' 的问题 , 关键在于 C 到 π 的投影柱面的计算
( 简称原函数 ) . 简称原函数
r 向量函数的不定积分: 向量函数的不定积分 若 F(t ) 是 f (t ) 的一个原 r 函数 , 向量函数 f (t ) 的原函数的一般表达式 r r r F(t ) + c 称为 f (t ) 的不定积分 , 记为 ∫ f (t )dt
即 r ∫ f (t )dt ={∫ f1(t )dt , ∫ f2(t )dt , ∫ f3(t )dt } 向量函数的定积分: 向量函数的定积分
其中 x(t) , y(t) , z(t) 在 [ α , β ] 上可导 问题: 问题 计算在曲线 C 上的一点 M0 处的切线方程 设 M0 所对应的参数为 t0 , 则
r l
M0
M
v r (t 0) = OM0 = { x(t0 ) , y(t0 ) , z(t0 ) }
r r (t0 )
v r (t0 + ∆t )
,−
G m0 my
3 ( x2 + y2 + z2 ) 2
,−
G m0 mz
3 ( x2 + y2 + z2 ) 2
}
称为引力场 F 称为引力场 .
2º 空间曲线 一元向量函数
1、一元向量函数 、 v r (t ) = { x(t ) , y(t ) , z(t ) } , t ∈[a, b] 称为一元 称为一元
设 t → M0 , t + ∆t → M , 则割线 M0M
r r r M0 M = ∆r = r (t + ∆ t ) − r (t )
= [ x(t + ∆ t ) − x(t )] + [ y(t + ∆ t ) − y(t )] + [z(t + ∆ t ) − z(t )]
2 2 2
= [ x'(ξ1)]2 + [ y'(ξ2 )]2 + [z'(ξ3 )]2 ∆ t ≈ ∆s
F2 ( x , y , f ( x, y)) = 0
(6)
可以看到 : 柱面 (6) 是一经过曲线 C , 母线与 z 轴 平行的柱面 , 即为 C 到 xy 平面的投影柱面
所以 , C 在 xy 平面的投影曲线为
F2 ( x , y , f ( x, y)) = 0
z =0
同理 , 可计算 C 在 yz 平面 (从 (4) , (5) 中消去 x ) , 从 xz 平面 ( 从 (4) , (5) 中消去 y ) 上的投影曲线
x(t0 + ∆ t ) − x(t0 ) y(t0 + ∆ t ) − y(t0 ) z(t0 + ∆ t ) − z(t0 ) , , = lim { } ∆ t→0 ∆t ∆t ∆t
= { x'(t0 ) , y'(t0 ) , z'(t0 ) } r 即 l = { x'(t0 ) , y'(t0 ) ,Leabharlann Baiduz'(t0 ) }
G1( x , y , z) = 0 G2 ( x , y , z) = 0
相交所得的交线为一空间曲线 C 所以 , 对于空间曲线 C 可表示为 C:
G1( x , y , z) = 0 G2 ( x , y , z) = 0
(3)
C:
G1( x , y , z) = 0 G2 ( x , y , z) = 0
M0 = ( x(t0 ) , y(t0 ) , z(t0 )) , 则曲线在 M0 处的
切线方程
x − x(t0 ) y − y(t0 ) z − z(t0 ) = = x'(t0 ) y'(t0 ) z'(t0 )
3º 向量函数的积分 空间曲线的弧长
r 设向量函数 f (t ) = { f1(t ) , f2 (t ) , f3(t ) } , t ∈[a, b] r 原函数: 原函数 若存在向量函数 F(t ) 使在 [ a , b ] 上成立 r r F'(t ) = f (t ) r r 的一个原向量函数 则称 F(t ) 是区间 [ a , b ] 上 f (t ) 的一个原向量函数
= { x(t0 + ∆ t ) − x(t0 ) , y(t0 + ∆ t ) − y(t0 ) , z(t0 + ∆ t ) − z(t0 ) }
也可表示为 r ∆r x(t0 + ∆ t ) − x(t0 ) y(t0 + ∆ t ) − y(t0 ) z(t0 + ∆ t ) − z(t0 ) , , } ={ ∆t ∆t ∆t ∆t r r ∆r →l 可以看到 , 当 ∆t → 0 时 , M → M0 , ∆t 所以 , 曲线 C 在 M0 处切线的方向 r r r r r (t0 + ∆ t ) − r (t0 ) ∆r l = lim = lim ∆ t →0 ∆ t ∆ t →0 ∆t