第02章第五节 蛛网模型的数学推导

第02章第五节蛛网模型的数学推导

假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示：

Q st =-a+bP

t-1

（1）

Q dt =c-dP

t

（2）

Q s t=Q

dt

（3）

（1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。

将（1）式和（2）式代入（3）式可得：

c-dP

t =-a+bP

t-1

（4）

从（4）式中解出P

t

：

P t =（

-b

d

）P

t-1

+

a+c

d

（5）

在（5）式中假定t=1可得第1年价格为：

P 1=（

-b

d

）P

+

a+c

d

（6）

以此类推：

P 2=（

-b

d

）P

1

+

a+c

d

（7）

将（6）式代入（7）式中：

P 2=（

-b

d

）2P

+（

-b

d

）

a+c

d

+

a+c

d

重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格：

P n =（

-b

d

）n P

+[∑（

-b

d

）k]

a+c

d

=（-b

d

）n P

+

a+c

b+d

[1-（

-b

d

）n] （8）

又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t年达到均衡，则

P t =P

t+1

=……=P

E

（9）

将（9）式代入（5）式可得均衡价格P

E

：

P E =

a+c

b+d

（10）

将（10）式代入（8）式并整理：

P n =（

-b

d

）n P

+P

E

[1-（

-b

d

）n]

=（P

0-P

E

）（

-b

d

）n+P

E

（11）

从（11）式可得出下列结论：

（ⅰ）如果|-b

d

|<1，则：limP

n

=P

E

，即P

n

趋近于P

E

，市场价格将无限趋近

均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b

d

|<1，说明d

求曲线，供给弹性较小而需求弹性较大。

（ⅱ）如果|-b

d

|>1，则：limP

n

=∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期

是发散的。此时，d

（ⅲ）如果|-b

d

|=1，则P

2n

=P

，P

2n+1

=2P

E

-P

，价格在这两个值之间来回振荡，

蛛网周期是循环的，此时d=b，即供给曲线斜率与需求曲线斜率相等。