计量经济学讲义第十讲(共十讲)

第十讲 ARCH 模型及其扩展

一、数学准备：迭代期望定律

我们在第二讲中的笔记部分涉及到迭代期望定律。作为复习，此处把该定律再展示一次。

如果信息集Θ⊆Ω，则有][()()E E X E X ΩΘ=

Θ，此即迭代期望定律。为

了理解上述等式，考虑一个极端情况：Ω包含了全部的信息，则基于信息集Ω对x 的预测将没有任何预测误差，即有：()

E X X Ω=，因此必有][()()E E X E X ΩΘ=Θ。

另外，无条件期望所对应的信息集是空集，因此按照迭代期望定律必有：

[()]()E E X

E X Ω=。

二、ARCH 模型

考虑如下一个模型：

01t t t y x φφε=++ （1）

其中

t t

v ε=t v 是白噪声，方差为2

1v

δ=；t v 和(1)t i i ε-≥相互

独立；0

11

0,,...,0,1p

p

i i a a a a =>≥<∑。

对上述模型，可以验证： （1）)0(t E ε=

练习：证明上式。 （2）)0,0(t t i i E εε-=≠，即误差项序列无关。

证明：首先，

,...,,...,12

12,,...,,,...,)

))0

(((t t t t i t i t i t p t i t t t p t i t t E E E εεεεεεεεεεεεεε-----------=== 其次，按照迭代期望定律有：

,...,12

,,...,)])[((t t t i t i t p t i t t E E E εεεεεεεε------=

因此有：)

0,0(t t i i E εε-=≠

（3）20

1

)1(t

p

i

i a a E ε

==

-∑

证明：22220

01

1

[()]

())(t

p

p

t i t i i t i i i v a a a a E E

E ε

εε--==+=+=∑

∑

令2)(

t t x E ε=，则有差分方程：

01

t t i p

i i x a a x -==+∑

由于11

,...,0,1p

p

i i a a a =≥<∑，故上述差分方程满足平稳性的充分条件：

1

1p

i

i a =<∑（参见第八讲附 录）

，因此，当t 趋于无穷大时t x 收敛于均衡值x

*

，其中01

p

i i x

a a x

*

*

==+∑，即

1

1p

i

i a a x

*

==

-∑。我们一般都假定所

有的时间序列其发生时间都较为久远，因此2

1

)1(t

p

i

i a a E ε

==

-∑。

笔记：由上述证明可以理解为何规定0

11

0,,...,0,1p

p

i i a a a a =>≥<∑。

上述一系列证明表明t ε是平稳时间序列，如果再施加解释变量x 严格外生的条件，则模型满足所有的高斯-马尔科夫假定。因此可以对（1）进行OLS 估计得到最优线性无偏估计量。然而，OLS

估计并未利用

t t

v ε=这一条件，因此，必定存在比OLS

估计量更有效的估计量，显然，这样的估计量必定是非线性。我们现在不考虑如何估计模型，而是关注这个模型到底具有什么用途这个问题。

让我们来考察t ε的条件方差。由于条件期望12,,...,0)(t t p t t E εεεε---=，因此t

ε的条件方差t h 等于2

1

2

,,...,)(t t p t t E ε

ε

εε---。进而有：

2201

12

,,...,())(p

t t i t i i t p t t v a a h E εεεε-=---=+∑

2

201

12,,...,())(

p

t i t i i t p

t t v a a E εεεε-=---+=∑

2201

())(p

t i t i i v a a E ε-==

+∑

201

p

i t i

i a a ε-==+∑

201

p

i t i

i t a a h ε-==+∑具有什么样的含义呢？注意到2t i

ε-表示变量y 在过去时刻

的波动，因此该式意味着：如果已知过去的波动比较大，则当期的波动也比较大，反之亦然。此即金融时间序列常常所具有的“波动集聚”（V olatility clustering ）现象。下图就是“波动

集聚”的一个例子。

S&P500日收益率（1990.1 -1999.12）

笔记：

在上图中，似乎存在两个转折点。在第一个转折之处，波动由大变小；在第二个转折之处，波动由小变大。但统计规律所关注的是大部分观测结果所具有的规律，因此，由于转折点过少，我们忽略之。于是我们根据该图认为，如果已知过去的波动比较大，则当期的波动也比较大，反之亦然。

如果假定t v 服从标准正态分布，则我们可以证明t ε的分布和正态分布相比较是尖峰厚

尾（Leptokurtosis ）的，见附录1。

我们把模型重新表达为：

均值方程：

01t t t y x φφε=++