《数学方法论》数学中的化归方法

第五章 数学中的化归方法

就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。

对于上述问题、匈牙利著名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter ）在其名著《无穷的玩艺》中曾通过一个有趣的事例进行分析。她所给出的事例是这样的：

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。”

罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。

本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。

§5.1 化归方法的基本思想与原则

人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。

“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段。归结为另一个问题B ，而问题B 是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B 的解决而得到原问题A 的解答。用框图可直观表示为：

其中，问题B 常被称为化归目标，转化的手段被称为化归途径或化归策略。

辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化着。因此，作为一个数学系统或数学结构，其组成要素之间相互依存和相互联系的形式是可变的，正是这种可变的性质，产生了数学中的化归方法。化归方法有着坚实的客观基础，是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下的“相互转化”的能动反映。它着眼于揭示联系，实现转化通过“矛盾转化”解决问题。

转化

在数学史上，曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。例如，笛卡儿在《指导思维的法则》一书中就曾提出过如下的“万能方法”：第一，将任何实际问题化归为数学问题；

第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；

第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。

由于求解方程的问题被认为是已经解决的（或者说，是较为容易解决的），因此，在笛卡儿看来，我们就可以利用这样的方法去解决各种类型的问题。笛卡儿所给出的这一“问题解决”的模式可以看作是化归方法的一种具体运用。这一基本思想曾帮助笛卡儿发明了解析几何；而且现今人们把几何学命题的证明过程转化为代数方程组的零点集确定问题，最后实现机器证明定理的目标，也是这一思想的现代发展和深化。当然，任何方法都必然具有一定的局限性，因而所谓的“万能方法”是根本不存在的。

数学中的化归方法在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位。例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一种化归），不同的数学对象化归在同一种数学系统中进行研究，从而导致新的数学理论的产生，因而推动了数学的发展。另一方面，化归又为解决数学问题提供了一个有力的武器。

例如，在微积分中，不定积分的计算方法中就有所谓分部积分法。

设函数

()()x v

x

u,具有连续的导数，则

()()()()()()

⎰⎰'

-

=

'dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

①

或写作

()()()()()()

⎰

⎰-

=x

du

x

v

x

v

x

u

x

dv

x

u

②

利用公式①或②有时可以使难求得不定积分

()()

⎰'dx

x

v

x

u

转化为易求的不定积分

()()

⎰'dx

x

v

x

u

，从而得到所要求的结果。

又如，在定积分理论中，有著名的牛顿—莱布尼茨公式：

若函数

()x

F是连续函数()x f在区间[]b a,上的一个原函数，则

()()()a

F

b

F

dx

x

f b

a

-

=

⎰

牛顿—莱布尼茨公式不仅在理论上是很重要的，而且在实际计算中也有重要的意义，即将求定积分的问题化归为求被积函数的原函数或不定积分的问题。

“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离开不化归，只是体现的化归形式不同而已。计算题是利用规定的计算法则进行化归；证明题是利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用问题是利用数学模型进行化归。数学问题的化归方法也是多样的。把高次的化为低次的；多元的化为单元的；高维的化为低维的；把指数运算化为乘法运算；把乘法运算化为加法运算；把几何问题化为代数问题；把微分方程问题化为代数方程问题；化无理为有理；化连续为离散；化离散为连续；化一般为特殊；化特殊为一般；……。因此说，离开化归方法，数学问题的解决将寸步难行。

总之，数学中的化归方法的目的就是化难为易，化繁为简，化生为熟，化暗为明。

为了实现有效的化归，一般应遵循以下诸原则：

1、化归目标简单化原则

化归目标简单化原则是指化归应朝目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归。这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的简单，而且还指问题处理方式方法的简单。

例1，已知

,

4

)

2

1(

)1

2(2

2

2

2

2≠

-

=

-

+

-b

a

x

x

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af求)

(x

f。