第六章 点的合成运动习题课

aaξ = aC = 240mm/s
2
2 2 2 2 2 则 aa = aa η + aaξ = (-140) + 240 = 277.85mm/s
如图曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块直角三角 板ABC，θ已知。OA=O1B=r, O2D=r, D点可以在三角板 ABC的斜边上滑动。图示位置时，OA、O1B铅垂，AB、 O2D、OO1均为水平，已知此瞬时OA转动的角速度为， 角加速度为零，试求此时O2D转动的角速度和角加速度。
而aC=2 ω vr=240 mm/s2
由加速度合成定理：
n t aa = ae + ae + a r + aC
大小：? 方向: ? √ √ √ √ √ √ √ √
(1)
作加速度矢量图如图示。 将（1）式沿图示坐标轴投影，有
n 2 2 aaη = -ae + ar = (-200 + 60)mm/s = -140mm/s
ar = 36.6mm/s2
2 aC = ae = 136.6mm/s
将（1）式向铅直方向投影得
n t aa cos30 + aa sin30 = ae
例 4 如图所示半径为 R的圆轮轮心 C的速度＝常数，在图 示瞬时， DE=OD= 3 R ， φ ＝ 60° 。求此时杆 OA 的角速度、 角加速度。 解：取轮心C 为动点，动系固结于杆OA上。
3. 点的加速度合成定理
点的加速度合成定理建立了绝对加速度、牵连加速度、 相对加速度之间的关系，可分为动系平移时的加速度合成定 理与动系转动时的加速度合成定理。 当动系为平移时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度 与相对加速度的矢量和，以公式表示为
aa ae a r
当动系为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度、 相对加速度与科氏加速度的矢量和，以公式表示为
大小： √ 方向：√ √ √ ? √ ? √ √ √
(1)
2 2 v v n 2 式中，aa = 0, ae = 2R • ωOA = , aC = 2ωOAvr = 2R R 将（1）式沿 ξ 轴投影，有
t n 0 = ae cos30 + ae cos60 - aC
解得
2 3 v t ae = 2R
相对运动与相对位移、轨迹、速度、加速度：动点相对动系 的运动称为相对运动。动点相对动系的位移、轨迹、速度、 加速度称为相对位移、轨迹、速度、加速度，通常用符号vr， ar表示相对速度与相对加速度。 绝对运动与绝对位移、轨迹、速度、加速度：动点相对定系 的运动称为绝对运动。动点相对定系的位移、轨迹、速度、 加速度称为绝对位移、轨迹、速度、加速度，通常用符号va， aa表示绝对速度与绝对加速度。 牵连运动与牵连速度、加速度：动系相对于定系的运动称为 牵连运动。在某瞬时，动点和动系重合的动系上一点(称为牵 连点)相对静系的速度、加速度称为牵连速度、加速度，通常 用符号ve，ae 表示牵连速度与牵连加速度。
vr＝ 60t， ar＝ 60mm/s2
将φ=2t rad对时间求一阶、二阶导数得
ω＝ 2rad/s， α ＝ 0 当t ＝1 s 时， x=50mm， vr＝ 60mm/s， ar＝ 60mm/s2，而ω＝ 2rad/s， α ＝ 0
n t 则 ae = x • ω2 = 200mm/s2 , ae =0
aa ae a r aC
式中 a C = 2ωe ×v r
称为科氏加速度。
注意：
动系平移时的加速度合成定理和速度合成定理在形 式上相同，但速度合成定理里有3个矢量，而动系平移时的加 速度合成定理最多可有6个矢量。动系转动时的加速度合成定 理里有科氏加速度，最多可有7个矢量，所以求解速度和加速 度矢量式的方法大多数情况下不同。求解速度的问题，一般归 结为求解三角形的问题。求解加速度问题，因涉及的矢量较多， 通常采用在轴上投影的方法解决，计算相对复杂一些，且要注 意与刚养成的列平衡方程的习惯，方程右边等于零区别开来， 此处用的是合矢量投影定理，不要按方程右边等于零计算。加 速度合成定理一般为平面矢量式，可求解两个未知数。
解：取OA上A点（或滑块A）为动点，动系固结于杆CE上。 va 由速度合成定理：v a v e v r ve
其中， va＝ ω•OA＝300m/s 作速度平行四边形如图示。 可解出：
vr
vr =
ve sin30

= 600mm/s
ve = va tan60 = 300 3mm/s
第六章 点的合成运动习题课
一、主要内容回顾
1. 相对运动 ∙ 牵连运动 ∙ 绝对运动 动点：一个处于运动状态的无大小、质量的几何意义上的点， 可以是由一个物体抽象成的点，也可以是某运 动刚体 上的一个点。
定系：固结于地面或相对地面不动的物体上的坐标系。 动系：固结于相对定系运动的物体上的坐标系。
注意： 在用点的合成运动概念做题时，一定要首先声明所选 的动点和动系，定系一般不用声明，也不用画出，动参考系 建于哪个物体上需用文字说明，可以画出也可以不画出。
ve v h h
a h
O
（顺时针）
（顺时针）
由速度合成定理：v a v e v r
其中， va＝ v 作速度平行四边形如图示。
由图可知，由三个速度组成的三角 形为一等边三角形，
ve = vr = v
则
ωOA
ve v = = 方 向为逆时针 OC 2 R
作加速度矢量图如图示, 由加速度合成定理：
n t aa = ae + ae + a r + aC
则
ωBC = ωDE
ve = = 3rad/s 方向如图示 BC
例 3 如图所示曲柄滑道机构中，曲柄绕轴 O 转动， OA ＝ 100mm，在图示瞬时，角速度 ω＝1 rad／s，角加速度 α＝1 rad／s2。求导杆BC上点C的速度、加速度和滑块A相对导杆 BC 的速度、加速度。
解：取OA上A点（或滑块A）为动点，动系固结于导杆BC上。
t ae 3v 2 则 αOA = = 2R 4R2 （
）
例5 点M在杆OA上按规律x=20+30t2（其中，t 以s计； x以 mm计)运动，同时杆 OA 绕轴 O 以φ=2t rad的规律转动，如图 所示。求当t ＝1 s 时，点 M 的加速度大小。 解：取点M为动点，动系固结于OA杆上。 将x=20+30t2 对时间求一阶、二阶导数得
二、例题与课堂练习
例1. 用点的合成运动的方法确定图中各机构中的动点、动系， 绝对、相对轨迹，牵连运动的形式，并画出其速度平行四边 形。
例2. 如图所示机构中，曲柄OA＝150mm，以匀角速度ω＝ 2rad/s绕轴O 转动，杆BC与杆DE平行且长度相等， BC=DE=300mm, 图示瞬时，β＝30°，φ＝60°。求滑块A相对 于杆CE的速度，杆BC的角速度。
2. 点的速度合成定理
点的速度合成定理建立了绝对速度、牵连速度、相对速 度三种速度之间的关系：点的绝对速度等于牵连速度与相对 速度的矢量和，用公式表示，即 va = ve + v r 由此式画出的平行四边形称为速度平行四边形，可求解 两个未知量。 注意： 在推导点的速度合成定理时，对动系没有加任何限制条 件，故，不论动系做何种运动，此定理均成立。 在绝对、牵连、相对速度能直观观察出的情况，可按直观 观察结果画出三种速度，若绝对速度不在牵连、相对速度的对 角线上，则观察结果有误。在三种速度不能完全观察出的情况， 可按题给条件假设某种速度方向，最后以绝对速度在以牵连、 相对速度为邻边所形成的平行四边形的对角线上为准。
注意： 在静 (动) 力学中求约束力时，用来表示约束力的符号 一般具有任意性，无硬性规定，在其他地方也有这样的情况。 但在表示绝对、相对、牵连速度与加速度时，一般要用上面 规定的符号表示，因为基本在国内所有理论力学教材和其他 教材中，都用这种符号，这已经约定俗成。在这种情况下， 如果再自己重新规定一些符号已无意义，在平时考试和考研 中，一定要注意这一点。 思考： 1. 在上面三种运动的定义中，为什么定义了绝对位移 与轨迹，相对位移与轨迹，而不定义牵连位移与轨迹?在说到 位移、轨迹、速度、加速度时，是对点而言，还是对物体(刚 体)而言?说一个刚体的位移、轨迹、速度、加速度对不对?牵 连运动是一个点的运动还是一个物体(刚体)的运动? 2. 在定义牵连速度、加速度时，为什么不说动参照物 上与动点重合的那一点，而说成动系上与动点重合的那一点? 参照物和参考系有无区别?
由速度合成定理：v a v e v r 其中， va＝ ω•OA＝100m/s 作速度平行四边形如图示。 可解出：



vC = ve = vasin30 = 50mm/s
vr = va cos30 = 50 3mm/s
同样取OA上A点（或滑块A）为动点，动系固结于导杆BC上。 作加速度矢量图如图示。 由加速度合成定理：
O D va / O2 D tan
2
O D aat / O2 D 2 (1 tan3 )顺时针向
2
水平滑杆AB向右运动，摆杆OC在垂直位置时，AB的速 度和加速度为 v 及 a ，求此时摆杆OC的角速度和角加 速度。
C
v
a
A
B
h
OC
OC
t n aa + aa = ae + a r
√ √ ? √ ? √
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）
大小：√ 方向: √
其中， an = OA • ω2 = 100mm/s2 a
t 2 aa = OA • α = 100mm/s
将（1）式向水平方向投影得
n t - aa sin30 + aa cos30 = ar