多元函数可微的充分必要条件

式 代 入 得 ：
ｆ（Ｐ）－ｆ（Ｐｏ）
—
—
：
ｆ￣（Ｐｏ）ｃ。ｓ ＋Ｌ（Ｐｏ）ｃ。ｓ０２＋
Ｐ
Ｐ
从 而 有 ：
ｌｉｍ。 ｆ（Ｐ）－Ｐｆ （Ｐｏ） ：躲［ （ ）ｃ。ｓ ＋ （ｐ。）ｃｏｓ０￣１＋ｌ ｉ． ｍ＋。Ｏ（ｐ）
。
Ａ（Ｐ０）ｃｏｓ０１＋ｆｙ（Ｐｏ）＇Ｃ￣ｓ０２
证 明 ：必 要 性 ，因 为 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）可 微 ，所 以 存 在
义 ，则 函 数 ｆ（ｘ，Ｊ，）在 点 Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 点 Ｐ（ｘ ，Ｙｏ）的 两 个 偏 导 数 都 存 在 ，且 ： 一 ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘ０，ｙ）～ｆ（ｘ，Ｙ。）＋＿厂（Ｘｏ，Ｙ０）＝０（ｐ）
其中（ ， ）∈ｕ，ｐ＝√（ —ｘｏ） ＋（ ～Ｙｏ）
１ｙ－ＹＯ＝ｐＣＯＳ０２
（。）
由假 设 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）可微 。则 有 ，（ｐ）一ｆ（Ｐ０）＝ （ｐ。）（ — 。）＋ （ｐ。）（ —Ｙ。）＋Ｏ（ｐ）
（２）
其中Ｐ＝√ 一 ） ＋（ —Ｙ０） ，（２）式两端同除以ｐ，并把（１）
３ 充分 必要条件 定 理 ３：设 函 数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）的 某 个 邻 域 ｕ内 有 定
１ 可微 的必 要条件
定理 Ｉ：如果 函数 ｚ：ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ， ）处 可 微 ，则 在 该 点处 函
数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）的两 个偏 导 数 与 一 定 存 在 ，且 有 ：
矛盾，于是，函数厂 ， ）＝、／『 在原点（ｏ，０）不可微。
２ 可 微 的 充 分 条 件
．
定 理 ２：如 果 函 数 ｚ ｆ（ｘ， ）的 偏 导 数 与 在 点 Ｐ（ 。， ） 的 某 个 邻 域 内 连续 ，则 函数 ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘｏ，Ｙ。）处 可微 。
＝０（ｐ）＋ （ —Ｘｏ）＋ｆｌ（Ｙ一 ）Ｊ＝０（ｐ）
参 考 文 献
［１】同 济 大 学 数 学 系 ．高 等 数学 （上 册 ）［Ｍ］．北京 ：高等 教 育 出版 社 ，
２００９．
［２］汪 浩 ．高 等 数 学 （下 册）【Ｍ】．长 沙 ：国防 科 技 大 学 出版 社 ，１９８８． 【３】刘 玉 琏 ，傅 沛 仁 ．数 学 分 析 （下册 ）【Ｍ】．北 京 ：人 民 教 育 出版 社 ，
ｆ（ｘｏ＋Ａｘ，Ｙ０十△ｙ）一厂 ０，Ｙ０＋Ａｙ）＝ （ ０＋ＯｔＡｘ，Ｙ０＋ａｙ）Ａｒ （０＜０１＜１）
又 依假 设 ， ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）处 连续 ，得 ： ｌｉｍ （Ｘｏ十 血 ， 。＋△ ）：Ｌ（ｘｏ， ）
上 式 两 边 同时 除 以 ，再取 当 ＿÷０的 极 限 得 ，
充分 性 ，因 为 函 数 ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙｏ１ ）沿 任 一 方 向 的 方 向
（ ｏ，Ｙ０）和 ／ （ ｏ，．ｙ０），且 ：
导 数 关 于 方 向 ｒ一 致 收 敛 的 ，即 对 Ｖｓ＞０，］５＞０， 当 ｌＰｌ＜ ，且
ｆ（ｘ，Ｊ，）一ｆ（ｘｏ，Ｊ，）一ｆ（ｘ，Ｙ０）＋ｆ（ｘｏ，Ｙ０）
△Ｚ＝Ａ·Ａｘ＋Ｂ·Ａ），＋Ｄ（ｐ）
其中Ｐ：√（ ） ＋Ｏｘｙ）
即 ｆ（ｘ＋ ，Ｙ＋ ）一ｆ（ｘ，ｙ）：Ａ·Ａｘ＋Ｂ－△ ＋Ｄ（ｐ） 令 ＝０，这时 Ｐ＝』△ ，于是
ｆ（ｘ＋ ， ）－ｆ（ｘ， ）＝Ａ· ＋Ｄ（Ｉ 『）
某 个 邻 域 内存 在 ，设 点 （Ｘ。＋Ａｘ，Ｙ０＋△ ）为 该 邻 域 内 任 一 点 ，得 ：
１９８３，３．
【４１包 志 清 ．多 元 函数 可微 的 一 个 充 要 条 件【Ｊ】．重 庆 ：重庆 商 学 院 学 报 ，ｌ ８（２）．
（上 接 １１ ２页 ） 然 ，有 的 不 仅 要 知 其 然 ，还 要 知 其 所 以 然 。
参 考 文 献
【１］陈 琦 ，刘 儒 德 ．当代 教育 心 理 学 （第２版 ）【Ｍ］，北 京 师 范 大 学 出 版
： 为 △ 的 函 数 ，而 且 ，当 ０时 ，有 ｓ２ ０。
（２）
Ｌｚ · ’
所 以 ＝
例１：讨论函数ｆ（ｘ， ）＝，／ｒｘＹＪ在原点（ｏ，０）存在两个偏导数 ，但
由（１）（２）两 式 可 知 ，在 与 连 续 下 ，有
＝ （ ｏ，Ｙｏ） 十 （ ０，Ｙ０） ＋ｓｌ ＋６＂２ 又 因 为
关键 词 ：多元函数 偏 导数 可微 充分必要 条件
中图分 类号 ：０１ ７ ２
文献 标 识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ ６７ ３－９７９５（２０１ ２）０４（ａ）－Ｏ１１ ３－０２
一 元 函 数 可 微 与 可 导 是 等 价 的 ，且 ＝ｆ ）出 。那 么 多元 函 数在 某 一 点处 可 微 与 它 在 该 点 处 的偏 导 数 具 有 怎 样 关 系呢 ？，本文 以二元 函数来 简述这个 问题 ，即二元 函数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在点 ， ） 处 可 微 与 它 在 该 点 处 的 偏 导 数 之 间的 关 系 。
ｄｚ＝ （Ｏ，０） ＋ （Ｏ，Ｏ） ＝０
△ｚ＝，（０＋ ，０＋ ）一ｆ（０，ｏ）＝√｝ ·Ａｙｊ
特 别 地 ，取 △］ｃ＝△ ，有 ：
Ａｚ＝、／ｉ · ｌ＝，／１￣１ ：Ｉ ｌ
Ｐ＝√（△）ｃ） ＋（ ） ＝√２（△］（） ＝ ｛△）ｃｌ
于是
＝
＿＝ － １ 圳。
令 — 一 ，于 是 （３）式 也 可 表 示 为
又因为，当ｐ≠ｐ。时，印是ｐ＝４（ｘ一 ） ＋（ｙ一 ） 的高阶无
穷小 ，所 以 函数 ｆ（ｘ， ）在 点 尸（ ，Ｙｏ）可 微 。
充 分 性 因 为 （ ，ｙ。）和 ｏ，ｙｏ）存 在 ，且 ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘ０， ）一ｆ（ｘ，Ｙ０）＋ｆ（ｘ０，Ｙ。）＝０（ｐ） 又 由 于 ：
／【 ， ）一 （ ｏ， ）一 （ ， ）＋／（ ０，ｙｏ）
ａｚ ａｚ
证 明：由假设 ，函数 ｆ（ｘ， ）的偏导数 与 在点Ｐ（ｘｏ， ）的
ｄｚ： ． ＋ ．Ａｙ
。
证 明 ：由假 设 函 数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ， ）处 可 微 ，可 知 存 在 两 个 与 ，△ 无关 的常 数 Ａ、Ｂ，使 函数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）的 改 变 量 可 表 示 为 ：
理 论 前 沿
Ｌ（ｘ，ｙ）＝２ ｓｉｎ丽 １ 一 ｃ。ｓ
（ ｚ＋ ｚ 。）
由二 元 函数 在 一 点 可 微 的 定 义 可 知 ，函 数 ／ ，Ｊ，）在 点 Ｐ（ｘ０，Ｙ０）可 微 。
令 Ｘ＝ＰＣＯＳ ，Ｙ：Ｐ ｓｉｎ口 ，得
（
古） （ｐｃ。ｓ ｎ １ ＣＯＳａ
一
ｃ。ｓ
０
ｐ
ｐ２ ｓｉｎ
： ｌｉｍ — — 。 。 Ｐ
： ｌｉｍ ｐ ｓｉｎ ：０ ｐ 。 Ｐ
故 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 （０，０）处 是 可 微 的 。
Ｐ＝√ 一‰） ＋（Ｙ一 ） 是关于方向ｒ一致收敛。
证 明 ：必 要 性 ，设 ｐ（ｘ，ｙ）为 上 任 一 点 ，得 有 ：

一 ｘ０＝ ｐＣＯＳ０１
＝ ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘ。，Ｙｏ）一Ｌ厂（ｘ，Ｙｏ）一ｆ（ｘｏ，Ｙ。）＋ｆ（ｘ。， ）一ｆ（ｘ。，Ｙｏ）Ｊ ＝ ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一 （ ，ｙｏ）（ｘ—ｘｏ）＋ （ ，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）＋ａ（ｘ～ ｏ）＋ｆ ｌ（ｙ一 ）ｌ
其 中 当 （ ， ） （ｘ０，Ｙ ）时 ，有 ０， ０，故 有 ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一 （ ，ｙｏ）（ｘ—ｘｏ）～ （ ，ｙｏ） 一ｙｏ）
△Ｚ＝ （Ｘｏ，Ｙ０） 十 （Ｘｏ，Ｙ０） ＋ 其 中 是 当 Ｐ ０时 的 无 穷 小 。 故函数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在点 尸（ ，Ｙｏ）处可微。 例 ２：讨 论 函 数
）ｓｍ
：
Ｊ０
Ｘ２＋ｙ ＝０
在 点 （０，０）处 可 微 ，但 是 它 的偏 导 数 在 该 点 处 不 连 续
＝ ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘｏ，ｙｏ）一【厂（ｘ，ｙ。）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）＋ｆ（ｘ。，ｙ）一ｆ（Ｘｏ，Ｙｏ）］
＝ ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一 （ｘｏ，Ｊ ）（ 一 ）＋／ （Ｘｏ，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）＋ （ —Ｘｏ）＋ｐ（ 一ｙｏ）Ｊ 其 中 当 ， ）＿÷（ｘ ，Ｙｏ）时，有 ０，卢 ０。 由函 数 ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ Ｙｏ）可 微 性 的假 发 ，得 ： ｆ（ｘ，Ｙ）一ｆ（ｘＤ，Ｙｏ）一 （Ｘｏ，ｙｏ）（ —ｘ０）一 （ ０，Ｙｏ）（Ｙ—Ｙ。）＝０（ｐ）
理 论 前 沿
Ｃ￣ｉｎｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ￣ｎｎｏｖａ：ｔ：ｉｏ：ｎ ： Ｈ＝ｅ ｒａ ： ｌｄ● 矗Ｕ：
多 元 函数 可 微 的 充 分 必 要 条 件
庞 通 （广西 机 电职业技 术学 院 南宁 ５３０００７）
摘 要 ：以二 元 函数 可微 的必要 条件 、充分 条件 和充要 条件 来阐述 多元 函数 在 点 （Ｘ，Ｙ）处 可微 与偏 导数 的关 系。
（３）
是 函 数 在 原 点 （０，０）不 可 微 。 解 ：函数 ｆ（ｘ， ）在 原 点 （０，０）处 偏 导 数 存 在 ，即 ：
Ｉ ｆ≤【ｓｌＩ ：ｌ 咔：Ｉ
。
，
＝
＝ 。
而 且 随 着 （ ， ） （０，０）时 ，有Ｐ ０
盟
＝牌 ＝。
但 是 ，它 在 原 点 （０，０）不 可 微 ，事 实 上 ，反 之 ，如 果 它 在 原 点 （０，Ｏ）可 微 ，则 必 有 ：
Ａｚ＝ｆ（ｘ０＋ ，Ｙ０＋ ）一ｆ（ｘ０，Ｙ０）
＝ ［ｆ（ｘｏ＋ ，Ｙ。＋ｚｘｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ＋△ｙ）】＋【厂（． ，Ｙ。＋ ）一ｆ（ｘｏ ）】
在 第 一 括 号 内 的 表 达 式 ，由于 ＋△ 不变 ，因 而 可 以 看 作 是 Ｘ的 一 元 函数 ｆ（ｘ，Ｙ。＋ ）的 增 量 ，应 用 拉 格 朗 日中 值 定 理 ，得 ：
解 ：因 为
（。，。）＝ 丛
１ ，
．
＝ 二二 ： ｓ ：。
即 一 比 Ｐ不 是 高 阶 无 穷小 （当 ．÷０时 ），这 与 可微 的 定 义
同理 （０，０）＝０
中国科教 创新导 刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ １１
２０１ ２ ＮＯ ．１ Ｏ Ｏｈｌｏｏ Ｅｃｌｕｏａｔｌｏｎ ｆｌｎｏｖａｔ｝ｏｎ Ｈ ｅｒｌａＩｄ
定 Ｎ４：设 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ０，ｙ。）的 某 个 邻 域 ｕ内有 定 义 ， 则函数 ｆ（ｘ， ）在点 Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）可微的充分 必要条件是 ：函数 ｆ（ｘ， ） 在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）沿 任 一 方 向 ｒ的 方 向 导 数 存 在 ，且 ：
不 存 在 ，同样 可 知
即 （ ＋Ｏ；Ａｘ，Ｙ０＋△ ）＝ （ ０， ｏ）＋ｓｌ
＝
同理 可 得
于 是 ｆ（Ｘｏ＋Ａｘ，Ｙ０＋Ａｙ）－ｆ（ｘｏ，Ｙｏ＋Ａ ）＝ （Ｘｏ，ｙｏ）ＡＸ＋ ｌ△
为 ， 的 函数 ，而 且 ，当 ０，△ －－９＂０时 ，有
（１） ０。
魉
Ｕｐ ＝ Ｏｚ
Ｂ ＝
，
＝Ｂ
同 理 可 证 ，第 二 个 括 号 ｆ（Ｘｏ，Ｙ。＋ ）一ｆ（Ｘｏ，Ｙ。）＝ （Ｘｏ，Ｙ０） ＋ ：
又 ａ（ｘ一‰）＋ｆｌ（Ｙ～Ｙ。）＝ｏ（ｐ） 故 ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，ｙ）一ｆ（ｘ，Ｙｏ）＋ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）＝ｏ（ｐ）
Ｐ≠Ｐｏ时 ，有 ：
一
（ ）ＣＯＳ０ 一 （ ）。。ｓ Ｉ＜ｓ
１ ｐ
ｌ
得 Ｉ＿厂（ｐ）一ｆ（ｐ。）一 （ｐｏ）ｐＣＯＳ — （ｐＤ）ｐＣＯＳ ｌ＜印
即 １＿厂（ｐ）一ｆ（Ｐ０）一 （ｐ。）（ — 。）一 （ｐｏ）（ｙ—ｙｏ）ｌ＜
也 不 存在 。由此 可 知 函数 ， ， ）
（ｐ。）：ｌ ｉ ｍ 。
＝ （ｐ。）ｃ。ｓ ＋ｆＡＰｏ）ｃ。ｓ。
其 中 ， 分 别 为 平 面 向 量 ｒ 与 ，Ｙ 轴 的 正 方 向 夹 角 ，
ｌｉｍ 二 ： ± （０： ！ 』：１ｉｍ ！ ！ ！二 （０ １ ！二
０
ｐ