工程电磁场第三章
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工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
工程电磁场理论与应用讲义-3
第3章 电磁场分析的数学模型3.1 电磁场控制方程的表述电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。
根据数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。
对于静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。
针对这一定解问题的求解，发展了如上节所述的各种解算方法。
因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表达式，也就是建立特定电磁场问题的恰当的数学模型。
定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。
选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程度。
本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。
3.1.1 麦克斯韦方程组[54] 100多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升，引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。
其著作《Treatise on Electricity and Magnetism 》成书于1873年。
从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算公式，合起来构成了静止及运动媒质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。
科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。
在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。
本节主要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。
麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为：t∂∂+=⨯∇D J H (3-1) t∂∂-=⨯∇B E (3-2) 0=⋅∇B (3-3)ρ=⋅∇D (3-4)式中，H 、B 、D 、E 、J 、ρ 分别为磁场强度（A/m ）、磁感应强度（或称磁通密度，T ）、电位移（或称电通密度，C/m 2）、电场强度（V/m ）、电流密度（A/ m 2）和电荷密度（C/ m 3）。
工程电磁场3
2 B dl 2B 0 2 I a l
B
(a) 长直圆柱形铜导体截面
B
o
a
(b) 导体内、外|B|的变化曲线
图 无限长直圆柱形载流导体的磁场
0 I
2a
2
e
( a)
(2)导体外部( >a)
B dl 2B I
0 l
0 I B e 2
4．毕奥－萨伐尔定律
B(r ) (r ) A(r )
1 Br (r ) dV 0 4 V r r
0 J c 1 Br Ar dV dV 4 V r r 4 V R
2L
0 A ln ez ln ez ln e z 2 2 0 2
2L
Az B A 0 I e 2 e
0 I
例3-10：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为2b 且远大于a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通 量。 z
( a)
3.4.2 场分布：基于矢量磁位A
磁矢位 A 的引入 由
B 0 A 0 B A
A 称矢量磁位，单位： wb/m（韦伯/米）。
B 0 4
得
JdV eR 0 V R2 4
0 1 J dV= V 4 R
Q P1
M
B A
1 1 (sin A )er (rA )e r sin r r 0 a 2 I 0 a 2 I 2cos er sin e 3 3 4 r 4 r 0 m (2cos er sin e ) 3 4 r
3
B
(a) 长直圆柱形铜导体截面
B
o
a
(b) 导体内、外|B|的变化曲线
图 无限长直圆柱形载流导体的磁场
0 I
2a
2
e
( a)
(2)导体外部( >a)
B dl 2B I
0 l
0 I B e 2
4．毕奥－萨伐尔定律
B(r ) (r ) A(r )
1 Br (r ) dV 0 4 V r r
0 J c 1 Br Ar dV dV 4 V r r 4 V R
2L
0 A ln ez ln ez ln e z 2 2 0 2
2L
Az B A 0 I e 2 e
0 I
例3-10：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为2b 且远大于a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通 量。 z
( a)
3.4.2 场分布：基于矢量磁位A
磁矢位 A 的引入 由
B 0 A 0 B A
A 称矢量磁位，单位： wb/m（韦伯/米）。
B 0 4
得
JdV eR 0 V R2 4
0 1 J dV= V 4 R
Q P1
M
B A
1 1 (sin A )er (rA )e r sin r r 0 a 2 I 0 a 2 I 2cos er sin e 3 3 4 r 4 r 0 m (2cos er sin e ) 3 4 r
3
工程电磁场知识点总结
工程电磁场知识点总结第一章矢量分析与场论1 源点是指。
2 场点是指。
3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。
4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。
5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示梯度的方向表示。
6 方向导数与梯度的关系为7 梯度在直角坐标系中的表示为?u?。
8 矢量A在曲面S上的通量表示为?? 9 散度的物理含义是 10 散度在直角坐标系中的表示为??A?。
11 高斯散度定理。
12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。
13 旋度的物理含义是 14 旋度在直角坐标系中的表示为??A?。
15 矢量场A在一点沿el方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系为。
16 斯托克斯定理17 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,ez的线元分别为，18 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,e?的线元分别为，19 ?1111???'??2eR?2e'R RRRR???20 ??????'??'???????4??(R)?R??R??11?0(R?0)( R?0)第二章静电场1 点电荷q在空间产生的电场强度计算公式为。
2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为。
3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E。
4 已知空间电场强度分布E，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P处的电位?P。
5 一球面半径为R，球心在坐标原点处，电量Q均匀分布在球面上，?则点?,,??处的电位等于。
222??RRR6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的。
11 无限长直导线，电荷线密度为?，则空间电场E。
12 无限大导电平面，电荷面密度为?，则空间电场E。
13 静电场中电场强度线与等位面14 两等量异号电荷q，相距一小距离d，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩p= 。
工程电磁场-恒定磁场
例2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
μ0 α2
α1
μfe
铁磁媒质与空 气分界面
解：
tan 2
2 1
tan 1
0 fe
tan 1
0
2 0
表明 只要 1 90 ，空气侧的B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
2023/10/27
34/119
例 3 在两种媒质分界面两侧，
1 50，2 30
即 H2 H2yey H2xex 10ex 4ey A/m
B2 2H2 0(30ex 12ey ) T
M1 ∆l2
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
2023/10/27
20/119
4） 磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电
偶
极
子
p qd
ρp - P p P en
电场与磁场
磁 偶
Jm M
极 子
Bx
0Ky 2
dx (x2 y2)
B
0K
2
ex
0K
2
e
x
y0 y0
2023/10/27
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3.2 安培环路定律 Ampere’s Circuital Law 1. 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0 I 2
e
dl
0I d l 2
0I
2
2
0 d 0 I
α
I dΦ
Bdl
解: 平行平面磁场，且轴对称，故
图3.2.19 磁场分布
工程电磁场第三章解读
3.1 Electric Flux Density
9. Example 3.1: find D in the region about a uniform line charge of 8nC/m lying along the z axis in free space. 10. Exercise: D3.1, D3.2
3. Electric Flux Density D (coulombs/square meter):direction (the
direction of the flux lines at that point) and magnitude (the number of flux lines crossing a surface normal to the lines divided by the S. area).
Ds S
The total flux passing through the closed surface is d closed Ds dS
surface
3.2 Gauss’s Law 4.To a gaussian surface, the mathematical formulation of Gauss’s law DS dS charge closed Q( Qn L dL S dS d )
4. Shown in the right figure
Q D r a a (inner ) 2 r 4a Q D r b a (outer ) 2 r 4b Q D a ( a r b) 2 r 4r
3.1 Electric Flux Density
工程电磁场
8
§3-3 恒定电场的基本定理
1 电流连续性方程 在任意恒定电场中，作任意闭 合曲面S，由电荷守恒定律得
v ∂q ∫S δ ⋅ dS = I = − ∂t （3-11） v
在恒定电流场中，∂q ∂t = 0 v v （3-12） ∴ ∫ δ ⋅ dS = 0
S
图3-3 穿过闭合曲 面的电流密度线
——恒定电场的电流连续性方程的积分形式 电流连续性方程的积分形式
单位长度上所消耗的功率
P = ∫ P0 dV = ∫ γE dV = γ ∫
2 V V
R2
Hale Waihona Puke R1 U0 R ln (R R ) 2πRdR 2 1
2
2πγU 02 = ln (R2 R1 )
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 = = I 2πγ
（3-10）
∫
R3
R2
E 1 dR =
∫
R2
R1
2πγ 1 R
I0
dR +
∫
R3
R2
2πγ 2 R
I0
dR
I0 = 2π
R3 R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 R2
γ 1γ 2
24
于是，可由已知的电压U0求出I0 2πγ 1γ 2U 0 I0 = R3 R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 R2 代入上式得到 γ 2U 0
R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 γ 1U 0 E2 = R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 E1 = R3 R2 R
（R1＜R＜R2)
R3 R2
§3-3 恒定电场的基本定理
1 电流连续性方程 在任意恒定电场中，作任意闭 合曲面S，由电荷守恒定律得
v ∂q ∫S δ ⋅ dS = I = − ∂t （3-11） v
在恒定电流场中，∂q ∂t = 0 v v （3-12） ∴ ∫ δ ⋅ dS = 0
S
图3-3 穿过闭合曲 面的电流密度线
——恒定电场的电流连续性方程的积分形式 电流连续性方程的积分形式
单位长度上所消耗的功率
P = ∫ P0 dV = ∫ γE dV = γ ∫
2 V V
R2
Hale Waihona Puke R1 U0 R ln (R R ) 2πRdR 2 1
2
2πγU 02 = ln (R2 R1 )
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 = = I 2πγ
（3-10）
∫
R3
R2
E 1 dR =
∫
R2
R1
2πγ 1 R
I0
dR +
∫
R3
R2
2πγ 2 R
I0
dR
I0 = 2π
R3 R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 R2
γ 1γ 2
24
于是，可由已知的电压U0求出I0 2πγ 1γ 2U 0 I0 = R3 R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 R2 代入上式得到 γ 2U 0
R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 γ 1U 0 E2 = R2 γ 2 ln + γ 1 ln R1 E1 = R3 R2 R
（R1＜R＜R2)
R3 R2
工程电磁场第三章剖析
简单证明： 对J E 两边取面积分
左边 J dS I S
右边 E dS U dS S U GU
S
Sl
l
所以 U RI
7
3. 2恒定电场的基本方程 1. 局外场
要维持导电媒质中的恒定电流。就必须有恒定的电场强度。 在一个闭合回路中库仑电场的电场强度E闭合线积分为零。要维持恒定电流，电荷 在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。
在电源中，除局外电场外，也存在库仑电场，故总的电场强度为 在电源以外的其他区域，只存在库仑电场，故总的电场强度
如果积分路径经过电源，则电场强度的闭合线积分等于电源的电动势
9
考虑电源以外的空间 电源以外的恒定电场是无旋场
10
3.电流连续性 根据电荷守恒原理，自然界中电荷量是守恒的。给定任意闭合面，设闭合面内的
密度为ρ的体电荷以速度v运动形成体电流密度J
穿过面积S的电流就是电流密度J在该面积上的通量
4
如果体积的厚度可以忽略，则可以认为电荷在面上运动，形成面电流，有面电流密度 如果面的宽度可以忽略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。
5
2.电流密度与电场强度的关系 要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。 电场强度也是恒定电场的基本场矢量。
积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。
14
• D • E • E • E • E • E
•
E
2
•
E
•
J
积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。
例 在均匀恒定电流场中，电流密度为1，沿 x 方向。 在 x 从 0 到 1 的区域，媒质电导率从1均匀增加到 2 ， 介电常数保持 0 不变，试求自由电荷体密度。 解 据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，
工程电磁场PPT课件
eρ
a b
a
Jc
E
U 0 ln b
eρ
a b
a
R 1 1 1 ln b G Cll 2l a
Cl
U0
2
ln b
a
第19页/共91页
2．接地电阻 接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施，为电 力系统正常工作提供了零电位基准参考点。计算接地体 的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。
第11页/共91页
例3-2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，
如图所示。其介电常数和电导率分别为1，1和2，2， 厚度分别为d1和d2，外施恒定电压U0，忽略边缘效应。
试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积 中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界 面上的自由电荷面密度。
b a
Jc
td
tU0
ln
b a
厚度为t的导电片两端面的电阻为：
R
U0 I
S
U0 Jc • dS
b a
U 0
U0
e td
e
tln b
a
第4页/共91页
2．电功率
在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电 流密度J可认为是均匀的（E，F不变），其两端面分别为两个等位面。在电场力作 用下，dt时间内有dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为：
第20页/共91页
下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜象法得：
当r≥a时
4r 2Jc
2i, Jc
i
2r 2
,E
i
2r 2
,
E • dr
r
工程电磁场 威廉海特 第三章 PPT
任一矢量场的法向分量在闭合面上的面积分等于它的散度在闭 合面所包围的体积内的体积分。
3.3 对称分布电荷的电场
Coaxial Transmission Line (continued)
两边相等可得：
根据电场与电通量密度之间的关系有：
3.3 对称分布电荷的电场
由于每一条从内圆柱体电荷发出的电通量线都必须终止于外圆柱 体内表面上的一个负电荷，所以外圆柱内表面的总电荷为：
可求得外圆柱内表面的电荷分布：
斯面先要了解电场分布的对称性，解决两个问题： 1. 电场随哪个坐标变量变化？ 2. D存在哪些分量？ 线电荷电场以z轴轴对称，D只有径向分量：
分量的大小仅是半径的函数：
所以可以建立一个以z轴为中心，为半径，长度为L的圆柱面。
3.3 对称分布电荷的电场
根据高斯定律:
得到: 闭合面内总电荷: 代入上式有： 最后得到：
将矢量点乘转化为标量相乘：
得到：
3.3 对称分布电荷的电场
点电荷电场
点电荷电通量密度公式： 选择半径为a的球面为闭合面，闭合面上任意一点的电通量密度为：
面积元： 矢量形式：
3.3 对称分布电荷的电场
根据高斯定律:
= =
3.3 对称分布电荷的电场
线电荷电场
研究以密度L从 z 沿z 轴均匀分布线电荷的电场，选择闭合高
3.3 对称分布电荷的电场
同轴电缆电场
同轴电缆问题与线电荷电场相似，两个圆柱面
都以z轴对称，内导体外表面的电荷面密度为S 。
闭合面选择：根据对称性， D只有径向分
量，分量的大小仅是半径的函数，所以选择长 度L 半径 （a < < b）的闭合圆柱面作为高斯
面，可得到： 高斯定律表达式左边：
3.3 对称分布电荷的电场
Coaxial Transmission Line (continued)
两边相等可得：
根据电场与电通量密度之间的关系有：
3.3 对称分布电荷的电场
由于每一条从内圆柱体电荷发出的电通量线都必须终止于外圆柱 体内表面上的一个负电荷，所以外圆柱内表面的总电荷为：
可求得外圆柱内表面的电荷分布：
斯面先要了解电场分布的对称性，解决两个问题： 1. 电场随哪个坐标变量变化？ 2. D存在哪些分量？ 线电荷电场以z轴轴对称，D只有径向分量：
分量的大小仅是半径的函数：
所以可以建立一个以z轴为中心，为半径，长度为L的圆柱面。
3.3 对称分布电荷的电场
根据高斯定律:
得到: 闭合面内总电荷: 代入上式有： 最后得到：
将矢量点乘转化为标量相乘：
得到：
3.3 对称分布电荷的电场
点电荷电场
点电荷电通量密度公式： 选择半径为a的球面为闭合面，闭合面上任意一点的电通量密度为：
面积元： 矢量形式：
3.3 对称分布电荷的电场
根据高斯定律:
= =
3.3 对称分布电荷的电场
线电荷电场
研究以密度L从 z 沿z 轴均匀分布线电荷的电场，选择闭合高
3.3 对称分布电荷的电场
同轴电缆电场
同轴电缆问题与线电荷电场相似，两个圆柱面
都以z轴对称，内导体外表面的电荷面密度为S 。
闭合面选择：根据对称性， D只有径向分
量，分量的大小仅是半径的函数，所以选择长 度L 半径 （a < < b）的闭合圆柱面作为高斯
面，可得到： 高斯定律表达式左边：
武汉工程大学工程电磁场第三章恒定电场
(1)边界条件
设有媒质电导率分别为 1,的2交界面，可得
1n 2n (3-14 )
E1t E2t (3-15)
上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的
法线分量连续。
在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度 的E切线分量连
续。
n 1
1
1
不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理：
tan 1 1 tan 2 2
单位长度上的绝缘电阻
R0
U0 I
ln R2
2
R1
（3-10）
8
§3-3 恒定电场的基本定理
1 电流连续性方程
在任意恒定电场中，作任意闭合曲 面S，由电荷守恒定律得
dS
I
q
（3-11）
S
t
在恒定电流场中，
S dS 0
q t 0
（3-12）
图3-3 穿过闭合曲面 的电流密度线
——恒定电场的电流连续性方程的积分形式
图3-5 电流由导体 流入土壤
16
1.具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件
(1)非理想介质
几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们
在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。E
在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要 考虑其特有的介质性能。
在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在， 因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即
(2)恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？ 12
3 恒定电场的拉普拉斯方程
E
2
0
当媒质均匀时 0 则得 2 0
通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯 方程。而满足拉普拉斯方程的位函数，则称之为调和函数。
工程电磁场第三章
球坐标系下拉普拉斯 方程
通解 边界条件
补充例3
一个由两层媒质构成的平行板电容器如图 所 示。两层媒质的电容率和电导率分别为 1 ， 和 1 ， 2 ， 2 厚度分别为d1和d2，极板面 积为S。当外加电压v0时，求通过电容器的漏 电流和两媒质分界面上的自由电荷密度和极 化电荷密度
S
I
d1
第二，讨论电流密度J应满足的分界面条件。 第三，讨论电位Ф应满足的分界面条件。
由 l E dl 0 SJ dS 0
E1t E2t
得
J1n J 2n
说明 分界面上 E 切向分量 连续，J 的法向分量连续。
折射定律
tan1 1 tan2 2
电流线的折射
2.导电媒质分界面积累自由面电荷 在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷，当达到平衡状态时，根据
1 ( r 2
1d 2
1) 0V0
第三章 恒定电场的基本原理
定义电流和电流密度 电源的电动势和局外电场强度 恒定电场的电流连续性 恒定电场的基本方程 恒定电场的导电媒质分界面条件 讨论边值问题
重点掌握电流密度的定义和恒定电场的基本性质，学会将 恒定电流场表述为边值问题。
3 .1电流与电流密度 1.电流与电流密度 电荷有规则的运动形成电流； 导电媒质中的电流称为传导电流； 不导电空间电荷运动形成的电流称为运流电流； 不随时间变化的电流是恒定电流，维持恒定电流的电场称为恒定电场。
的极化强度得到
pS1
n
P1
n [ 0 ( r1
1)E1 ]
0 ( r1
1) J
1
pS 2
n P2
n [ 0 ( r 2
1)E2 ] 0 ( r 2
通解 边界条件
补充例3
一个由两层媒质构成的平行板电容器如图 所 示。两层媒质的电容率和电导率分别为 1 ， 和 1 ， 2 ， 2 厚度分别为d1和d2，极板面 积为S。当外加电压v0时，求通过电容器的漏 电流和两媒质分界面上的自由电荷密度和极 化电荷密度
S
I
d1
第二，讨论电流密度J应满足的分界面条件。 第三，讨论电位Ф应满足的分界面条件。
由 l E dl 0 SJ dS 0
E1t E2t
得
J1n J 2n
说明 分界面上 E 切向分量 连续，J 的法向分量连续。
折射定律
tan1 1 tan2 2
电流线的折射
2.导电媒质分界面积累自由面电荷 在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷，当达到平衡状态时，根据
1 ( r 2
1d 2
1) 0V0
第三章 恒定电场的基本原理
定义电流和电流密度 电源的电动势和局外电场强度 恒定电场的电流连续性 恒定电场的基本方程 恒定电场的导电媒质分界面条件 讨论边值问题
重点掌握电流密度的定义和恒定电场的基本性质，学会将 恒定电流场表述为边值问题。
3 .1电流与电流密度 1.电流与电流密度 电荷有规则的运动形成电流； 导电媒质中的电流称为传导电流； 不导电空间电荷运动形成的电流称为运流电流； 不随时间变化的电流是恒定电流，维持恒定电流的电场称为恒定电场。
的极化强度得到
pS1
n
P1
n [ 0 ( r1
1)E1 ]
0 ( r1
1) J
1
pS 2
n P2
n [ 0 ( r 2
1)E2 ] 0 ( r 2
工程电磁场第三章
µ0
体电流
J (r′) ×(r − r′) B= ∫V′ r − r′ 3 dV′ 4π
µ0
注：毕奥－沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。
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第 三 章
恒定磁场
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。 解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，
Idl ×eR 式中 R2 = ρ2 + z2 B= ∫ 4π L R2 ρ dl ×eR = dzsin θeφ = dz sin αeφ = dzeφ R µ0 L Iρ B = eφ ∫ dz −L (ρ2 + z2 )3 2 4π
恒定磁场
2. 磁通连续性原理 根据 ∇⋅ B ≡ 0 有
∫∇⋅ BdV
V
散度定理
∫s B⋅dS = 0
磁通：磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通
Φ = ∫ B⋅ dS 单位：Wb (韦伯)
S
物理意义： 穿过任意闭和面的磁通量为零。 即进入闭和面S的磁力线数与穿出闭和面S的磁力线数相 等，磁力线是闭和的。 表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。
J(x′, y′, z′) ×eR B(x, y, z) = ∫ dV′ 2 ′ 4π V R
µ0
进行散度运算后 ∇⋅ B = 0 表明 B 是无头无尾的闭合 线，恒定磁场是无源场。
图3.2.1 计算体电流的磁场
∇⋅ B = 0 可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场 的必要条件。
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第 三 章
2 µ0I (ρ3 − ρ2 ) ∫lB⋅ dl = 2πρB = ρ32 − ρ22
得到
µ0I ρ − ρ B= ⋅ e 2 φ 2πρ ρ − ρ2
工程电磁场 第3章
b E dl
b
（3-3）
电位参考点选取的一般原则是：① 电位的 表达式要有意义，如在点电荷产生的电场中不 能选取点电荷所在处为电位参考点，以及在均 匀电场中不能选取无穷远处作为电位参考点 （否则空间中多数位置处的电位为无穷大而失 去实际意义）等；② 同一问题只能选取一个 电位参考点。一般地，若电荷分布在有限区域 内，则可选取无穷远处为电位参考点；若电荷 不是分布在有限区域内，则应根据实际情况将 参考点选在有限区域内。
2
2 1 2
1
2
d R cos 2
2 d d R R 2R cos 2 2
d R cos 2
d R R R cos R 2 2
介质可分为无极性介质和有极性介质。不 论是无极性介质还是有极性介质，在外电场作 用下，每一个分子的束缚电荷都形成电偶极子， 从而介质处于被极化状态，介质内含有大量的 电偶极子，对外呈现带电现象。这样，介质中 的场强变为场源电荷（自由电荷）与介质中束 缚电荷产生的场强的叠加，从而改变原来的场 分布，其总的效应是使介质中的场强被削弱。
类似于自由空间中自由体电荷分布产生的电 位， 极化介质外任一点的电位应为介质内所有束缚 电荷在该点产生的宏观电位， 尽管两者产生电位的 性质不同。 为了计算这个宏观电位， 引入一个新的物理量 —极化强度 P ：
1 P lim V 0 V
p
i 1
n
i
C
m2
（3-23）
这样，将式（3-21）中的 p 用 PdV 代之，即 得极化介质内体积元 dV 内的电偶极矩在介质外 任一点 p 处产生的电位微元为
（3-25）
式中 V 为极化介质的体积， an 为包围体积 V 的封闭面 S 上的面积微元矢量 dS 的外法向单位 矢量。将式（3-25）和式（3-7b）相比较可知， 体积分中的 ( P) 相当于一种体电荷密度； 面积 分中的 (P an ) 相当于一种面电荷密度。为此，前 者称为束缚体电荷密度，记为 p ；后者称为束缚 面电荷密度，记为 ps ，即
工程磁场学第三章(2)
图3.7.9 两个细导线电流回路
21
21
l2
A dl2
(2)
将式（1）代入式（2）得
0
4
21
l l
2
I 1d l1
1
R
dl2
M
12
则两细导线回路间的互感
M
21
o
4
I1
l2
d l1 d l 2
l1
R
若回路1、2分别由 N1、N2 细线密绕，互感为
M 21 M 12 N1 N 2 o 4
磁场能量为
I
W m dW
m
iLdi
0
1 2
LI
2
1 2
I
（2）n个载流回路的磁场能量 假设各个回路电流均按同一比例m (0≤m≤1)由零值增长到终 值。在其中的某一时刻
i k ( t ) mI
k
k (t ) m k
在dt时间间隔内，外源作功为
dW
m
dW i k t d
ln
0
0
ln
A d l A1l A 2 l
L0
0
I
0l
ln
D R R
0I l
D R R
总自感为
L 2 Li L0
0l
4
0l
ln
D R R
L0
I
0
0l
ln
D R R
3.6.2 互感
在线性媒质中，回路1的电流 I 1 产生与回路2相交链的磁链
21
21
l2
A dl2
(2)
将式（1）代入式（2）得
0
4
21
l l
2
I 1d l1
1
R
dl2
M
12
则两细导线回路间的互感
M
21
o
4
I1
l2
d l1 d l 2
l1
R
若回路1、2分别由 N1、N2 细线密绕，互感为
M 21 M 12 N1 N 2 o 4
磁场能量为
I
W m dW
m
iLdi
0
1 2
LI
2
1 2
I
（2）n个载流回路的磁场能量 假设各个回路电流均按同一比例m (0≤m≤1)由零值增长到终 值。在其中的某一时刻
i k ( t ) mI
k
k (t ) m k
在dt时间间隔内，外源作功为
dW
m
dW i k t d
ln
0
0
ln
A d l A1l A 2 l
L0
0
I
0l
ln
D R R
0I l
D R R
总自感为
L 2 Li L0
0l
4
0l
ln
D R R
L0
I
0
0l
ln
D R R
3.6.2 互感
在线性媒质中，回路1的电流 I 1 产生与回路2相交链的磁链
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求得
(r )
R2
r
ln R2 ln r Ed r U ln R2 ln R1
28
其次，考虑导体与理想电介质(绝缘体)分界面的情况。 对于理想电介质
结论1：导体中电流在靠近表面时，沿表面的切线方向流动，导体中靠近 表面的电场强度也只有切向分量。
由电场强度的分界面条件
电位移矢量的分界面条件
I I B A 2 r0 b 2 r0 I 1 1 2 r0 b r0 I b bI = 2 2 r0 b r0 2 r0
46
在危险区的边缘上， 跨步电压正好等于电压的安全限值。 令 U BA
bI U0 ， U 0 ，求得 2 2 r0
bI r0 2 U 0
r0 就是危险区的半径。
47
补充例3 一个由两层媒质构成的平行板电容器如图 所 示。两层媒质的电容率和电导率分别为 1 ， 和 1 ， 2 ， 2 厚度分别为d1和d2，极板面 积为S。当外加电压v0时，求通过电容器的漏 电流和两媒质分界面上的自由电荷密度和极 化电荷密度
静电场 ( 0 )
恒定电场（电源外）静电场 恒定电场
E 0
E 0
E D
E
D 0
J 0
D E
2 0
q D dS
S
J E
2 0
ε
J
I
I J dS
S
q
33
例 图所示圆管形电极浅埋地下，上端与地面齐平。 已知大地电导率 ，建立恒定电流场边值问题模型， 计算接地极附近电位和电流密度分布。 解 这是一个半无限大区域的问题，
1
100
无限远处（计算时取较远的圆周）为 第一类齐次边界条件
1
0
地面为第二类齐次边界条件
0 n 2
38
对称轴线为第二类齐等电位线分布如图。 电流密度矢量分布如图。 地面电位分布如图。
40
41
42
3．接地体附近跨步电压 接地电流流入大地后，在地面形成电位分布。 在接地体附近地面，人的两脚之间有电位差。 这一电位差称为跨步电压。 跨步电压超过允许值的区域称为危险区。 设跨步电压安全限值为 U 0 ，入地电流为 I ， 试确定如图所示浅埋半球接地体附近地面的危险区。
γ称为导电媒质的电导率，单位是西/米，S/m
式中ρR称为导电媒质的电阻率，单位是欧· 米，Ω˙m 电导率和电阻率互为倒数。上式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质中恒 定电场的辅助方程。
6
在线性媒质中 J E 欧姆定律 微分形式。
U RI 欧姆定律 积分形式。
J 与 E 共存，且方向一致。 简单证明： 对 J E 两边取面积分
J 与 E 之关系
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 所以 U RI
7
3. 2恒定电场的基本方程 1. 局外场 要维持导电媒质中的恒定电流。就必须有恒定的电场强度。 在一个闭合回路中库仑电场的电场强度E闭合线积分为零。要维持恒定电流，电 荷在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。
24
土壤的电导率为 ，得电场强度
J I E e 2 r 4 r
从而得电位
I I U E dl dr 2 r r 4 r 4 r
例
已知内外导体电位差 U ， 绝缘材料的电导率为 ，
截面如图所示的同轴电缆的漏电流密度、电场强度、电位。
25
积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。 例 在均匀恒定电流场中，电流密度为1 ，沿 x 方向。
在 x 从 0 到 1 的区域，媒质电导率从 1 均匀增加到 2 ， 介电常数保持 0 不变，试求自由电荷体密度。 解 据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，
15
1 1 ex， 由 E J ， 1 x ，得 E 1 x
17
第二，讨论电流密度J应满足的分界面条件。
第三，讨论电位Ф应满足的分界面条件。
18
19
2.导电媒质分界面积累自由面电荷 在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷，当达到平衡状态时，根据
媒质分界面上才没有自由面电荷 一般情况下这一关系不满足，媒质分界面上存在自由面电荷。
20
3.媒质分界面的两种特殊情况 首先，讨论良导体和不良导体分界面的情况。 根据分界面条件，得
电流通过接地体进入大地已知流到无限远处。 在离接地体较远的地方，电流接近半球形分布。 假设无限远处电位为零， 离接地体越远电流密度越小，
34
电流密度与距离平方成反比， 而电位与距离成反比， 为了观察接地体附近的电流分布和电位分布， 可以取较远的位置做一个半球面， 近似认为半球面上电位为零。
35
36
43
44
根据分析，地表面到球心距离为 r 处， 电场强度为
2I E e 2 r 4 r
电位
I I E dr dr 2 r r 2 r 2 r
假设人处在距接地体球心 r0 处，
45
朝接地体方向跨出一步，跨步距离为 b ， 这时跨步电压为
U BA
提供局外力的装置就是电源。在电源中，其他形式的能量(如化学能、机械能 和光能等)转换为电能。在整个闭合回路中，电能又转换为别的形式的能量。
8
2.电动势 图3-2-1所示为一个典型的导电回路。
为了衡量电源将其他能量转换为电能的能力， 我们把单位正电荷从电源负极运动到 正极，局外力所做的功定义为电源的电动势， 用e表示，且
这是电流连续性方程的积分形式。等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量，等 式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。 应用散度定理
考虑电荷体密度为ρ ，有
11
对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化
上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何区域。电流连续即电流密度的散度为 零，说明恒定电流场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终止电流密 度线，即电流密度线处处连续。
在分界面处，当电流从良导体γ1进入不良导体γ2时，电流密度的法向分量不变， 而切向分量改变为原来的γ2/ γ1倍。对于良导体与不良导体分界面，因γ1远大 于γ2， γ2/ γ1很小，所以一般情况下J2t可以忽略。因此可得如下结论: （1）从不良导体一侧看，进入的电流线近似与分界面垂直。 （2）在不良导体中放入良导体电极，从不良导体一侧看，可以认为电流 线垂直进入或流出电极表面，电极表面可作为等位面处理。
23
在接地体之外，作半径为 r 的球面，根据电流连续性， 从接地线进入接地体的电流应等于 接地体表面流入大地的电流， 也就是穿过上述球面的电流。 设穿过球面的体电流密度为 J ，则 J Je r ，有
2 J dS 4 r J I S
I J Jer e 2 r 4r
12
4.恒定电场的基本方程及辅助方程 在电源以外的导电媒质中，恒定电场的基本方程微分形式为 微分形式
积分形式为 辅助方程 辅助方程在电源内部成立
电源以外空间恒定电场的电 位满足拉普拉斯方程
电源以外空间(包括导电媒质)的 恒定电场是由电荷产生的库仑场， 空间电场也应满足高斯通量定理
13
5.不均匀导电媒质内部积累电荷 在恒定电场建立过程中，当导电媒质不均匀时，其内部积累自由电荷。
第三章
恒定电场的基本原理
定义电流和电流密度 电源的电动势和局外电场强度 恒定电场的电流连续性 恒定电场的基本方程 恒定电场的导电媒质分界面条件 讨论边值问题 重点掌握电流密度的定义和恒定电场的基本性质，学会 将恒定电流场表述为边值问题。
1
3
恒定电场的基本原理
本章提示：
电荷有规则运动形成电流，定义电流和电流密度。 维持恒定电流的条件，引出电动势和局外电场强度； 由电荷守恒原理导出恒定电场的电流连续性； 从而得到恒定电场的基本方程。 导出恒定电场的导电媒质分界面条件。 最后边值问题。
密度为ρ的体电荷以速度v运动形成体电流密度J
穿过面积S的电流就是电流密度J在该面积上的通量
4
如果体积的厚度可以忽略，则可以认为电荷在面上运动，形成面电流，有面电流密度
如果面的宽度可以忽略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。
5
2.电流密度与电场强度的关系 要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。 电场强度也是恒定电场的基本场矢量。
积累自由电荷的体密度与
的空间变化有关。
14
D E E E E E 2 E J E
0 D e x 。计算自由电荷体密度 1 x
D
0 0 ( ) x 1 x (1 x) 2
图中画出了电位移矢量分布 情况， 随着 x 的增大， 电位移矢量数值变小， 说明有？值的自由体电荷。
16
3. 3导电媒质分界面条件 1.分界面条件 在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷。这造 成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方 程的应用，却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处遇到困难。 第一，讨论电场强度E应满足的分界面条件。
载流导体表面的电场
30
3. 4恒定电流场的边值问题 1 恒定电流场的基本方程 电源以外的恒定电场的电场强度满足环路定理，即
31
2.边界条件 第一类边界条件: 一般在已知电压的电极表面上有
第二类边界条件: 一般在已知电流分布的电极表面上有
在导体与绝缘体分界面上有
(r )
R2
r
ln R2 ln r Ed r U ln R2 ln R1
28
其次，考虑导体与理想电介质(绝缘体)分界面的情况。 对于理想电介质
结论1：导体中电流在靠近表面时，沿表面的切线方向流动，导体中靠近 表面的电场强度也只有切向分量。
由电场强度的分界面条件
电位移矢量的分界面条件
I I B A 2 r0 b 2 r0 I 1 1 2 r0 b r0 I b bI = 2 2 r0 b r0 2 r0
46
在危险区的边缘上， 跨步电压正好等于电压的安全限值。 令 U BA
bI U0 ， U 0 ，求得 2 2 r0
bI r0 2 U 0
r0 就是危险区的半径。
47
补充例3 一个由两层媒质构成的平行板电容器如图 所 示。两层媒质的电容率和电导率分别为 1 ， 和 1 ， 2 ， 2 厚度分别为d1和d2，极板面 积为S。当外加电压v0时，求通过电容器的漏 电流和两媒质分界面上的自由电荷密度和极 化电荷密度
静电场 ( 0 )
恒定电场（电源外）静电场 恒定电场
E 0
E 0
E D
E
D 0
J 0
D E
2 0
q D dS
S
J E
2 0
ε
J
I
I J dS
S
q
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例 图所示圆管形电极浅埋地下，上端与地面齐平。 已知大地电导率 ，建立恒定电流场边值问题模型， 计算接地极附近电位和电流密度分布。 解 这是一个半无限大区域的问题，
1
100
无限远处（计算时取较远的圆周）为 第一类齐次边界条件
1
0
地面为第二类齐次边界条件
0 n 2
38
对称轴线为第二类齐等电位线分布如图。 电流密度矢量分布如图。 地面电位分布如图。
40
41
42
3．接地体附近跨步电压 接地电流流入大地后，在地面形成电位分布。 在接地体附近地面，人的两脚之间有电位差。 这一电位差称为跨步电压。 跨步电压超过允许值的区域称为危险区。 设跨步电压安全限值为 U 0 ，入地电流为 I ， 试确定如图所示浅埋半球接地体附近地面的危险区。
γ称为导电媒质的电导率，单位是西/米，S/m
式中ρR称为导电媒质的电阻率，单位是欧· 米，Ω˙m 电导率和电阻率互为倒数。上式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质中恒 定电场的辅助方程。
6
在线性媒质中 J E 欧姆定律 微分形式。
U RI 欧姆定律 积分形式。
J 与 E 共存，且方向一致。 简单证明： 对 J E 两边取面积分
J 与 E 之关系
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 所以 U RI
7
3. 2恒定电场的基本方程 1. 局外场 要维持导电媒质中的恒定电流。就必须有恒定的电场强度。 在一个闭合回路中库仑电场的电场强度E闭合线积分为零。要维持恒定电流，电 荷在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。
24
土壤的电导率为 ，得电场强度
J I E e 2 r 4 r
从而得电位
I I U E dl dr 2 r r 4 r 4 r
例
已知内外导体电位差 U ， 绝缘材料的电导率为 ，
截面如图所示的同轴电缆的漏电流密度、电场强度、电位。
25
积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。 例 在均匀恒定电流场中，电流密度为1 ，沿 x 方向。
在 x 从 0 到 1 的区域，媒质电导率从 1 均匀增加到 2 ， 介电常数保持 0 不变，试求自由电荷体密度。 解 据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，
15
1 1 ex， 由 E J ， 1 x ，得 E 1 x
17
第二，讨论电流密度J应满足的分界面条件。
第三，讨论电位Ф应满足的分界面条件。
18
19
2.导电媒质分界面积累自由面电荷 在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷，当达到平衡状态时，根据
媒质分界面上才没有自由面电荷 一般情况下这一关系不满足，媒质分界面上存在自由面电荷。
20
3.媒质分界面的两种特殊情况 首先，讨论良导体和不良导体分界面的情况。 根据分界面条件，得
电流通过接地体进入大地已知流到无限远处。 在离接地体较远的地方，电流接近半球形分布。 假设无限远处电位为零， 离接地体越远电流密度越小，
34
电流密度与距离平方成反比， 而电位与距离成反比， 为了观察接地体附近的电流分布和电位分布， 可以取较远的位置做一个半球面， 近似认为半球面上电位为零。
35
36
43
44
根据分析，地表面到球心距离为 r 处， 电场强度为
2I E e 2 r 4 r
电位
I I E dr dr 2 r r 2 r 2 r
假设人处在距接地体球心 r0 处，
45
朝接地体方向跨出一步，跨步距离为 b ， 这时跨步电压为
U BA
提供局外力的装置就是电源。在电源中，其他形式的能量(如化学能、机械能 和光能等)转换为电能。在整个闭合回路中，电能又转换为别的形式的能量。
8
2.电动势 图3-2-1所示为一个典型的导电回路。
为了衡量电源将其他能量转换为电能的能力， 我们把单位正电荷从电源负极运动到 正极，局外力所做的功定义为电源的电动势， 用e表示，且
这是电流连续性方程的积分形式。等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量，等 式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。 应用散度定理
考虑电荷体密度为ρ ，有
11
对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化
上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何区域。电流连续即电流密度的散度为 零，说明恒定电流场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终止电流密 度线，即电流密度线处处连续。
在分界面处，当电流从良导体γ1进入不良导体γ2时，电流密度的法向分量不变， 而切向分量改变为原来的γ2/ γ1倍。对于良导体与不良导体分界面，因γ1远大 于γ2， γ2/ γ1很小，所以一般情况下J2t可以忽略。因此可得如下结论: （1）从不良导体一侧看，进入的电流线近似与分界面垂直。 （2）在不良导体中放入良导体电极，从不良导体一侧看，可以认为电流 线垂直进入或流出电极表面，电极表面可作为等位面处理。
23
在接地体之外，作半径为 r 的球面，根据电流连续性， 从接地线进入接地体的电流应等于 接地体表面流入大地的电流， 也就是穿过上述球面的电流。 设穿过球面的体电流密度为 J ，则 J Je r ，有
2 J dS 4 r J I S
I J Jer e 2 r 4r
12
4.恒定电场的基本方程及辅助方程 在电源以外的导电媒质中，恒定电场的基本方程微分形式为 微分形式
积分形式为 辅助方程 辅助方程在电源内部成立
电源以外空间恒定电场的电 位满足拉普拉斯方程
电源以外空间(包括导电媒质)的 恒定电场是由电荷产生的库仑场， 空间电场也应满足高斯通量定理
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5.不均匀导电媒质内部积累电荷 在恒定电场建立过程中，当导电媒质不均匀时，其内部积累自由电荷。
第三章
恒定电场的基本原理
定义电流和电流密度 电源的电动势和局外电场强度 恒定电场的电流连续性 恒定电场的基本方程 恒定电场的导电媒质分界面条件 讨论边值问题 重点掌握电流密度的定义和恒定电场的基本性质，学会 将恒定电流场表述为边值问题。
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恒定电场的基本原理
本章提示：
电荷有规则运动形成电流，定义电流和电流密度。 维持恒定电流的条件，引出电动势和局外电场强度； 由电荷守恒原理导出恒定电场的电流连续性； 从而得到恒定电场的基本方程。 导出恒定电场的导电媒质分界面条件。 最后边值问题。
密度为ρ的体电荷以速度v运动形成体电流密度J
穿过面积S的电流就是电流密度J在该面积上的通量
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如果体积的厚度可以忽略，则可以认为电荷在面上运动，形成面电流，有面电流密度
如果面的宽度可以忽略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。
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2.电流密度与电场强度的关系 要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。 电场强度也是恒定电场的基本场矢量。
积累自由电荷的体密度与
的空间变化有关。
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D E E E E E 2 E J E
0 D e x 。计算自由电荷体密度 1 x
D
0 0 ( ) x 1 x (1 x) 2
图中画出了电位移矢量分布 情况， 随着 x 的增大， 电位移矢量数值变小， 说明有？值的自由体电荷。
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3. 3导电媒质分界面条件 1.分界面条件 在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷。这造 成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方 程的应用，却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处遇到困难。 第一，讨论电场强度E应满足的分界面条件。
载流导体表面的电场
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3. 4恒定电流场的边值问题 1 恒定电流场的基本方程 电源以外的恒定电场的电场强度满足环路定理，即
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2.边界条件 第一类边界条件: 一般在已知电压的电极表面上有
第二类边界条件: 一般在已知电流分布的电极表面上有
在导体与绝缘体分界面上有