指数分布在嵌入马氏链构造中的应用

数学前沿

指数分布在嵌入马氏链构造中的应用

向　阳,李玉梅

(怀化学院数学系,湖南怀化　418008)

摘　要:对于出现指数分布的过程,利用指数分布的无记忆性,结合实例,构造出了马氏更新过程,导出了其相伴的半马氏核和嵌入马氏链的转移阵1

关键词:马氏更新过程;　半马尔可夫核;　指数分布

中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1671-9743(2003)02-0023-03

收稿日期:2003-01-23

作者简介:向阳(1970-),男,湖南溆浦人,怀化学院讲师,硕士,主要研究随机过程和风险理论1

1　预备知识定义111　设随机过程{X (t ),t ≥0}取值于状态空间X ={0,1,2,……},0=t 0

P (X n +1=j ,t n +1-t n ≤t |X 0,…,X n ,t 0,…t n )

=P (X n +1=j ,t n +1-t n ≤t |X n )(111)我们就说过程{(X n ,t n ),n ≥0}构成一个具有状态空间X 的马氏更新过程1

假设过程是齐次的,即转移概率

P (X n +1=j ,t n +1-t n ≤t |X n =i )=Q ij (t )

(112)与n 无关1我们称转移概率簇Q ={Q ij (t ),i ,j ∈X ,t ≥0}为空间X 上的半马氏核1记

P ij =lim t →∞Q ij (t )=P (X n +1=j |X n =i )(113)

易知P ij ≥0和

∑∞

j =0P ij =11

定义112　设随机过程{X (t ),t ≥0}的状态空间X ={0,1,2,…}1如果它具有如下性质:

当已知过程到达状态i 时

(1)过程下一次转移到状态j 的概率是P ij ,且∑j P ij =11

(2)给定下一个状态j 时,过程在原来状态i 逗留时间有分布函数F ij (t )1

则称随机过程{X (t ),t ≥0}为半马氏过程1

由定义立得如下结论:

结论111　给定马氏更新过程{(X n ,t n ),n ≥0},则由

X (t )=X n ,t n ≤t

结论112　给定一半马氏过程{X (t );t ≥0},则由这过程的状态转移时间t 0,t 1,t 2,…和X n =X (t n )(n ≥0)确定的过程{(X n ,t n ),n ≥0}是一马氏更新过程1且随机过程{X n ,n ≥0}是一马氏链,有转移概率矩阵(P ij ),称此马氏链为半马氏过程{X (t );t ≥0}的嵌入马氏链1

第22卷第2期

怀化学院学报 V ol 1221N o 122003年4月 J OURNA L OF H UAIH UA UNI VERSITY A pr .,2003

2　两个实例

例211　M ΠG Π1排队系统

　假设顾客依照参数为λ的P oisson 过程来到一个服务中心,只有一个服务员,来客发现服务员空着马上得到服务,其他人排队等待直至轮到他们1相继的顾客的服务时间假定是独立的随机变量,具有共同有分布G ,并假定服务时间与来到过程独立1

以

Z (t )记时刻t 系统中的顾客人数,则{Z (t ),t ≥0}不具有马氏性1若我们只在顾客离去的时刻考察系统,用X n 表示第n 个到达系统的顾客离开后余下的顾客数,n ≥11令t 0=0,t 1,t 2,…是顾客离开系统的时间序列,T n =t n -t n -1是第n 个顾客的服务时间,则{(X n ,t n ),n ≥0}是一马氏更新过程1对应的由(114)式确定的半马氏过程X (t )表示排队系统在时刻t 前最近一次顾客离开时留在系统中的顾客数1又以Y n 表示第n +1个顾客受服务期间来到的顾客数1可知

X n +1=X n -1+Y n , 若X n >0

Y n , 若X n =0(211)

由于顾客达到过程是P oisson 过程,顾客到达间隔时间服从参数为λ的指数分布,由指数分布有无记忆性,知

P {Y n =j }=∫∞0

e -λx (λx )j j !dG (x ),j =0,1,2 (212)

由(211)(212)得{X n }是马氏链1对应的半马氏核为Q ij (t )=P (X n +1=j ,T n ≤t |X n =i )(213)当X n =i >0时,因Y n =j -i +1≥0故有j ≥i -1,此时

Q ij (t )=P (X n +1=j ,T n ≤t |X n =i )=P (Y n =j -i +1,T n ≤t )

=∫t 0e -λx (λx )j -i +1(j -i +1)!dG (x )(214)

当X n =i =0时,X n +1=Y n ,故有

Q 0j (t )=P X n +1=j ,T n ≤t |X n =0)

=P (Y n =j ,T n ≤t )

=∫t 0

e -λx (λx )j j !dG (x )(215)综上所述,

Q ij (t )=∫

t 0

e -λx (λx )j j !dG (x ), i =0,j ≥0∫t 0

e -λx (λx )j -i +1(j -i +1)!dG (x ), i ≥1,j ≥i -10, 其它

(216)

由(113)式P ij =lim t →∞

Q ij (t )=P (X n +1=j |X n =i )立得嵌入马氏链的转移概率:P ij (t )=∫∞0e -λx (λx )j j !

dG (x ),i =0,j ≥0∫∞0

e -λx (λx )j -i +1(j -i +1)!dG (x ),i ≥1,j ≥i -10,其它

(217)

例212　G ΠM Π1排队系统　假设顾客依照一个任意的更新过程来到一个单服务员的服务中心,来到间隔时间的公布为G ,服务时间服从参数为μ的指数分布1

类似于例211,我们只在顾客达到的时刻考察系统1以X n 记第n 个顾客来到时见到系统中的顾客数,令t 0=0,t 1,t 2,…是顾客到达系统的时间序列,T n =t n -t n -1是第n 个顾客与第n -1个顾客到达系统的间隔时间,则{(X n ,t n ),n ≥0}是一马氏更新过程1对应的由(114)式确定的半马氏过程X (t )表示在时刻t 前最近一次顾客到达时留在系统中的顾客数1设X n 是第n 个顾客到达前的瞬间在系统中的顾客数,令Y n 表示第n 个顾客与第n +1个顾客到

・42・怀化学院学报 2003年4月