第三章晶格振动-3.1简谐震动_简正坐标

—— 谐振子方程
1 能量本征值 εi = (ni + )hωi 2
本征态函数
ϕn (Qi ) =
i
ωi
h
exp( −
ξ2
2
)Hni (ξ )
— 厄密多项式
N个原子组成的晶体 个原子组成的晶体
系统薛定谔方程
1 系统能量本征值 E = ε = ∑ i ∑(ni + 2)hωi i =1 i =1
系统本征态函数
取
平衡位置
—— 不计高阶项
1 3 N ∂ 2V 系统的势能函数 V = ∑ ( )0 µi µ j 2 i , j =1 ∂µi ∂µ j
系统的势能函数
系统的动能函数 系统的哈密顿量 H =
1 1 ∂V 2 & ∑mi µi + 2 i∑1(∂µ ∂µ )0 µi µ j 2 i=1 , j= i j
系统的哈密顿量： 系统的哈密顿量：
拉格朗日函数： 拉格朗日函数：
正则动量： 正则动量：
系统的哈密顿量
正则方程
∂H & pi = − ∂Qi
∂L & 正则动量 pi = & = Qi ∂Qi
&& Qi + ωi2Qi = 0, i = 1, 2, 3,L 3N
3N个独立的方程 个独立的方程 简正坐标方程解 Qi = Ai sin(ωi t + δ i ) 只考察某一个振动模
3N 3N 2
应用上式求解系统的问题， 应用上式求解系统的问题，由于存在坐标的交叉 项而变得非常困难
引入简正坐标 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来） （ 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来）
由于动能为正定的，根据线性代数理论， 由于动能为正定的，根据线性代数理论，总可以找 到这样的变换， 到这样的变换，使得
晶格中原子间存在相互作用力，各原子振动相互 联系着的，在晶体中形成了各种模式的波 简谐近似下，这些模式是相互独立的 由于晶格周期性，模式所取的能量值是分立的； 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分 立的振动模式 这些谐振子的能量量子，称为声子；晶格振动的 总体可看作是声子的系综
§3.1 简谐近似和简正坐标
原子的瞬时位置： 原子的瞬时位置： 3个方向上的分量 个方向上的分量
v v v Rn ' = Rn + µn (t )
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 个原子的位移矢量 共有3N个分量 共有 个分量 N个原子体系的势能函数 个原子体系的势能函数: 个原子体系的势能函数 用标量表示） （用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展开
相关量子理论
正则动量算符 系统薛定谔方程
1 3N 2 1 3N 2 2 ( ∑ pi + ∑ωi Qi )ψ (Q1, LQ3N ) = Eψ (Q1, LQ3N ) 2 i=1 2 i=1
任意一个简正坐标
1 2 ∂ [−h + ωi2Qi2 ]ϕ(Qi ) = εiϕ(Qi ) 2 ∂Qi2
2
简谐近似:只考虑最近邻原子之间的相互作用， 简谐近似 只考虑最近邻原子之间的相互作用，将原子在平衡 只考虑最近邻原子之间的相互作用 位置的振动看成简谐振动（线性近似） 位置的振动看成简谐振动（线性近似）
研究对象:由 个质量为 个质量为m的原子组成的晶体 研究对象 由N个质量为 的原子组成的晶体 第n个原子的平衡位置 个原子的平衡位置 偏离平衡位置的位移矢量 （格点位置） 格点位置）
3N
3N
ψ (Q1, Q2 , Q3,LQ3N ) = ∏ϕn (Qi )
i =1
i
3N
ϕn (Qi ) =
i
ωi
h
Leabharlann Baidu
exp( −
ξ2
2
)Hni (ξ )
同样是建立在简正坐标的基础上的！ 同样是建立在简正坐标的基础上的！
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动 :原子在格点附近的振动。热学性质 杜隆－珀替经验规律： 一摩尔固体有N个原子， 有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由 度平均热能为kT，摩尔热容量3Nk＝3R（经典理 论结果）；但在较低温度下，热容量随着温度的 降低而下降。
实际上： 实际上：
晶格振动还是研究固体宏观性质和微观过程的重 要基础；晶体的热学性质、电学性质、光学性质、 超导电性、磁性、结构相变等都有密切关系
3N个独立的解
µi =
aij mi
Qj =
aij mi
Asin( ω j t +δ )
晶体中所有原子参与振动， 简正振动 ： 晶体中所有原子参与振动，振动频率相同 振动模 ： 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统， 固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通过 引入简正坐标，而将系统简化为3N个相互独立的震动模式 个相互独立的震动模式。 引入简正坐标，而将系统简化为 个相互独立的震动模式。