工程中的数值分析

《工程中的数值分析》开放性考试题目：工程中的数值分析

分院：建筑与土木工程系

班级：14土木工程本一

姓名：陈凯

学号：

完成日期：2016年12月14日

温州大学瓯江学院教务部

二○一二年十一月制

1.1 二分法的和算法及Excel实现

原理:设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0由闭区间上连续函数的性质及定理2-1可知,方程(2.2)在区间(a,b)内至少有一个实根.二分法的基本思想是:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号,进一步缩小有根区间,将有根区间的长度缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根的近似值.

算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算

f(c).

(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

(3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次

计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)<0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2.

同理“=IF(f(中点值)<0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b.

如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。

1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=φ(x),并且假设φ(x)为连续函

数,任取初值x

0,代入方程得到x

1

=φ(x

),x

2

=φ(x

1

) (x)

k+1

=φ

(x

k

),k=0,1,2,····

称为求解非线性方程组的简单迭代法,称φ(x)为迭代函数,x

k

称为第k步迭代值.

若{x

k

}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.

算法：

（1）确定初值

在B2和D2分别输入左端点a和右端点b

在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去

在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去

做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。

（2）方程化为等价方程，并定义迭代格式

（3）迭代

输入初值x，输入迭代格式，并往下复制下去

（4）在输入f的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。

Excel实现:

x3-x+1

区间端点

a= -1 b= 0

x f(x)

-1 -1

-0.9 -0.629

-0.8 -0.312

-0.7 -0.043

-0.6 0.184

-0.5 0.375

-0.4 0.536

-0.3 0.673

-0.2 0.792

-0.1 0.899

迭代式:x

k+1=(x

k

-1)^1/3

11 -0.4999938 1.8

12 -0.4999979 1.3

13 -0.4999993 1.8

14 -0.4999998 1.3

15 -0.4999999 1.1

16 -0.5000000 1.4

17 -0.5000000 1.8

18 -0.5000000 1.9

19 -0.5000000 1.375 20 -0.5000000 1.375 21

-0.5000000 1.375

f(x19)=1.375

不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数[]满足下列两项条件：，）（b a C x 1∈ϕ

(1)对任意[]()，有，b x a b a x ≤≤∈ϕϕ

(2)存在正数L<1，使对任意[]，有，1)(b a x ,<≤∈L x ϕ则迭代过程）（k 1k x x ϕ=+对于任意初值[]()。的根均收敛于方程，αϕx x b a x 0=∈ (3)若方程有根α，

[]

δαδαδααϕαϕ+-∈><，，只要）内连续，则存在（的某领域在，且）（，，

0x 0U 1）收敛（就有迭代法k 1k x x ϕ=+。

1.3 Newton 迭代法的原理和算法及Excel 实现。

原理：Newton 迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f （x ）=0在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下： 将f （x ）在x k 作Taylor 一阶展开

f(x)=f(x k )+f ’(x k )(x-x k )+1/2!f ’’(§)(x-x k )2,§介于x 和x k 之间. 略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x ，作为新的近似根x k+1： x k+1=x k -f(x k )/f ’(x k ),k=0,1,2,3······称为Newton 迭代法

算法:先假定方程的有根区间为[a,b]，计算[a,b]区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f （a 0）<0,f （b 0）>0时，[a 0,b 0]即为方程的有根区间。将有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。求得方程f （x ）的一次求导公式f ´（x ），得到迭代公式x k+1=x k -f （x k ）/f ´（x k ），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的x 值，并计算对应的函数值，新的x 值代入迭代公式中继续计算出下一项的x 值，重复步骤，直到x 的值相同不再变化，此x 值即为方程的近似解。 Excel 实现: