电磁场习题解1(西安交通大学)

第一章 矢量场
1.1
A x y z
B x y z
C x
y z =+-=+-=-+2323 ; ; 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B C ⨯ ； (e) ()
A B C ⨯⨯
(f) ()
A B C ⨯⋅
解：(a) 14132222222=++=++=z y x
A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x B
B b -+== ( c) 7=⋅B A ; (d) z y x
C B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯
(e) z y x
C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯
(f) 19)(-=⋅⨯C B A
1.2 A z =++2 ρ
πϕ;
B z =-+- ρϕ32 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d)
B A ⨯ ; (e) B A +
解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(14
1ˆz b -+-=
ϕρ;(c) 43-=⋅πB A (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρ
π
(e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ
1.3
A r =+-22 πθπϕ;
B r
=- πθ 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B A ⨯ ; (e)
A B +
解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2
θππ-+=r
b ； (c) 22π-=⋅B A ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r
B A 1.4 A x y z =+- 2;
B x y z =+-α 3 当
A B ⊥时，求α。

解：当 A B ⊥时，
A B ⋅=0, 由此得 5-=α
1.5 将直角坐标系中的矢量场
F x y z x F x y z y
12(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：(1)圆柱坐标系
由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==x
F ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F
(2)圆球坐标系
由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r x
F
ϕϕϕθθϕθc o s ˆs i n c o s ˆs i n s i n ˆˆ2++==r y F
1.6 将圆柱坐标系中的矢量场
F z F z 1223(,,) ,(,,) ρϕρρϕϕ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin 2ˆcos 2ˆ22
2
1y y x x y
x y x F ++=+==ϕϕρ
)ˆˆ(3
ˆc o s 3ˆs i n 3ˆ32
22y x x
y y
x y
x F +-+=+-==ϕϕϕ
1.7将圆球坐标系中的矢量场
F r r F r 125(,,) ,(,,) θϕθϕθ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-15)式，)ˆˆˆ(5)ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin 52
2
2
1z z y y x
x z
y x z y x
F ++++=++=θϕθϕθ
)ˆsin ˆsin cos ˆcos (cos 2z y x F θϕθϕθ-+= 22222ˆˆˆˆˆˆˆz
y x z z y y x x y x y x x y r ++++⨯++-=
⨯=ϕ }ˆ)(ˆˆ{1
12222222z y x y yz x
xz y x z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：
(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6
(b) f z z (,,)sin ρϕϕρ=-+24 (c) f r r (,,)cos θϕθϕ=-+252
解：(a) z x y x x z y f ˆˆ10ˆ)105(-+-+=∇ (b) z z f ˆˆcos 2ˆρϕρ
ϕρ
-+-=∇ (c)
ϕθ
θθθˆsin 5
ˆsin 2ˆcos 2r r
f --=∇ 1.9 求标量场f x y z xy z (,,)=+22
在点(1,1,1)沿)ˆˆ(2
1
y x l -= 方向的变化率。

解：)(2
1ˆx y l f l f -=⋅∇=∂∂
1.10 在球坐标中，矢量场
F r ()为
F r k
r
r () =2 其中k 为常数，证明矢量场
F r ()对任意闭合曲线l 的环量积分为零，即
F dl l
⋅=⎰0
解：由斯托克斯定理, ⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅s
l
S d F l d F
因为0)ˆ(2=⨯∇=⨯∇r r
k
F 所以
F dl l
⋅=⎰0
1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。

1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。

1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。

1.14计算下列矢量场的散度
a)
F yzx zyy xzz =++ b)
F z z =++ρρϕϕ sin 2 c)
F r r r =++2 cos θθϕ 解：(a) z x F +=⋅∇
(b) ϕρ
cos 2z
F +=⋅∇
(c) θθ
θ
sin sin cos 42-+
=⋅∇r F 1.15计算下列矢量场的旋度
a)
F xyx yzy z =+- 2 b)
F =+2 sin ρϕϕ c)
F rr
=++ sin θθϕ 解： (a) z x x
y F ˆˆ2--=⨯∇
(b) ∧
=
⨯∇z F ρ
ϕsin (c) )ˆˆsin ˆcos 2(1
ϕθθθ+-=⨯∇r
r
F 1.16计算
a) ∇∇∇ρ,,r e kr
b)∇⋅∇⋅∇⋅( ),,()ρρ
r ke kr c)∇⨯∇⨯∇⨯
ρρ
,,( )r z 解：(a) ;ˆˆˆˆρ
ϕρϕρρ
ρ=∂ψ
∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇z
z
;ˆsin ˆˆˆr
r r r r
r =∂ψ
∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇ϕ
θϕθθ kr kr kr kr ke r
r ke kr e e ˆ)(=∇=∇=∇ (b) ;2)(1=∂∂
=⋅∇ρρρρρ
;3)(122=∂∂=⋅∇r r r r r
kr kr
kr kr kr ke r
k e k k e e k e k ˆ)(⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇ (c) ϕρ
ρˆ)ˆ(;0;0=⨯∇=⨯∇=⨯∇z r
1.17已知 A yx xy =- ，计算
A A ⋅∇⨯() 解：0)(;ˆ2=⨯∇⋅-=⨯∇A A z
A
1.18已知∇⋅=∇⨯=
F x y z F δδδ()()(),,0计算 F
解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⨯∇F
，所以0=A
⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅∇=ΦV
V r dz dy dx R z y x dV R r F r πδδδππ41
''')'()'()'(41')'('41)(
2
4ˆr r
F π=Φ-∇= 1.19已知∇⋅=∇⨯=
F F z
x y z 0, ()()(),δδδ计算 F 解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⋅∇F
，所以0=Φ
r z
dz dy dx R z z y x dV R F A V
V πδδδππ4ˆ'''ˆ)'()'()'(41''41==⨯∇=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2
4ˆˆ)ˆ1ˆ1(41ˆ41r r z
z r z r r z A F πππ⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇=
1.20求矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρ
ρ
穿过由ρϕπ≤≤≤≤≤1001,,z 确定的区域的封闭面的通量。

解：根据高斯定理，矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρρ
穿过由l z ≤≤≤≤≤0,0,1πϕρ确定的区域的封闭面的通量
⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅=ψS
V
dV F S d F
因为 31)(1=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z F F F F z
ϕρρρρϕρ 所以
⎰⎰⎰==⋅∇=ψV l
V dV F 2332π。