电磁场习题解1(西安交通大学)

第一章 矢量场

1.1

A x y z

B x y z

C x

y z =+-=+-=-+2323 ; ; 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B C ⨯ ； (e) ()

A B C ⨯⨯

(f) ()

A B C ⨯⋅

解：(a) 14132222222=++=++=z y x

A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x B

B b -+== ( c) 7=⋅B A ; (d) z y x

C B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯

(e) z y x

C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯

(f) 19)(-=⋅⨯C B A

1.2 A z =++2 ρ

πϕ;

B z =-+- ρϕ32 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d)

B A ⨯ ; (e) B A +

解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(14

1ˆz b -+-=

ϕρ;(c) 43-=⋅πB A (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρ

π

(e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ

1.3

A r =+-22 πθπϕ;

B r

=- πθ 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B A ⨯ ; (e)

A B +

解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2

θππ-+=r

b ； (c) 22π-=⋅B A ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r

B A 1.4 A x y z =+- 2;

B x y z =+-α 3 当

A B ⊥时，求α。

解：当 A B ⊥时，

A B ⋅=0, 由此得 5-=α

1.5 将直角坐标系中的矢量场

F x y z x F x y z y

12(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：(1)圆柱坐标系

由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==x

F ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F

(2)圆球坐标系

由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r x

F

ϕϕϕθθϕθc o s ˆs i n c o s ˆs i n s i n ˆˆ2++==r y F

1.6 将圆柱坐标系中的矢量场

F z F z 1223(,,) ,(,,) ρϕρρϕϕ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin 2ˆcos 2ˆ22

2

1y y x x y

x y x F ++=+==ϕϕρ

)ˆˆ(3

ˆc o s 3ˆs i n 3ˆ32

22y x x

y y

x y

x F +-+=+-==ϕϕϕ

1.7将圆球坐标系中的矢量场

F r r F r 125(,,) ,(,,) θϕθϕθ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-15)式，)ˆˆˆ(5)ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin 52

2

2

1z z y y x

x z

y x z y x

F ++++=++=θϕθϕθ

)ˆsin ˆsin cos ˆcos (cos 2z y x F θϕθϕθ-+= 22222ˆˆˆˆˆˆˆz

y x z z y y x x y x y x x y r ++++⨯++-=

⨯=ϕ }ˆ)(ˆˆ{1

12222222z y x y yz x

xz y x z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：

(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6

(b) f z z (,,)sin ρϕϕρ=-+24 (c) f r r (,,)cos θϕθϕ=-+252

解：(a) z x y x x z y f ˆˆ10ˆ)105(-+-+=∇ (b) z z f ˆˆcos 2ˆρϕρ

ϕρ

-+-=∇ (c)

ϕθ

θθθˆsin 5

ˆsin 2ˆcos 2r r

f --=∇ 1.9 求标量场f x y z xy z (,,)=+22

在点(1,1,1)沿)ˆˆ(2

1

y x l -= 方向的变化率。 解：)(2

1ˆx y l f l f -=⋅∇=∂∂

1.10 在球坐标中，矢量场

F r ()为

F r k

r

r () =2 其中k 为常数，证明矢量场

F r ()对任意闭合曲线l 的环量积分为零，即

F dl l

⋅=⎰0

解：由斯托克斯定理, ⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅s

l

S d F l d F

因为0)ˆ(2=⨯∇=⨯∇r r

k

F 所以

F dl l

⋅=⎰0

1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。 1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。 1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。 1.14计算下列矢量场的散度

a)

F yzx zyy xzz =++ b)

F z z =++ρρϕϕ sin 2 c)

F r r r =++2 cos θθϕ 解：(a) z x F +=⋅∇

(b) ϕρ

cos 2z

F +=⋅∇

(c) θθ

θ

sin sin cos 42-+

=⋅∇r F 1.15计算下列矢量场的旋度

a)

F xyx yzy z =+- 2 b)

F =+2 sin ρϕϕ c)

F rr

=++ sin θθϕ 解： (a) z x x

y F ˆˆ2--=⨯∇

(b) ∧

=

⨯∇z F ρ

ϕsin (c) )ˆˆsin ˆcos 2(1

ϕθθθ+-=⨯∇r

r

F 1.16计算

a) ∇∇∇ρ,,r e kr

b)∇⋅∇⋅∇⋅( ),,()ρρ

r ke kr c)∇⨯∇⨯∇⨯

ρρ

,,( )r z 解：(a) ;ˆˆˆˆρ

ϕρϕρρ

ρ=∂ψ

∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇z

z