分离变量的微分方程和一阶线性微分方程

对应齐次线性方 程(2.2)的通解
非齐次线性方 程(2.1)的特解
例5 求方程 y 1 y e x 的通解. xx
解 P(x) 1 , x
Q(x) ex , x
通解：y
e
1d x
x
ex x
e
1Fra Baidu bibliotek x
x
d
x
C
eln x
ex x
eln x
d
x
C
1 x
ex x
x
d
x
C
1 e x d x C 1 e x C .
由 W (0) 100, 得 c 100 W (t) 100ekt 又依题设，W (1) 20 20 100ek , k ln 5, 于是 W (t ) 100e(ln5)t 将W 1代入上式，得
t ln100 2.86 (分) ln 5
答：2.86分钟后，球内剩下1克气体.
(1.2) 变量分离
d g(
y y)
h(
x)d
x
设函数G( y)和H ( x)是依次为 1 和
g( y) h( x)的原函数, 则
G( y) H(x) C
(1.3)
(C为任意常数).
可以验证: (1.3)式为微分方程 (1.1) 的(隐式)通解.
2当g( y0 ) 0时，y y0也是(1.1)的解. 注 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y) 0情形.
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
2. 常数变易公式 (2.1)的通解为：
y e P( x)d x[ Q( x)e P( x)d x d x C ] (2.3)
1 (2.1)的解的结构
y e P( x)d x[ Q( x)e P( x)d x d x C ] (2.3)
Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
比例系数k 0，设球内原有气体100克，
如果孔批破后一分钟内还有20克气体，
问：在什么时候球内剩下1克气体？
解 设t分钟时，球内有W克气体，则
dW kW， W (0) 100 dt
dW k dt, W
dW W
kdt,
lnW kt ln c ( W 0)
即 W (t ) cekt ,
e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
例1 求微分方程 d y 2xy 的通解. dx
解 分离变量 d y 2x d x, y
两端积分
dy y
2xd x,
ln y x2 C1, y eC1e x2 , y eC1e x2 ,
C
y Ce x2为所求通解.
例2 求微分方程
d y cos x y cos x y的通解.
y
y f (t) f (x)
o xt
k(n 1)[ f ( x)]n1 f ( x) 1,
f (0) 0, f (1) 1. f ( x) ?
令 y f ( x), k(n 1) yn1 d y 1, dx
k(n 1) yn1 d y d x
k(n 1) yn x c, 由 y(0) 0, 得 c 0 n
例如 d y y x2, d x x sin t t 2, 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
求解法:
1. 常数变易法 1º齐次线性方程： d y P( x) y 0 (2.2)
dx 分离变量： d y P( x)d x,
y
dy y
P(
x)d
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解 将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
例4 若以曲线y f (t )( f (t ) 0)为曲边，以[0, x]
为底的曲边梯形的面积与纵坐标y的n 1次
幂成正比，且已知 f (0) 0, f (1) 1,求此曲
线方程.
解 x f (t)d t k[ f ( x)]n1 0 f ( x) k(n 1)[ f ( x)]n f ( x)
第九章
第二节 可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数g( y)和h( x)是连续的,
1当g( y) 0时， (1.1) d y h( x)d x g( y)
dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
将 y 和 y 代入原方程, 得
C( x)e P( x)d x Q( x), 可分离变量方程
积分得 C( x) Q( x)e P( x)d x d x C~,
一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:
y [ Q( x)e P( x)d x d x C~]e P( x)d x
其中C~为任意常数.
由 y(1) 1, 得 k n n1
yn x 即 f n(x) x
又 f (x) 0 f (x) n x
二、一阶线性微分方程
类型2.
d y P( x) y Q( x) (2.1) dx
——— 一阶线性微分方程
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.