分子的对称性-图
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正四面体 正八面体 立方体 正五角 十二面体 正三角 二十面体
面数
面的边数 会聚顶点 的棱数 棱数 顶点数 双面数 点数
4
3
8
3
6
4
12
5
20
3
3
6 4 7032 Td
4
12 6 10928 Oh
3
12 8 90 Oh
3
30 20 11634 Ih
5
30 12 13812 Ih
T表示四面体群，O表示八面体群，它包括正八面体和立方体； I表 示二十面体群，包括正五角十二面体和正三角二十面体。
只有镜面 COFCl
亚硝酸酐 N2O3
B6H10
21
确定分子点群的流程简图
分子
线形分子:
C , Dh Td , Th , Oh , I h ...
C1 , Ci , Cs
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…)
只有镜面或对称中心，或无对称性的分子:
只有S2n(n为正整数）分子:
S4 , S6 , S8 ,...
7
D4d ：单质硫
俯视图
侧视图
图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
8
D5d : 交错型二茂铁
俯视图
图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
9
（3）立方群：包括Td、Th、Oh、Ih 等 这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交。
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
10
在Td群中，你可以找到一个四面体结构。打开P4分子，对照以下讲解自己进行操作：
从正四面体的每两条相对的棱中点有一条 S4穿过，6 条棱对应着3条S4。每个S4可作出S41 、S42 、S43 三个 对称操作，共有9个对称操作。 但每条S4必然也是 C2， S42与C2对称操作等价，所以将3个S42划归C2， 穿过正四面体每条棱并 将四面体分为两半的是 一个σd , 共有6个σd 。
包含正方体每两条相对棱的 镜面是σd。这样的镜面共有6个 (图中只画出一个)。
正八面体与正方体的对称性完全相同。只要将正八面体放入正方体，
让正八面体的6个顶点对准正方体的6个面心，即可看出这一点。当然，
正八面体与正方体的棱不是平行的，面也不是平行的，相互之间转过一 定角度。例如，正方体体对角线方向的S6（其中含C3）在正八面体上穿
Oh 群 : 属于该群的分子，对称性与正八面体或正方体完全相同。
SF6
下面从正方体看Oh群的48个对称操作：
立方烷
E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C2(=C42), I, 6S4, 8S6, 3σh, 6σd
15
每一个坐标轴方向上都有一条S4（其中含C2）
与C4共线。这样的方向共有3个(图中只画出一个);
Cn , Cnh , Cn Dn , Dnh , Dnd
22
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
无C2副轴:
有n条C2副轴垂直于主轴:
分子的对称性
1
（2）双面群：包括Dn、Dnh、Dnd ; Dn 群： 除主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴（ 但没有
镜面）。
对称元素有：E，Cn，n个C2 阶次为2n
2
（2）双面群 — Dn ① D2 点群
C16H14O2
主轴C2垂直于荧光屏
图S 1.3.5 属于D2点群的分子和属于D3点群的分子
过三角形的面心。
17
含有多个高次轴的对称元素组 合所得的对称元素系和正多面
体的对称性相对应。
正多面体是指它的面为正多边 形且彼此相等，同时它的各个 顶角和棱边也相等。 正多面体有5种，它们的性质 列于表S1.3.1中，它们的图形 示于图S1.3.8中。
图S1.3.8 五种正多面体的图形
18
表S 1.3.1 正多面体的性质
19
（4）非真旋轴群: 包括Cs 、Ci 、S4
这类点群的共同特点是只有虚轴(不计包含在Sn中的Cn/2. 此外, i=S2 , σ =S1).
对称中心
Ci 群: E，i, h=2
只有对称中心
S4 群: E, S4, C2, S43 , h=4 只有四次映轴
20
Cs 群 : E, σh, h=2
BF3 (b) D3h
[Ni(CN)4]2(c) D4h
IF7 (d) D5h
C6H6 (e) D6h
CO2 (f) Dh
5
图S1.3.6 若干属于Dnh点群的分子
D2d : 丙二烯
图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
6
D3d ：椅式环己烷
侧视图
俯视图 图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
Z
Y X
从正四面体的每个顶点到对 面的正三角形中点有一条C3 穿过，所以共有4条C3，可作 出8个C3对称操作。
11
Td :
沿着每一条C3去看, 看到的是这样:
金刚烷 (隐氢图)
沿着每一条C2去看, 看到的是这样:
12
Td 群
Li CH3
ห้องสมุดไป่ตู้
(LiCH3)4
隐氢图
13
Td 群
P4O6
P4O10
14
穿过每两个相对棱心有一条C2 ; 这样 的方向共有6个(图中只画出一个) ； 此外还有对称中心i。
对称中心i在正方体中心
z
每一条体对角线方向上都有一条S6
y
（其中含C3）；这样的方向共有4个(图中 只画出一个)；
16
x
z
处于坐标平面上的镜面是σh。
y
σh
这样的镜面共有3个(图中只画出 一个);
x
σd
3
（2）双面群 — Dn
② D3：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出。 [Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例。
何其相似！
C2
z 唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过，通向Co； 三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co。 C2 x y
C2
4
HC＝CH2 (a) D2h
面数
面的边数 会聚顶点 的棱数 棱数 顶点数 双面数 点数
4
3
8
3
6
4
12
5
20
3
3
6 4 7032 Td
4
12 6 10928 Oh
3
12 8 90 Oh
3
30 20 11634 Ih
5
30 12 13812 Ih
T表示四面体群，O表示八面体群，它包括正八面体和立方体； I表 示二十面体群，包括正五角十二面体和正三角二十面体。
只有镜面 COFCl
亚硝酸酐 N2O3
B6H10
21
确定分子点群的流程简图
分子
线形分子:
C , Dh Td , Th , Oh , I h ...
C1 , Ci , Cs
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…)
只有镜面或对称中心，或无对称性的分子:
只有S2n(n为正整数）分子:
S4 , S6 , S8 ,...
7
D4d ：单质硫
俯视图
侧视图
图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
8
D5d : 交错型二茂铁
俯视图
图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
9
（3）立方群：包括Td、Th、Oh、Ih 等 这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交。
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
10
在Td群中，你可以找到一个四面体结构。打开P4分子，对照以下讲解自己进行操作：
从正四面体的每两条相对的棱中点有一条 S4穿过，6 条棱对应着3条S4。每个S4可作出S41 、S42 、S43 三个 对称操作，共有9个对称操作。 但每条S4必然也是 C2， S42与C2对称操作等价，所以将3个S42划归C2， 穿过正四面体每条棱并 将四面体分为两半的是 一个σd , 共有6个σd 。
包含正方体每两条相对棱的 镜面是σd。这样的镜面共有6个 (图中只画出一个)。
正八面体与正方体的对称性完全相同。只要将正八面体放入正方体，
让正八面体的6个顶点对准正方体的6个面心，即可看出这一点。当然，
正八面体与正方体的棱不是平行的，面也不是平行的，相互之间转过一 定角度。例如，正方体体对角线方向的S6（其中含C3）在正八面体上穿
Oh 群 : 属于该群的分子，对称性与正八面体或正方体完全相同。
SF6
下面从正方体看Oh群的48个对称操作：
立方烷
E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C2(=C42), I, 6S4, 8S6, 3σh, 6σd
15
每一个坐标轴方向上都有一条S4（其中含C2）
与C4共线。这样的方向共有3个(图中只画出一个);
Cn , Cnh , Cn Dn , Dnh , Dnd
22
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
无C2副轴:
有n条C2副轴垂直于主轴:
分子的对称性
1
（2）双面群：包括Dn、Dnh、Dnd ; Dn 群： 除主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴（ 但没有
镜面）。
对称元素有：E，Cn，n个C2 阶次为2n
2
（2）双面群 — Dn ① D2 点群
C16H14O2
主轴C2垂直于荧光屏
图S 1.3.5 属于D2点群的分子和属于D3点群的分子
过三角形的面心。
17
含有多个高次轴的对称元素组 合所得的对称元素系和正多面
体的对称性相对应。
正多面体是指它的面为正多边 形且彼此相等，同时它的各个 顶角和棱边也相等。 正多面体有5种，它们的性质 列于表S1.3.1中，它们的图形 示于图S1.3.8中。
图S1.3.8 五种正多面体的图形
18
表S 1.3.1 正多面体的性质
19
（4）非真旋轴群: 包括Cs 、Ci 、S4
这类点群的共同特点是只有虚轴(不计包含在Sn中的Cn/2. 此外, i=S2 , σ =S1).
对称中心
Ci 群: E，i, h=2
只有对称中心
S4 群: E, S4, C2, S43 , h=4 只有四次映轴
20
Cs 群 : E, σh, h=2
BF3 (b) D3h
[Ni(CN)4]2(c) D4h
IF7 (d) D5h
C6H6 (e) D6h
CO2 (f) Dh
5
图S1.3.6 若干属于Dnh点群的分子
D2d : 丙二烯
图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
6
D3d ：椅式环己烷
侧视图
俯视图 图S 1.3.7 若干属于Dnd点群的分子
Z
Y X
从正四面体的每个顶点到对 面的正三角形中点有一条C3 穿过，所以共有4条C3，可作 出8个C3对称操作。
11
Td :
沿着每一条C3去看, 看到的是这样:
金刚烷 (隐氢图)
沿着每一条C2去看, 看到的是这样:
12
Td 群
Li CH3
ห้องสมุดไป่ตู้
(LiCH3)4
隐氢图
13
Td 群
P4O6
P4O10
14
穿过每两个相对棱心有一条C2 ; 这样 的方向共有6个(图中只画出一个) ； 此外还有对称中心i。
对称中心i在正方体中心
z
每一条体对角线方向上都有一条S6
y
（其中含C3）；这样的方向共有4个(图中 只画出一个)；
16
x
z
处于坐标平面上的镜面是σh。
y
σh
这样的镜面共有3个(图中只画出 一个);
x
σd
3
（2）双面群 — Dn
② D3：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出。 [Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例。
何其相似！
C2
z 唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过，通向Co； 三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co。 C2 x y
C2
4
HC＝CH2 (a) D2h