材料力学题解 第十一章

第十一章 能量方法

11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在F 力作用下，桁架的变形能。

12,N N F F ==

32

N F F = 2

22222()2222N F F l l F x V dx EA EA EA ε⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⎰

2234F l EA

=.

11.2计算图示各杆的应变能。

(a) 2223244F l F l F l V EA EA EA

ε=+=. (b) 22

12/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EI

ε⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰ /32/322221220023318l l e e M M l x x EIl EI

⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=

+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

.

11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm ，材料为45钢，E = 210GPa ，G = 80GPa 。试计算轴的应变能。

由扭转引起的应变能：

2

0.2

20

800.0322p

V dx GI ε==⎰

由弯曲引起的应变能：

2

0.2

10

(531.4)20.0292x V dx EI

ε==⎰

120.061J V V V εεε=+=.

11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。

223

0()26l

Fl Fx F l V dx EI EI

ε-==⎰

而

2

23

10()22l

Fl F l

V dx EI EI

ε==⎰

223

20()26l

Fx F l V dx EI EI

ε-==⎰.

不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。

0.36kN

(b)

1kN

200

200 EI

Me=Fl

F

l

x

11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩

跨度中点C 的挠度w c 。

（见课本下册p40例12-4）

11.6 图示刚架的各杆的EI 皆相等，试求截面A 、B 的位移和截面C 的转角。

(a) A 点：在A 点加一个向下的单位力。M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=Fb

11()M x x =,22()M x Fx =,3()0M x = 3330

()()h M x M x Fabh

dx EI EI

∆==-⎰

.

C 点：在C 加一个逆时针的力偶矩为１的单位力偶。2()1M x =, 3()1M x =

33

22230

0()()()()b

h M x M x M x M x dx dx EI

EI

∆=+⎰

⎰22Fb Fbh EI EI =+.

(b) A 点：在A 点加一个向下的单位力。2()22ql qx M x

x =-, 1

()2

M

x x =

24/20122252384l qlx qx x ql dx EI EI

⎛⎫

- ⎪⎝⎭∆==⎰. B 点：在B 点加一个向右的单位力。()M x h =

2

30()2212l qlx qx h ql h dx EI EI

-∆==⎰.

11.7 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求节点C 处的水平位移和

垂直位移。

杆号 1 2 3 4 5 F N

F -F -2F

F 0 N F 水平 0 0 2-1 0 N F 垂直

0 0 0

-1 0 l

l

l

2l

l

l

水平位移：

12 n

Ni Ni i

i F F l EA Fl Fl EA EA =∆==--

∑ (122) 3.828Fl Fl

EA

+==-.

垂直位移： Fl EA

∆=-. 11.8 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm 2，E 索 = 177GPa 。F = 20kN ，(a) 假设横梁ABCD 为刚体，求C 点的垂直位移。(2) 若不把ABCD 假设为刚体，且已知其抗弯刚度为EI = 1440kN.m 2，试再求C 点的垂直位移。 (1) 4

20.87.891033F EA -⎫∆=

=⨯⎪⎭

m. (2) 2

0.4

40

47.89102Fx dx EI

-∆=⨯+⎰

4447.8910 1.48109.3710---=⨯+⨯=⨯m .

2F

C B

A

D

F l

l

D C

F

A

B

60 ° 60 ° 800 400

400

C

F B

A

R

B

F O

R

A F

11.9 等截面曲杆BC 的轴线为四分之三的圆周。若AB 杆可视为刚性杆，试求在F 力作用下，截面B 的水平位移及垂直位移。

水平位移：M (θ)=FR cos θ, ()sin M R θθ=

333

20

sin cos 2FR FR

d EI EI

πθθθ∆==⎰

.

垂直位移：()(1cos )M R θθ=--

333

20

cos (1cos )(43)4FR FR d EI EI

π

θθπθ-+∆==⎰

3

3.36FR EI

=.

11.10 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R 。力F 垂直于圆环中线所在的平面。试求两个F 力作用点的相对线位移。

M (θ)=FR sin θ, ()sin M R θθ= T (θ)=FR (1-cos θ), ()(1cos )T R θθ=-

3232

220

0sin (1cos )p

FR FR d d EI GI π

πθ

θθθ-∆=+⎰

⎰

3

3

3p

FR FR EI GI ππ=+

.