高中数学-杨辉三角(2)

Cnr
C n1 n
C
n n
2n
二.观察杨辉三角我们还可发现, 杨辉三角中,从一个数的“左肩” 出发,向右上方作一条和左斜 边平行的直线,位于这条直线 上的各数的和等于什么呢?
C C 0 1 n1 n1
Cn0 Cn1
C C n2 n1 n1 n1 Cnn1Cnn
此规律的推广:在杨辉三角中,第 M条斜线(从右上到左下)上前n 个数字的和等于第m+1条斜线上 的第n个数.
保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大 的是1202年在意大利出版的《算盘书》， 《算盘书》中许多有趣的问题中最富成功的问 题是著名的“兔子繁殖问题”． 如果每对兔子每
月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就 有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对 兔子？可以这样思考:第一个月后即第二个月 时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本 身，另一对是它生下的幼兔． 第三个月时两对
2.1 杨辉三角(2)
杨辉三角的基本性质:
1、杨辉三角的两条斜边都是数字1，
而其余的数都等于它肩上的两个数
字相加，即Cnr
C r1 n1
Cnr1.这是杨
辉三角的最基本的性质。
2、杨辉三角的对称性：
Cnr
C nr n
.
3、杨辉三角的第n行就是二项式 (a b)n的展开式的系数，即：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn
即:1,1,2，3,5,8,13…． 数列用 an表示有:
ana11
a2 an
1 an1
(n
3)
四.对于杨辉三角的构成,还有一 种有趣的看法:
如图，在一块倾斜的木板上，钉 上一些正六角形小木块，在它们 中间留下一些通道，从上部的漏 斗直通到下部的长方形框子。把 小弹子倒在漏斗里，它首先会通 过中间的一个通道落到第二层六 角板上面（有几个通道就算第几 层），以后，再落到六角板的左边 或右边的两个竖直通道里去．……，
杨辉三角与“堆垛术” （三角垛，正方垛， ．．．）
将圆弹堆成三角垛:底层是每边 n 的三角形，向上逐层每边少
一个圆弹，顶层是一个圆弹， 求总数．
三.如图:
1 1
235813 21
规律:从第3条斜线中数字的和起, 其后各斜线中数字的和是前两条 斜线中数字和之和,即:
Sn2 Sn1 Sn (n 2)
兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另 一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成 的大兔子． 第四个月时，三对兔子变成了
五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这 组数可以用图来表示，这组数从三个数开始， 每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个 月是13对兔子，第七个月是21对兔子……， 裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面 加上一项1,成为“裴波那契数列”，
根据上面性质,请猜想下列数列 的前n项和.
1111 ____C_n1_____ .
1
2
3
C1 n1
__C_n2_______
.
1
3
6
C2 n1
Leabharlann Baidu
__C_n3_______
.
1
4
10
C3 n1
_C__n4_______
.
一般地,我们有 :
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
Cnr1(n r)
或者, 如图的斜线中, 各行数字 的和构成斐波那契数列.
1，1，2，3，5，8，13，21， 34，．．．此数列{an}满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的 斐波那契数列．
兔子繁殖问题与斐波那契 裴波那契（Fibonacci leonardo，
约1170-1250）是意大利著名数学家． 他最重要的研究成果是在不定分析 和数论方面，他的“裴波那契数列” 成为世人们热衷研究的问题．
以此类推，算一算:落在每个长 方形的框子中的弹子的数目会 是多少？你能用学过的排列、 组合与概率的知识莱解释这一 现象吗？ 你能分析与杨辉三角的 关系吗？
莱布尼茨分数三角形:
将杨辉三角中的每个C
r 换成
n
1 得到莱布尼茨单位分 (n 1)Cnr
数三角形。
1
1 11
22 11 1 36 3 1111 4 12 12 4 11 11 1 5 20 30 20 5 1 11111 6 30 60 60 30 6
4.杨辉三角的第2n （1 n N *) 行的各个数都是奇数。
5、在杨辉三角中，若行数P是 质数（素数），则P整除第P行 中除1外的所有数。
一.计算杨辉三角中各行数字的和 :
11
1 21
1 33 1
1 4641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Cn0
Cn1
Cn2