高中数学-杨辉三角(2)
原创1 ：1.3.2杨辉三角
计数原理
§1.3.2 杨 辉 三 角
高中数学选修2-3·精品课件
复习提问
1.二项式定理
(a b)n Cn0 an C1nan 1b Crnan r br Cnnbn
2.二项式系数:
0 , 1 , 2 , ⋯ , ⋯
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
C 10
C
1
1
1
1
C 02 C 12 C 22
C 03 C 13
C
C
0
5
0
4
C
C
1
5
1
4
C
C 32 C 33
3
4
C
C
4
5
C 24 C
2
5
1
C
3
5
1
4
4
C
1
5
5
C 06 C 16 C 62 C 36 C 64 C 56 C 66
1
Cn n
Cn 0 Cn 1 Cn 2 … C nr …
C 63 C 64 C 65 C 66
你知道这是什么图表吗？
1
6
1
2
3
4
5
1
3
6
1
4
10 10
15 20 15
1
5
1
6
1
合作探究
1
1
观察：从图中你能得出哪
些性质？
1
1
1
1
6
思考：会证明这些性质吗？
1.3.2杨辉三角(上课用)
这(a就+b是)3…组…合…数…的1性质3
23:
C
1m
n1
C
m n
C m1 n
(3)各(a二+b项)4式…系…数…的1和.4 6 4 1
(aC+n0b)5…C…n1 1
C5n2
L10
1C0
r n
5 L
1
C
n n
2n
T (a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
(4)增减性与最大值.
即 n1 2
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.
变式训练:如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 ________行中从左到右第14与第15个数的比为2：3.
解析 :由“杨辉三角”与二项式系数之间的关系可得 :
Cn13 Cn14
2, 3
即 n! 14!(n 14)! 2 ,
13!(n 13)!
n!
3
即 14 2 n 13 3
解得 : n 34.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
解 : 3由2知, a0 a1 a2 a9 1
令x 1, y 1得 :
a0 a1 a2 a8 a9 59二式相减得
s
5s
16r2 s 2
由题意知 16r2 s
2
6
r 2s 4 (r 0L 6, s 0L 5)
r 0 r 2 r 4 解得 s 2 s 1 s 0
所以 x6 的系数为:
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
2018学年第二学期高二数学《杨辉三角与二项式系数的性质》学案含答案
2018学年第⼆学期⾼⼆数学《杨辉三⾓与⼆项式系数的性质》学案含答案1.3.2“杨辉三⾓”与⼆项式系数的性质学习⽬标 1.了解杨辉三⾓，会⽤杨辉三⾓求⼆项式乘⽅次数不⼤时的各项的⼆项式系数.2.理解⼆项式系数的性质并灵活运⽤(重、难点).知识点1杨辉三⾓的特点(1)在同⼀⾏中每⾏两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两⾏中，除1外的每⼀个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＋C r n.＝C r－1n【预习评价】(1)杨辉三⾓的第n⾏数字规律与⼆项展开式有何联系？提⽰杨辉三⾓的第n⾏数字规律是⼆项式(a＋b)n展开式的⼆项式系数，即(a ＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(2)C03＋C14＋C25＋…＋C1821＝________.解析原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝…＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.答案7 315知识点2⼆项式系数的性质相等，且同时取得最⼤值【预习评价】(1)⼆项展开式中系数最⼤项是中间⼀项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提⽰错误.⼆项展开式中项的系数与⼆项式系数是不同的，⼆项式系数最⼤项是中间⼀项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最⼤值与项其他数字因数的⼤⼩有关.(2)在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最⼤的项是( ) A.第6项B.第5项C.第5，6项D.第6，7项解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其⼆项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中⼆项式系数最⼤的项为第6项，它也是系数最⼤的项. 答案 A题型⼀与杨辉三⾓有关的问题【例1】如图在“杨辉三⾓”中，斜线AB 的上⽅，从1开始箭头所⽰的数组成⼀个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.解由题图知，数列中的⾸项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律⽅法解决与杨辉三⾓有关问题的⼀般思路(1)观察找出每⼀⾏数据间的相互联系以及⾏与⾏间数据的相互联系.(2)将数据间的这种联系⽤数学式表达出来，使问题得解.(3)注意观察⽅向：横看、竖看、斜看、连续看、隔⾏看，从多⾓度观察.【训练1】如图，在由⼆项式系数所构成的杨辉三⾓中，第________⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3.第0⾏1第1⾏1 1第2⾏12 1第3⾏133 1第4⾏1464 1第5⾏1510105 1………解析设第n⾏从左⾄右第14与第15个数之⽐为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3.∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！·（n－13）！＝2·n！14！·（n－14）！，得：3n－13＝214，∴n＝34.答案34【例2】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.解令x ＝1，得：(2×1－1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|. 解∵(2x －1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5. 令x ＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－(－3)5＝35，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝35＝243.【迁移2】 (变换所求)例2条件不变，求a 1＋a 3＋a 5. 解由上题得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝243，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝12×(1－243)＝－121.规律⽅法 (1)赋值法是求⼆项展开式系数及有关问题的常⽤⽅法，注意取值要有利于问题的解决，可以取⼀个值或⼏个值，也可以取⼏组值，解决问题时要避免漏项.(2)⼀般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0). 【训练2】已知(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7＋a 8x 8.求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 8； (2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8＝48.②①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝28＋48，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12×(28＋48)＝32 896.(3)由于(1－3x )8＝C 08＋C 18×(－3x )＋C 28×(－3x )2＋…＋C 88×(－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，故a 0，a 2，a 4，a 6，a 8＞0，a 1，a 3，a 5，a 7＜0，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝48＝65 536. 题型三⼆项式系数性质的应⽤【例3】已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和⽐各项的⼆项式系数和⼤992.(1)求展开式中⼆项式系数最⼤的项； (2)求展开式中系数最⼤的项.解 (1)令x ＝1，则⼆项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，⼜展开式中各项的⼆项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中⼆项式系数最⼤的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r ).假设T r ＋1项系数最⼤，则有C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴5！（5－r ）！r ！×3≥5！（6－r ）！（r －1）！，5！（5－r ）！r ！≥5！（4－r ）！（r ＋1）！×3.∴3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最⼤的项为T 5＝C 45·34x 263＝405x 263. 规律⽅法 (1)求⼆项式系数最⼤的项，要依据⼆项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进⾏讨论，n 为奇数时中间两项的⼆项式系数最⼤；n 为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤.(2)求展开式中系数最⼤项与求⼆项式系数最⼤项是不同的.求展开式系数最⼤的项，如求(a ＋bx )n (a 、b ∈R 展开式中系数最⼤的项，⼀般是采⽤待定系数法.设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最⼤，应⽤A r ≥A r －1， A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最⼤的项. 【训练3】已知? ????x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的⽐是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数的绝对值最⼤的项.解∵? ????x －2x 2n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n (x )n －r ·－2x 2r＝(－2)r C rn x n －5r 2(0≤r ≤n ，r ∈N )，∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n x n 2－10，T 3＝T 2＋1＝22C 2n x n2－5.∵24C 4n 22C 2n＝101，∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去).(1)令x ＝1，则? ????x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝(－2)r C r8x 8－5r 2(0≤r ≤8，r ∈N ).令8－5r 2＝32，得r ＝1，∴展开式中含x 32的项为T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 18x 32＝－16x 32.(3)展开式的第r 项、第r ＋1项、第r ＋2项的系数的绝对值分别为C r －182r －1，C r 82r ，C r ＋182r ＋1.若第r ＋1项的系数绝对值最⼤，则有C r －182r －1≤C r 82r ，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，解得5≤r ≤6，故系数的绝对值最⼤的项为第6项和第7项，即 T 6＝－1 792x －172，T 7＝1 7921x 11.课堂达标1.(1＋x )2n ＋1的展开式中，⼆项式系数最⼤的项所在的项数是( ) A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的⼆项式系数最⼤，分别为第? ????2n ＋1－12＋1项，第? ????2n ＋1＋12＋1项，即第(n ＋1)项与第(n ＋2)项.故选C. 答案 C2.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( ) A.－2B.－1C.1D.2解析令x ＝－1，则原式化为 [(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2. 答案 A3.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数为________.解析 (1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝35. 答案 354.设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，两式相减，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 答案－63655.已知(2x －1)n ⼆项展开式中，奇次项系数的和⽐偶次项系数的和⼩38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 的值.解设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由⼆项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.课堂⼩结1.⼆项式系数的性质可从杨辉三⾓中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.⼀般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开⼆项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最⼤时的不等式组时，注意其中r∈{0，1，2，…，n}的范围.基础过关1.已知(a＋b)n的⼆项展开式中只有第5项的⼆项式系数最⼤，则n等于()A.11B.10C.9D.8解析∵(a＋b)n的⼆项展开式中只有第5项的⼆项式系数最⼤，∴⼆项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.答案 D2.(x－1)11展开式中x的奇次项系数之和是()A.－2 048B.－1 023C.－1 024D.1 024解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 答案 D3.(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( ) A.2n ＋1 B.2n －1 C.2n ＋1－1D.2n ＋1－2解析令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 答案 D4.若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81. 答案 815.在(a －b )10的⼆项展开式中，系数最⼩的项是________.解析在(a －b )10的⼆项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的⼆项式系数，因为展开式中第6项的⼆项式系数最⼤，所以系数最⼩的项为T 6＝C 510a 5(－b )5＝－252a 5b 5.答案－252a 5b 56.若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，求log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)的值.解令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.7.设a ≠0，n 是⼤于1的⾃然数，? ?1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0，1，2)的位置如图所⽰，求a 的值.解由题意知，A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4. 由? ?1＋x a n 的展开式的通项知， T r ＋1＝C r n ? ???x a r(r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.能⼒提升8.在?1x ＋51x 3n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A.330B.462C.682D.792解析∵⼆项式的展开式中所有项的⼆项式系数和为2n ，⽽所有偶数项的⼆项式系数和与所有奇数项的⼆项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.答案 B9.(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( ) A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6D.a ＝1，b ＝2，n ＝5解析根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过⽅程组解决.只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选D.答案 D10.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的⼆项式系数的最⼤值为a，(x＋y)2m＋1展开式的⼆项式系数的最⼤值为b，若13a＝7b，则m＝________.解析由题知a＝C m2m，b＝C m＋12m＋1，∴13C m2m＝7C m＋12m＋1，即13×（2m）！m！m！＝7×（2m＋1）！（m＋1）！m！，解得m＝6.答案 611.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案 312.在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的⼆项式系数的和；(2)奇数项的⼆项式系数的和与偶数项的⼆项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的⼆项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1 024. (2)奇数项的⼆项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512. 偶数项的⼆项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可⽤“赋值法”求解.令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1. ①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510. ②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.13.(选做题)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和⽐(3x －1)n 的展开式的系数和⼤992，求? ?2x －1x 2n 的展开式中：(1)⼆项式系数最⼤的项； (2)系数的绝对值最⼤的项.解由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)? ?2x －1x 10的展开式中第6项的⼆项式系数最⼤，即T 6＝C 510·(2x )5·?－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最⼤，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·?－1x k＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k . ∴83≤k ≤113，∴k ＝3，故系数的绝对值最⼤的是第4项 T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。
【人教B版高中数学选择性必修第二册】二项式定理与杨辉三角(2)-课件
课堂小结
本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结 杨辉三角中数字的特征，再次回顾了组合数的 性质．应用二项式定理证明整除问题及估计近 似值．
课后作业
教材P33习题3–3A3、5 P34习题3–3C4
拓展作业
通过书籍或者网络查找有关数学材料，了 解杨辉三角中蕴含的其他数学内容，将有关材 料整理成小论文，与其他同学进行交流．
1
辉 三
第1行 (a b)1
第2行 (a b)2 第3行 (a b)3
11 12 1 13 3 1
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
说明：假设
C k 1 n
Cnk
，则
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
图片来自互联网资源
我国古代数学家贾宪在1050年前后就 给出了类似的数表，这一成果在南宋 数学家杨辉著的《详解九章算术》中
得到摘录．因此，这一数表在我国称 为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文 献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这 些文献认为类似的数表是数学家帕斯 卡于1654年发现的．实际上比我国发 现数表要晚了600多年．
二项式定理与杨辉三角（2）
高二年级 数学
复习上节课的主要内容：
1.二项式定理：(a b)n Cn0an Cn1an1b ... Cnk ankbk ... Cnnbn 二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以 直接写二项展开式．
高考数学 第一章《计数原理》杨辉三角与二项式系数的性质(二)课件 精品
a7 x7 求
(2) a1 a3 a5 a7
x
(3) | a0 | | a1 | | a7 |
已知 (2x 3y)10 求：
例2.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2x2
(1) a1 a2 a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) | a0 | | a1 | | a7 |
Ck2 )82
当k=1时，n=2 Sn 4n 1 3n 4n 1 0 显然成立。
当k≥2时， Ck0 , 8k , C81, 8k 1, , Ck2 , 82 均为整数
所以当n为偶数时， Sn 4n 1 能被64整除。
练习：求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式 中x3项的系数
2 n
n1
最大
n1
当n为奇数时，Cn2 =Cn2 且最大
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
（二）、应用举例
例式系1.数证的明和在等(a(于a偶b数b)n)项的n 的展二开项式式中系，数奇的数和项。的二项
证明:在(a+b)n的展开式中令a=1，b=-1
(1 1)n Cn0 Cn1 Cn2 (1)r Cnr (1)nCnn
书少成天勤什怀 劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
北师大版高中数学选修2-3第一 章《计数原理》
a7 x7 求：
解：(1)当x=1时，有 (1 2)7 a0 a1 a2 a7 所以 a0 a1 a2 a7 1 当x=0时，得 a0 1 所以 a1 a2 a7 2
高中数学 人教B版选修2-3 1.3.2杨辉三角教学设计
《杨辉三角》教学设计一、教材分析《杨辉三角》是高中数学新课标人教B版选修2-3教材第1.3.2节的内容。
本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质后，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。
对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。
本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。
从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。
二、学情分析对于高二的学生来说，他们已经具备了比较理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。
同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。
本节课授课班级为普通班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。
另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，他们之间相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。
三、教学目标：本节课让学生掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新；通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力，在学习中鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化，培养学生的爱国情感。
高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3
(4)方法一：(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零， 而 a1，a3，a5，a7 不于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各项 的系数和． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
＝
Ckn－1·n－kk＋1.
所以
C
k n
相
对
于
C
k－1 n
的
增
减
情
况
由
n－k＋1 k
决
定
，
故
当
n－kk＋1>1，即 k<n＋2 1时，二项式系数__增__大______．而当n－kk＋1
≤1(即 k≥n＋2 1)时，Cnk的值转化为____递__减____．又因为与首末 两端“等距离”的两项的二项式系数__相__等______，所以二项式
0 n
＋
C
2 n
＋
C
4 n
＋
…
＝
___C__1n＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…__________
＝
___2_n_－_1____.
• 牛刀小试
• 1．(2015·陕西宝鸡市金台区高二期末)二项 式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n 等于( )
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [答案] C
二项式系数相等并且最大，最大为
.
(4)表中数字 1 以外的每个数字都等于上一行它肩上两个数 字的____和____，这又验证了组合数的性质：Cnr ＋1＝__C_rn_－_1 _______ ＋___C_nr______.
高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第三章第2课时二项式系数的性质、杨辉三角、二项式定理的应用
(2)令x+1=-1,即x=-2,得(-2)3+(-2)10=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,
故a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=1 016.
探究三
二项式系数性质的应用
【例3】 已知
2
3
+ 3 2 的展开式中,各项系数和与二项式系数和的比为
32∶1,求展开式中二项式系数最大的项.
)+(C22 + C32 +…+C10
+ C11
)
3
=(2+3+4+…+10)+C12
(2+10)×9
=
+220=274.
2
反思感悟
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
【变式训练1】 如图,在杨辉三角中,第
行中从左到右第14个数
与第15个数的比为2∶3.
解析:设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3,
数和为B,则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…,由题意,知B-A=38.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+…)-(a1+a3+a5+…)
=(-3)n.
∴B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二项式系数的性质,可得 C1 + C2 + C3 +…+C =2n-C0 =28-1.
,偶数项系数之和为
高三数学杨辉三角2
五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这 组数可以用图来表示，这组数从三个数开始， 每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个 月是13对兔子，第七个月是21对兔子……， 裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面 加上一项1,成为“裴波那契数列”， 即：1,1,2，3,5,8,13…． 数列用 an 表示有：
a1 a2 1 (n 3) an 1 an an 1
四.对于杨辉三角的构成,还有一 种有趣的看法:
如图，在一块倾斜的木板上，钉 上一些正六角形小木块，在它们 中间留下一些通道，从上部的漏 斗直通到下部的长方形框子。把 小弹子倒在漏斗里，它首先会通 过中间的一个通道落到第二层六 角板上面（有几个通道就算第几 层），以后，再落到六角板的左边 或右边的两个竖直通道里去．……，
1
1
1
1 1 1 1
0 n 1 n 2 n
2
3 3 6 10 10 20
r n
1
1 4 5 15 6
n 1 n
4 5
1 1 1
6
15
C C C C C
C 2
n n
n
二.观察杨辉三角我们还可发现, 杨辉三角中,从一个数的“左肩” 出发,向右上方作一条和左斜 边平行的直线,位于这条直线 上的各数的和等于什么呢?
n
( a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
n 1
C a
r n
nr
b C b
n n n
4.杨辉三角的第2 （ 1 n N )
n *
行的各个数都是奇数。
5、在杨辉三角中，若行数P是 质数（素数），则P整除第P行 中除1外的所有数。
【课件】人教版高中数学选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-课件(共91张PPT)
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)
高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n[答案] C[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C. 2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A．第4项 B．第4、5两项C．第5项 D．第3、4两项[答案] B[解析] (x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．假设x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，那么不含x的项等于()A．210 B．120C．461 D．416[答案] A[解析] 由得，第6项应为中间项，那么n＝10.Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210.4．(2022安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，那么a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2 B．3C．4 D．5[答案] A[解析] ∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，应选A.5．设n为自然数，那么C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n －k＋…＋(－1)nCnn＝()A．2n B．0C．－1 D．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n＝1，应选D.6．设A＝37＋C2735＋C4733＋C673，B＝C1736＋C3734＋C5732＋1，那么A－B＝()A．128 B．129C．47 D．0[答案] A[解析] A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()A．16 B．70C．560 D．1120[答案] D[解析] 考察二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，那么Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r ＝Cr82rx16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120. 8．(2022广东惠州)等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，那么(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A．第9项 B．第10项C．第19项 D．第20项[答案] D[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C4511＋C4612＋C4713＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，应选D.9．假设n为正奇数，那么7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是()A．0 B．2C．7 D．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，那么余数为7. 10．(2022江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析] (2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，那么x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，应选B.二、填空题11．假设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022＋a2022x2022(xR)，那么(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2022)＋(a0＋a2022)＝________.(用数字作答) [答案] 2021[解析] 令x＝0，那么a0＝1.令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋…＋a2022＋a2022＝(1－2)2022＝－1.(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2022)＋(a0＋a2022)＝2022a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2022)＝2022－1＝2021.12．(2022北京11)假设x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，那么n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，那么Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.13．(2022全国Ⅱ理，14)假设x－ax9的展开式中x3的系数是－84，那么a＝________.[答案] 1[解析] 由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，解得a＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n－1 32[解析] 用不完全归纳法，猜测得出．三、解答题15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析] 令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2022的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2022|的值．[分析] 分析题意令x＝1求(1)式的值令x＝－1求(2)式的值令x＝－1求(3)式的值[解析] (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝(－1)2022＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2022＝32022②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2021)＝1－32022，a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝1－320222.(3)∵Tr＋1＝Cr202212022－r(－2x)r＝(－1)rCr2022(2x)r，a2k－10(kN*)，a2k0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2022|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022＝32022. 17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. [证明] ∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.∵Cmn＝Cn－mn(0n)，(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答此题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法那么，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，那么Tr＋1＝Cr5(x－2x2)r(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k(－2x2)k＝(－2)kCkrxx＋k.令r＋k＝4，那么k＝4－r.∵0r,05，且k、rN，r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.展开式中含x4的项为[C25(－2)2C22＋C35(－2)C13＋C45(－2)0C04]x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5(1＋2x)5，那么展开式中含x4的项为C05C45(2x)4＋C15(－x)C35(2x)3＋C25(－x)2C25(2x)2＋C35(－x)3C15(2x)＋C45(－x)4C05(2x)0＝－15x4.。
人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
人教B版高中数学选择性必修二课件 第3章排列、组合与二项式定理 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
5!
3
1
× 3 ≥ (6-)!(-1)! , 1
3 解得2≤r≤2.
5!
≥
.
≥
× 3,
5-
+1
(4-)!(+1)!
∵r∈N,∴r=4.
∴展开式中系数最大的项为
26
T5=C54 ·34 3
26
3
=405 .
规律方法
二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.
变式训练4(1)若C1 x+C2 x2+…+C xn 能被7整除,则x,n的值可能为( C )
A.x=4,n=3
B.x=4,n=4
C.x=5,n=4
D.x=6,n=5
解析 C1 x+C2 x2+…+C xn=(1+x)n-1,所以当 x=5,n=4
∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 019|+|a2 020|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019+a2 020=32 020.
变式探究 本例中设(1-2x)2 020=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2 020(1+x)2 020,
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).
高中数学课件：杨辉三角
第3、0行杨辉三角的第2k-1行1 的各数字特点
第1行
11
第2行 杨辉三角的第1 2k-21行1(k是整数)的
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第各5行个数字除1去15外都10是质10 数5的积1 。
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
第0行
1
第1行 杨辉三角的第1n行中1 的数对应于
第2行
121
第二3行项式(a+b)n展1开式3 的系3 数1
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第第第之的nn行6-行1和对行1 杨为应1C辉2的n1 Cn。三(Cn11a1n2+C角6bn2…)的1n……的…1各5…C展…行nr…C121开…0数nCr…式nr…字1…1的5的……各6和C个等nn11系2C于nn数1与1 1
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1 Cn1 Cn2 … ……C…nr … …
C n2 n1
1
Cnn1 1
4、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除 其余的所有数，则行数P是 质 数 ( 素 数 )
第0行
1
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行
研究性课题：
杨辉三角
2009届高三数学组
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
121 1 3 31 1 4 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
高考数学 第一章《计数原理》杨辉三角与二项式系数的性质(二)课件
1 2 2n1 Cn 2n2 例 3.已知 Sn 2n Cn n 1 Cn 2 1 , (n N * )
求证：当 n为证明：
1 2 Sn 2n Cn 2n1 Cn 2n2 n 1 Cn 2 1 (2 1 )n
a1 a3 a5 a7 | | a1 |
10
(3) | a0
已知
| a7 |
(2 x 3 y)
求：
(1 2)7 a0 a1 a2 a7 所以 a0 a1 a2 a7 1 当x=0时，得 a0 1 所以 a1 a2 a7 2
北师大版高中数学选修2-3第一 章《计数原理》
一、教学目标：1、知识与技能：掌握二项式系数的 四个性质。2、过程与方法：培养观察发现，抽象概 括及分析解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本 图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理 得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二 项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式 系数的性质解题。 三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程
（一）、复习：
C , C ,C
（ 1） （ 2）
0 n
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
n
1 n
C C C C
m n
n n 有如下性质： m nm （对称性） n n m 1 n
C
m n 1
n 2 n
（3）当n为偶数时， C
最大
当n为奇数时， C （ 4） C
0 n 1 n
C C 330
7 11 4 11
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杨辉三角与“堆垛术” （三角垛，正方垛， ．．．）
将圆弹堆成三角垛:底层是每边 n 的三角形，向上逐层每边少
一个圆弹，顶层是一个圆弹， 求总数．
三.如图:
1 1
235813 21
规律:从第3条斜线中数字的和起, 其后各斜线中数字的和是前两条 斜线中数字和之和,即:
Sn2 Sn1 Sn (n 2)
即:1,1,2，3,5,8,13…． 数列用 an表示有:
ana11
a2 an
1 an1
(n
3)
四.对于杨辉三角的构成,还有一 种有趣的看法:
如图，在一块倾斜的木板上，钉 上一些正六角形小木块，在它们 中间留下一些通道，从上部的漏 斗直通到下部的长方形框子。把 小弹子倒在漏斗里，它首先会通 过中间的一个通道落到第二层六 角板上面（有几个通道就算第几 层），以后，再落到六角板的左边 或右边的两个竖直通道里去．……，
以此类推，算一算:落在每个长 方形的框子中的弹子的数目会 是多少？你能用学过的排列、 组合与概率的知识莱解释这一 现象吗？ 你能分析与杨辉三角的 关系吗？
莱布尼茨分数三角形:
将杨辉三角中的每个C
r 换成
n
1 得到莱布尼茨单位分 (n 1)Cnr
数三角形。
1
1 11
22 11 1 36 3 1111 4 12 12 4 11 11 1 5 20 30 20 5 1 11111 6 30 60 60 30 6
或者, 如图的斜线中, 各行数字 的和构成斐波那契数列.
1，1，2，3，5，8，13，21， 34，．．．此数列{an}满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的 斐波那契数列．
兔子繁殖问题与斐波那契 裴波那契（Fibonacci leonardo，
约1170-1250）是意大利著名数学家． 他最重要的研究成果是在不定分析 和数论方面，他的“裴波那契数列” 成为世人们热衷研究的问题．
根据上面性质,请猜想下列数列 的前n项和.
1111 ____C_n1_____ .
1
2
3
C1 n1
__C_n2_______
.
1
3
6
C2 n1
__C_n3_______
.
1
4
10
C3 n1
_C__n4_______
.
一般地,我们有 :
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
Cnr1(n r)
保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大 的是1202年在意大利出版的《算盘书》， 《算盘书》中许多有趣的问题中最富成功的问 题是著名的“兔子繁殖问题”． 如果每对兔子每
月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就 有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对 兔子？可以这样思考:第一个月后即第二个月 时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本 身，另一对是它生下的幼兔． 第三个月时两对
兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另 一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成 的大兔子． 第四个月时，三对兔子变成了
五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这 组数可以用图来表示，这组数从三个数开始， 每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个 月是13对兔子，第七个月是21对兔子……， 裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面 加上一项1,成为“裴波那契数列”，
4.杨辉三角的第2n （1 n N *) 行的各个数都是奇数。
5、在杨辉三角中，若行数P是 质数（素数），则P整除第P行 中除1外的所有数。
一.计算杨辉三角中各行数字的和 :
11
1 21
1 33 1
1 4641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Cn0
Cn1
Cn2
Cnr
C n1 n
C
n n
2n
二.观察杨辉三角我们还可发现, 杨辉三角中,从一个数的“左肩” 出发,向右上方作一条和左斜 边平行的直线,位于这条直线 上的各数的和等于什么呢?
C C 0 1 n1 n1
Cn0 Cn1
C C n2 n1 n1 n1 Cnn1Cnn
此规律的推广:在杨辉三角中,第 M条斜线(从右上到左下)上前n 个数字的和等于第m+1条斜线上 的第n个数.
2.1 杨辉三角(2)
杨辉三角的基本性质:
1、杨辉三角的两条斜边都是数字1，
而其余的数都等于它肩上的两这是杨
辉三角的最基本的性质。
2、杨辉三角的对称性：
Cnr
C nr n
.
3、杨辉三角的第n行就是二项式 (a b)n的展开式的系数，即：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn