差分方程

§7.4 常系数线性差分方程的求解
描述线性、时不变离散系统的常系数线性差分方程的
一般形式可表示为： N
M
ak yn k br xn r
k 0
r0
式中ak、br是常数
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：迭代法、时域
经典法：齐次解+特解、零输入响应+零状态响应（利用卷积求系
统的零状态响应）、 z变换法（反变换y(n)）、状态变量（方
推论：一般情况下，若n= n0时，激励信号接入系统， 零状态是指 y-(n0-1)、 y-(n0-2) …... y-(n0-N)等于0。
讨论有关初值问题，引入起始样值y-(n)和初始样值 y+(n)的定义。这对于一些基本概念的理解是有益的。
例如，零输入响应是由起始样值y-(n)决定，而对于n= 0时刻接入的激励信号，系统的完全响应由
例7-4-3
常数C1、 C2、 ……、 CN 由边界条件决定。
（2）在特征根有重根的情况下，齐次解的形式将略有不
同。假定a1是特征方程的k重根，那么，在齐次解中，
相应于a1的解部分将有k项，即：
C1nk-1a1n+ C2nk-2a1n+ ……+ Ck-1na1n+ Cka1n 例7-4-4
非重根部分的解与（1）相同。齐次解=重根解+非重根解
已知 y(0)=2，y(1)=1。
特征方程 a2-5a +6=0
特征根 齐次解 定C1，C2
解出
a1=2，a2=3
yn C12n C23n
n 0 y0 C1 C2 2 n 1 y1 2C1 3C2 1
C1=5，C2= -3
所以
y(n)=（5*2n -3*3n）u(n)
返回
例7-4-4 求解差分方程
D
Dan (a不是差分方程的特征根)
an
（ D1n+ D2）an (a是差分方程的单特征根)
（ D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk ）an (a是差分方程的k阶重特征根)
ean
Dean
ejan
Dejan
注意：当差分方程的特征方程有M阶重根1时，则对 应于nk形式的激励信号的特解应修正为： nM（D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk）
可见，对初值y(0)的理解不同，所得差分方程的解
也不同。
返回
（二）时域经典法：齐次解+特解
与微分方程的时域经典法类似，先分别求差分方程的
齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。这种方法
便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程
比较麻烦。
1、差分方程的齐次解 N 一般差分方程对应的齐次方程的形式为： ak yn k 0 所谓差分方程的齐次解是满足上式的解。k 0
当n 0时，则有：
y+(0)= 1 y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y+(2…)=.u..(2) +3y+(1)=1+3+32=13
y+(n)=
u(n)
+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n
1 2
3n1
1
则方程的解为： y(n)= 1 3n1 1u(n)
2
由于n<0时， y(n)=0，所以该解是系统的零状态响应。
的起始样值与初始样值一般不相等。 因此，如果要求系统的完全响应，而给定的初值又
是n 0的起始样值y-(n)，那么，就要用迭代法由y-(n)求出
初始样值y+(n)，然后求系统的完全响应。 对于N阶因果系统，常给定y(-1)、 y(-2)、…... y(-N)
为边界条件。 若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是系
a2 = Me -jj
yn C1 a1 n C2 a 2 n
C1 Mejj n C2 Mejj n
C1M ncos nj jsin nj C2M ncos nj jsin nj
PM n cos nj QM n sin nj
P,Q为待定系数
M 1 yn 为等幅正弦序列 M 1 yn 为增幅正弦序列 M 1 yn 为减幅正弦序列
（3）当特征根为共扼复数时，齐次解的形式可以是等幅、
增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
求差分方程齐次解步骤
例7-4-5
差分方程
特征方程特征根
y(n)的解析式由起始状态定常数
2、求差分方程的特解
为求特解，首先将激励信号x(n)代入方程式右端， 观察自由项的函数形式来选择含有待定系数的特解函 数式，将此特解函数代入方程后再求待定系数。
则可表示为：
1 a yn 1 xn
yn 1 xn
Ea
E
E
注意：这不是一个代数方程，而是一个运算方程。其特性与连续
系统中的算子式类似。
1
作由用以。上即分：析y(n看)经出：1算运子算给（E出或yT(n、-1D)，）这表正示是延规迟定单位1 时作间延的迟元
件符号标志的理由。EE源自返回例7-4-3 求解二阶差分方程 y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=0
3
yn
yh
n
y
p
n
C1
2n
5 3
n 0
3、差分方程的完全解（离散系统的完全响应）
N
完全解 = 齐次解 + 特解 =
C
ia
n i
Dn
i 1
系统的 完全 响应
自由 强迫 响应 响应
Ci由边界 条件决定
例7-4-6
例7-4-7
返回
（三）零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次方程
求解方法：与求齐次解相同，解形式为齐次解形式
解方程。
这里为了说明起始样值和初始样值，我们把y(0)
看作y-(0)=1、 y+(0)=1分别讨论。 1、若把初值y(0)=1,看作激励加入前系统的起始
样值y-(0)，则y-(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)=0
当n<0时，用迭代法容易求得：
y
1
1 3
y
0
1 3
y
2
1 3
y
1
1 3
1 5 3n 1 2
所以，该差分方程的完全解为：
y(n)= 3n u(-n- 1) + 1 5 3n 1 u(n) 2
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0
y(n)+6y(n-1)+12y(n-2) +8y(n-3) =0
特征方程 a 3+6a 2+ 12a +8=0 a2)3=0 a1 = a2 = a3 = -2
所以 yn C1 2n C2n 2n C3n2 2n
给定边界条件即可求出常数 C1, C2 , C3
返回
例7-4-5 设a1 =Me jj
首先分析最简单的情况，若一阶齐次差分方程的表
示式为：y(n)-ay(n-1)=0
可以改写为：
a
yn yn 1
这说明y(n)是一个公比为a的几何级数，即：y(n)=Can
其中C是待定系数，由边界条件决定。
一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次
解以形式为Ca n的项组合而成。将y(n)=Ca n代入上式得：
y+(0)= u(0) +3y+(-1)=1+1=2
y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*2=7
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3(1+3*2)=22
y+(3)…= u..(.3) +3y+(2)=1+3(1+3+2*32)=67 y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+32+……+3n-1+2*3n
n 0的初始样值y+(n)决定。 如果系统起始样值y-(n) 0，则系统差分方程的完全解
将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始样
值处理。
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二、差分方程的解法（前3种方法）
（一）迭代法 （二）时域经典法：齐次解+特解 （三）零输入响应+零状态响应 （利用卷积求系统的零状态响应）
统的起始样值y-(n)=0，即： y-(-1)、 y-(-2) …... y-(-N) 为0， 而不是指y (-1)、 y(-2) …... y(-N) 为0。
如果已知y(-1)、 y(-2)、…... y(-N)，欲求y(0)、y(1)、 …... y(N)，则根据因果系统在n<0， y-(n)=y+(n)；利用迭 代法求得。
零状态响应
强迫响应
N
N
C ZPi
C ZSi
a
n i
Dn
C
ia
n i
Dn
i 1
i 1
例7-4-8 例7-4-9 例7-4-10
自由响应
返回
三、传输算子的概念
对于线性时不系统，可以借助算子符号、传输算子等概念来表示
或求解系统的数学模型。在连续时间系统中，以算子p表示微分运
算。对于离散时间系统，以算子符号：“E”表示将序列超前一个单
而初始样值是在激励信号加入之后系统所具有的 一组样值，以符号y+(n)表示。
分别利用起始样值y-(n)和初始样值y+(n)可以确定 系统的零输入响应和完全响应。
对于因果系统，如果激励信号在n=0时刻接入，则在n<0 的区间，系统在同一样点上的起始样值与初始样值相等，
即： y-(n)=y+(n)；但是在n 0的区间，同一样点上
返回
（一）迭代法
是解差分方程的基础方法，包括手算逐次代入求解 或利用计算机求解。
这种方法概念清楚，也比较简便； 但只能得到其数值解，不易得到输出序列y(n)的解析 式（或封闭解），若要求通解，需用数学归纳法得出， 并证明。
例7-4-1
例7-4-2
返回
例7-4-1 已知y(n)=3y(n-1)+u(n)，且y(-1)=0,求解方程。
N
ak Ca nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N
并化简得：
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1、 a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
（1）在特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解为：
C1a1n+ C2a2n+ ……+ CNaNn
现在，我们给出几种典型信号之特解的一般形式：
线性时不变系统激励与响应有相同的形式
激励x(n) nk
sin(nw) cos(nw)
常数 A
响 应 y(n) 的 特 解 D (n) D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk
D1sin(nw)+D2cos (nw) D1sin(nw)+D2cos (nw)
2
…...
y n
1 3
y n 1
1 n 3
3n
假设系统是因果系统， 由于激励u(n)在n=0接 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。
当n0时，系统差分方程为： y(n)-3y(n-1)=u(n)
由于系统的因果性，而有
y 1
y 1
1 3
这样，由y+(-1)及y(n)-3y(n-1)=u(n)可求得y+(0)、 y+(1)….
位时间的运算。 E也称为移序算子，利用移序算子可写出：
y(n+1)=Ey(n)
y(n-1)= 1 y(n)
E
对于二例，可以引入
对于差分方程 y(n+1) - ay(n) =x(n)
传输算子 HE 1
可改写为： （E - a）y(n) =x(n)
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件， 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值，以符号y-(n)表示。
n 0 y0 3y1 1 1 n 1 y1 3y0 1 4 n 2 y2 3 y1 1 13 n 3 y3 3 y21 40
由递推关系,可得输出值：
yn
1,
4,
13,
40,
n0
注意：这里y(-1)=0是按初始样值y+(-1)=0处理的。 返回
例7-4-2 已知差分方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)，且y(0)=1,求
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n)，且y(-1) =1，
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解 特解
yh n C1 2n
因为x(n)=5u(n)， n0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
待定系数Ci由起始样值决定(相当于0-的条件)
2.零状态响应：起始样值为0，即:y-(n)=0 n <0
求解方法
经典法：齐次解+特解 卷积法 y(n)=x(n)*h(n)
起始样值为0时
N 起始样值决定 N
的初始样值决定
系统完全响应
a C n ZPi i
a C n ZSi i
D
n
i 1
i 1
零输入响应