高考数学数列放缩法技巧全总结
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高考数学备考之 放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
351
1
2
<
∑=n
k k
.
解析:(1)因为121121)12)(12(21
42
2
+--=+-=
-n n n n n ,所以122121114212
+=+-=-∑=n n n k n k
(2)因为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<121121
2144
4
111
2
2
2
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k
奇巧积累:(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=-<=121121
2144441222n n n n n (2)
)
1(1
)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3))2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n C T r r
r
n r
(4)25
)1(123112111)11(<
-++⨯+⨯++<+n n n
n
(5)n
n n
n
2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+221
(7))
1(21)1(2--<<
-+n n n
n n (8)
n n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221
⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-
(9)⎪
⎭⎫
⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !
)1(1
!1!)1(+-
=+n n n n (11)
2
12121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+ (11) )2(121 121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- -=+-< ⋅=n n n n n n n n n n n n 1 1 112111111 +--<-++⋅ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-⇒> -⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ - (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 1 1 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证: )2()12(2167)12(1513112 22≥-->-++++ n n n (2)求证:n n 41 214136 1161412- <++++ (3)求证:1 122642) 12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n (4) 求证: ) 112(213 12 11)11(2-+<+ ++ + <-+n n n 解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 21 31(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2)) 1 11(41)1211(414136 116141222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出 1 212642) 12(531+< ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最 后就可以得到答案 (4)首先 n n n n n ++= -+>12)1(21,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+ 再证2 12121 2122 2)1212(21 -++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的, 所以) 112(213 12 11-+<+ ++ + n n 例 3.求证:35 191411) 12)(1(62< ++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+--=-= - <121121 2144 41112 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n k 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++ n n n n n n 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2 1 91411) 12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2 1 91411) 12)(1(6n n n n ++++<++ , 所以综上有35 191411) 12)(1(62< ++++≤++n n n n