第九章_空间轴对称问题

q r a z a a
θ
r
ψ M dψ
r
s
ds s2
s1
3.1 边界上一点 M 的竖向位移 w：
M 点可以在荷载圆面积之外也可在之内。
1.设 M 点为圆面积之外： 设 点为圆面积之外： 当半空间体边界上受法向集中力 P 时，边界上距 P 点为 r 的点
竖向位移为
(1 − ν ) P (1 − ν 2 ) P w= = 2πGr πEr
γ rz=γzr
1.2 基本方程： 基本方程： 1.平衡微分方程 平衡微分方程（两个） ： 平衡微分方程 第一
∂σ r ∂τ zr σ r − σ θ + + + fr = 0 r ∂r ∂z ∂τ zr ∂σ z τ zr + + + fz = 0 r ∂r ∂z
第三 2.几何方程 几何方程（四个） ε r = ： 几何方程
（9－18）式，称为 Boussinesq 问题解 问题解。 称为
由 P.297（9－17）（9－18）式见：位移和应力随 R 的增加而 、
减小。在 z=0 平面上
ur = −
P
r
(1 − ν ) P (1 − 2ν ) P ，w = 2πGr 4πGr
z
第三节
半空间体在边界上受法向分布力 q
已知条件： 已知条件：半空间体在边界上受均布法向荷载 q 作用，在半径 为 a 的圆面积，寻求解答： 1. z =0 边界上的沉陷 wz=0 = ? 2. r =0（对称轴）上的应力和位移。 求解方法： 采用叠加法和半空间体边界受法向集中力 P 的计算结 求解方法： 果求解。
圆面积均布荷载 q 对圆外 M 点竖向位移影响可取一个微面元， 距 M 点为 s，角度为 ψ处，dA=sdψds ，dA 上 q 对 M 点影响：
r a
θ ψ M dψ
r
s
ds s2
s1
(1 − ν 2 )qsdsdψ (1 − ν 2 )qdψds dw = = πEs πE
整体圆面积荷载对 M 点影响为
u ∂w ∂u r εθ = r ， ε z = ， ∂z ， r ∂r
γ zr = γ rz =
3.变形协调方程 变形协调方程（四个） 变形协调方程
∂u r ∂w + ∂z ∂r
1 ∂ε r 2 ∂ε θ ∂ 2 ε θ − − =0 2 r ∂r r ∂r ∂r
∂ 2γ zr ∂ 2 ε z ∂ 2 ε r =0 − − 2 2 ∂r∂z ∂r ∂z 2 ∂ εθ 1 ∂ + (ε θ − ε r ) = 0 ∂r∂z r ∂z ∂ 2 ε θ 1 ∂γ rz 1 ∂ε z
第二类椭圆积分
第一类椭圆积分
对于不同 a/r 可由椭圆积分表得到。 2．M 点载荷在圆之外： ． 点载荷在圆之外： 圆内距 M 点 s 处微面积 q 对 M 点沉陷的影响仍为
(1 − ν 2 ) qsdsdψ (1 − ν 2 ) qdψds dw = = πEs πE
m ds s dψ
θ
a ψr M
∫
∞
0
σ z 2πrdr + P = 0
将σz 表达式代入，得
P − 2πA1[(1 − ν ) z 0 ∫
∞ 0 ∞ r r 3 ∞ r dr + 3z 0 ∫ 5 dr ] − 2πA2 z 0 ∫ 3 dr = 0 0 R 0 R R3
而
∫0
∞
r R
dr = ∫ 3
∞
r (r +
2 2 z0 )
∂z 2
4.物理方程 物理方程（四个） ： 物理方程
−
r ∂z
+
r ∂r
=0
σr=λe+2Gεr、σθ=λe+2Gεθ、σz=λe+2Gεz、τ rz=Gγ rz
其中
e=
εr =
εz =
∂u r u r ∂w + + ∂r r ∂z ——体积应变
εθ =
1 [σ θ − ν (σ r + σ z )] , E
=
4(1 − ν 2 ) qr 2 ∫0 πE
π
a2 (1 − sin 2 θ )dθ 2 r a2 1 − 2 sin 2 θ r
π π 4(1 − ν 2 ) qr 2 a2 a2 dθ 1 − 2 sin 2 θ dθ − (1 − 2 ) ∫ 2 = ∫0 πE r r 0 a2 1 − 2 sin 2 θ r
∂ ∂2 2 σ z = [(2 − ν )∇ − 2 ]ψ ∂z ∂z
τ rz = τ zr
∂ ∂2 2 = [(1 − ν )∇ − 2 ]ψ ∂r ∂z
轴对称问题按位移求解，归结为寻找一个恰当的重调和函数
ψ(r,z)，使按其导出位移和应力能满足给定的边界条件。
比较应力函数解法和 love 位移法知：φ (r,z)= ψ (r,z)
并考虑适当的边界条件。 b. 引入 Love（拉甫、勒夫）位移函数 （拉甫、勒夫）位移函数（当无体力作用时） 对于位移法的基本方程的解可由考虑体力的一个特解加上齐次 方程的通解。 轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一个 Love 位移函数
ψ(r,z),使得位移由ψ(r,z)表示：
1 ∂ 2ψ ur = − , 2G ∂r∂z
uθ = 0 ,
Байду номын сангаас
1 ∂2 2 w= [2(1 − ν )∇ − 2 ]ψ 2G ∂z
代入齐次拉梅方程，第一式自然满足，而第二式为基本方程：
∇ 4ψ=0 ψ(r,z)——为双调和方程
同时应力分量由ψ(r,z)表示为
∂ ∂2 2 σ r = (ν∇ − 2 )ψ ∂z ∂r
σθ =
∂ 1 ∂ (ν∇ 2 − )ψ ∂z r ∂r
w=∫
而
(1 − ν 2 )q 2(1 − ν 2 )q ψ1 dw = dψds对称性 ∫0（s2 − s1 )dψ πE ∫∫ πE
s 2 − s1 = 2 a 2 − r 2 sin 2 ψ , ψ1 为 M 点作为圆相切线
4(1 − ν 2 )q ψ 1 2 2 2 w= ∫0 a − r sin ψ dψ πE
第九章
空间轴对称问题
本章讨论一下空间轴对称问题的基本方程和一些轴对称问题的 基本解。对于一般空间问题的解法我们在第五章已有讨论，但一般空 间问题一般解（具体求解）通解讨论在杜庆华等编著的“弹性理论” 中有较多的论述。 我们不刻意从数学上论述一般空间问题一般解的表 达式，而对于空间轴对称问题作一些讨论和举例。
σ r = ± k r , τ rz = ± k z = ± Z
,
σ z = ±k z = ± Z
τ zr = ± k r
四个应力分量σr、σθ、σz、τ rz 为基本未知量。 基本方程（六个） ： 两个平衡微分方程 四个用应力表示的变形协调方程 再加上力的边界条件。 如果体力为零时， 基本方程为齐次方程， 则可采用应力函数解法， 引入应力函数φ(r,z)，使得应力用φ(r,z)表示:
0
dr = 32
1 z0
， ∫0
∞
r R
dr = ∫ 5
∞
r (r +
2 2 z0 )5 2
0
dr =
1
3 3z 0
P - 4πA1(1-ν）- 2π A2 = 0 ——(b) 由式(a)、(b)解得 A1 = P/(2π) 、A2 = -（1-2ν）P /（2π）
代回位移、应力表达式，见徐芝纶（上册）P.297（9－17） 、
∂2 1 ∂ ∂2 ∇ = 2 + + r ∂r ∂z 2 ∂r
2
7．按位移法解 a．基本未知函数： ur 和 w ．基本未知函数
基本方程两个：
(λ + G )
u ∂e + G (∇ 2 u r − r ) + f r = 0 ∂r r
(λ + G )
∂e + G∇ 2 w + f z = 0 ∂z
n 整个圆面积荷载引起 M 点沉陷为：
w=∫
(1 − ν 2 ) q 2(1 − ν 2 )q 2 dw = dψds 对称性 ∫0 smn dψ πE πE ∫∫
π
π
2(1 − ν 2 )q 2 w= ∫0 2a cosθ dψ πE
利用
asinθ=rsinψ ,
4(1 − ν 2 )qa 2 r 2 sin 2 ψ ∴w = ∫0 1 − a 2 dψ πE
或
1 [σ r − ν (σ θ + σ z )], E
1 [σ z − ν (σ r + σ θ )], E
γ rz =
(1 + ν ) τ zr 2E
5.边界条件 边界条件 位移边界： 位移边界 u r
= ur
,
w=w
在 Su 上
力的边界：在 r=r0 力的 在 z=z0 6.按应力解法 按应力解法
OM 线的夹角
为了简化积分将积分变量 ψ 转变为 θ 由图形可见 asinθ=rsinψ , sinψ= asinθ/r 两边微分
acosθdθ = rcosψdψ
dψ =
a cos θdθ a cos θdθ = = 2 r cosψ r 1 − sin ψ
a cos θdθ a2 r 1 − 2 sin 2 θ r
θ
x
y
ψ(r,z)为重调和函数，由ψ(r,z)的三次微分导出应力。
选
ψ(r,z) 为 r 和 z 的正一次幂式: ψ(r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] ——为双调和函数 ψ(r,z) 自然满足 ∇ 4ψ=0 。代入位移、应力计算式
1 A1 r z r 1 z2 1 A2 + A2 ，w = A1 3 + (3 − 4ν ) + 3 2G R R( R + z ) 2G R R R z z 3r 2 z 1 − 5 + A2 3 − ， 3 R( R + z) R R R
ψ的取值范围：由 0 → ψ1 θ 的取值范围：0 → π/2
r sin ψ 1 = a = a sin
π
2
w=
4(1 − ν 2 )q π 2 2 2 2 ∫0 a − a sin θ πE
a cos dθ a2 r 1 − 2 sin 2 θ r
=
4(1 − ν 2 )q a 2 cos 2 θdθ ∫ πE a2 r 1 − 2 sin 2 θ r
∂ ∂ 2φ 2 σ r = (ν∇ φ − 2 ) ∂z ∂r ∂ 1 ∂φ σ θ = (ν∇ 2φ − )
∂z r ∂r
∂ ∂ 2φ 2 σ z = [(2 − ν )∇ φ − 2 ] ∂z ∂z
τ rz = τ zr
∂ ∂ 2φ 2 = [(1 − ν )∇ φ − 2 ] ∂r ∂z
满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡方程及四个相容方程， 共同要求 ∇2∇2φ=∇4φ =0 ——φ(r,z)应满足的基本微分方程。 其中
第二节半空间体在边界上受法向集中力 问题） （Boussinesq 问题）
半空间体，体力不计，边界受法向集中力 P 作用. 轴对称问题 P 作用在坐标原点上。 已知，当 z=0 且 r ≠0 时,
σz=0 , τ zr= 0； P
r R z z
当 R→∞ 时 R=(r2+z2)1/2， 应力、位移→ 0； 当 R→ 0 时，应力奇异。 Boussinesq 采取 Love 函数求解，
第一节
空间轴对称问题的基本方程
1.1 空间轴对称问题特点： 空间轴对称问题特点：
与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的求解域、荷载和约束 绕某一轴（z 轴）对称，导致如下简化， （参见徐芝纶（上册）第八 章第八节(P.274） 。 1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、应力、应变）均为 r、z 的 函数。 2．荷载：体力 fθ=0，面力 Fθ = 0 ，位移 uθ=0，应力τ rθ=τ zθ=0， ．荷载： 应变γ rθ=γzθ=0。 3．存在物理量：fr、fz、ur、w、σr、σθ、σz、τ rz=τ zr、εr、εθ、εz、 ．存在物理量：
则
位移： 位移 u r =
应力： σ r = A1 (1 − 2ν ) 应力
σ θ = A1 (1 − 2ν )

A2 z + ， 3 R( R + z) R
z 3z 3 z + 5 − A2 3 ， R3 R R
r 3rz 2 r + 5 − A2 3 3 R R R
σ z = − A1 (1 − 2ν )
τ rz = − A1 (1 − 2ν )

下面根据边界条件来确定 A1 和 A2： 在 z=0 且 r ≠0 边界上,
σz=0 自然满足。 （1-2ν）A1+ A2 = 0——(a)
P r z0 r z dr
在 z=0 且 r ≠0 边界上, τ zr= 0 → 还需一个条件（包括 P 的） 。 在 z= z0 ≠ 0 平面上， 要求σz 的合力与 P 平衡。