Ferrers图在正整数拆分中的应用

Ｖｏ ． Ｎｏ １ 【９ ．
Ｍ ａ． ２ ０ ｒ ０１
Ｆ ｒｅｓ 在 正 整 数 拆 分 中 的应 用 ｅｒｒ 图
尹 飞 杨 方 燕 子 宗
（ 江 大 学 信 息 与数 学 学 院 ， 北 荆 州 ４ ４ ２ ） 长 湖 ３ ０ ３
［ 要 ］ 正 整 数 的 拆 分 与 许 多 计 数 问 题 有 着 密 切 的 关 系 ．文 章 运 用 Ｆ ｒｅ ｓ 图 讨 论 了 ａ 整 数 摘 ｅｒｔ Ｙ － 拆 分 问 题 ， 到 正 整 数 拆 分 的 共 轭 拆 分 表 达 式 ， 明 了 正 整 数 进 行 拆 分 的 拆 分 数 ， 转 化 为 求 较 小 得 证 可
的结论 ． ຫໍສະໝຸດ １ 基 本 概 念 定义 １ Ⅲ 设 ／ ＋ ＋… ＋ ， ”≥ … ≥ 是任 一个 分部 数为 ｒ ２ 一 ２ ／≥ ： ｎ的 ／拆 分 ， 它 对 应于 一 个 由 ２ 则 个 点构 成 的行数 为 ｍ， 数为 ｋ点 阵 图 ： 列 第 （一１ ２ … ， ） 有 ａ 个 点 ， 每 一 行 的第 Ｊ １ ≤ ｎ ） 点 ｉ ，， 行 且 （ ≤ 个
位 于第 Ｊ列 中 ， 这个 点 阵图称 为该 拆分 的 Ｆ ｒｅｓ 将 第 一行 与 第 一列 对 调 ， 二行 与 第 二列 对 调 ， …所 ｅｒｒ 图． 第 …
得 到的 图仍然 是 Ｆ ｒｅｓ ， 称 这两个 图是一 对共 轭 的 Ｆ ｒｅｓ图． ｅｒｒ 图 并 ｅｒｒ 性质 １ 一个 整 数 ／拆 分 成恰 好 为 ｒ 口 ２ ｎ部 分 的拆 分 数 ， 于 这 个 整数 ／拆 分 成 最 大 部 分 为 ｍ 的拆 分 等 ２ 数．
‘
证 明 设整 数 拆 分成 ｍ 部 分 的表 达式 为 ： （ …＋ａ ≥ ｎ ≥ …≥ ） 做 出其相 对 应 的 一 口 ＋ａ ＋ （ ，
收 稿 日期 ： ０ ９ １ － ４ ２ ０ — ２２
作者简介 ： 尹
飞 （ ９ ５）男 ， １ ８ 一， 云南 曲靖 人 ， 江 大学 信 息 与数 学学 院 在 读硕 士研 究 生 。 长 主要 从 事 最 优 化 理 论 与计 算 的研 究
图 １ Ｆ ｒ ｅ ｓ图 ｅ ｒｒ
图 ２ 共 轭 Ｆ ｒｅ ｅ ｒ ｓ图
Ｆｇ １ Ｆ ｎ ｅｓｇ ａ ｈ ｉ． ｅ ｒｒ ｒ ｐ
；
Ｆｇ ２ Ｃｏ ｊ ｇ ｔ ｒｅ ｓｇ ｎ ｈ ｉ． ｎ ａ ｅＦｅｒ ｒ ｒ ｐ ｕ
５ ２
太 原 师 范 学 院 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第９ 卷
． ． ． ． ．
． ． ． ． ．
． ．
． ．
． ｍ
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
¨
．
．
●
＂
．
．
，
●
性质 ２ ［ 整 数 拆 分 成 最 多 有 ｍ 部 分 的 拆 分 数 ， 于 这 个 整 数 拆 分 成 每 一 部 分 不 超 过 ｍ 的 拆 分 数 ． 等
性质 ３
整 数 ｎ的 Ｆ ｒｅｓ 为 自共 轭 的拆分 数 与整 数 拆 分为若 干个 互 异奇 数 的拆 分 数相 等． ｅｒｒ 图
数 ｎ 一 的拆分 数．
［ 键 词 ］ ａ． 数 ；拆 分 数 ；Ｆｅ ｒ ｒ 关 Ｙ整 － ｒ ｅ ｓ图
［ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） １０ ５ － ３ ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ７ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ ０ ０ － ０ １０ 中 ５ 文
第 ９卷 第 １期 太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） ２１ ０ ０年 ３月 Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩ ＵＡ ＲＭＡＩ Ｙ Ｎ ＮＯ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｉ ＲＳＴＹ （ ｔ ｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） Ｎａｕ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｉ
２ 主 要 结 果
定理 １ （ 轭 Ｆ ｒｅｓ 的拆 分 表达 式 ） 整 数 拆分 成 ｍ 部分 的表 达式 为 ： 共 ｅｒｒ 图 若 一ａ ＋＆ ＋… ＋ｎ ， 。 ａ ≥
ａ≥ … ≥ ａ 则 其 共 轭 拆 分 表 达 式 为 ： ， 一以 ＊ｍ＋ （ １ ａ ）＊（ 一 １ ＋ … ＋ （ 一 ａ 一） 口一－ ｍ ） 口 一 １）＊（ — ｉ ＋ … ＋ （ ｌ ｎ ）＊１其 中 （ … 一 ｍ ） ａ— ２ Ⅱ ｎ － － ＊（ — 只 是 一 种 符 号 ， 示 有 ａ 一 ａ “ ¨） ） 表 一
０ 引 言
正 整数 的拆 分是 组合 数 学 、 图论 、 数论研 究 的一 个重 要 课题 ， 分 过程 就 是 将 正整 数 ／分 解 为若 干 个 与 拆 ２ 次 序无 关 的正整 数 的和 ， 一般 假设 ／ ＋ 。 ２ 一 ＋… ＋ ， ２ ／ ≥ ≥ …≥ ． 对 一个 整数 ”的所 有 可能拆 分 方 针 式 的个 数称 为 ７的拆 分数 ， 个具 体拆 分 中所分 成 的正 整 数 的个 数 ｍ 称 为 分部 数 ， ／ ＂ 一 而对 应 分成 的 ｍ 个 正 整 数 称为拆 分 的分部 量 ． 本文 利 用 Ｆ ｒｅｓ图像对 正 整数拆 分 问题 进 行 了一 些探 讨 ， 中总结 出 了几个 有 意义 ｅｒｒ 从
、——————— —————— ————— ——————
个 ｍ— ｉ 加 ， 相 即
， ———————’’—’ ’ 。 ’一
（ — ｉ ｍ ）＋ … ＋ （ — ｉ ｍ ）
ａ 一 — ａ一 ） — （ 个 １ Ｆ ｒｅｓ （ 图 １ 和 共 轭 Ｆ ｒｅｓ图 （ 图 ２ ． ｅｒｒ 图 见 ） ｅｒｒ 见 ）