计算机辅助几何设计期末作业

j-1
(3) de Boor 控制点基 d- 1, d0,..., dl - 1, dl 。
给曲优点某述，通过给曲曲 de Boor 控制点计算像满足C 曲件曲1 Bezier控制 点，然曲上上分像 de Casteljau算法，绘制相上曲满足C 曲件1曲二次 B样曲曲线。
具达过程如下：
(1) 令 b0 = d- 1,b2l = dl ；
6
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：业 ：
形在存部可及及连续像数可及等 Bezier 曲线所具有曲特，。一曲 B 样曲曲线由
多多多构，曲线像组成，曲线像可以上 de Boor算法一行末理。 2.1 C1曲二次 B样曲曲线
一曲 C1 曲二次 B样曲曲线是由下环几点曲像曲：
(1) 每像曲线像曲次数于于等于 2；
(2) 优点某述 t0 < ... < tl ， Δj - 1 = t j - t ,( j = 1,..., l ) ；
具达过程如下：
(1) 令 b2 j +1 = d j , j = 0,..., l - 1；
(2)
令 b0 = b2l
=
Δ
0
b+
Δ0 + Δl - 1 2l - 1
Δl - 1
；
0
l-1 b
Δ +Δ 1
(3)
令 b2 j
=
Δj Δj - 1 + Δj
b+ 2 j-1
1.3 Bezier 曲线曲车像公， 假设上上环像方曲方法设计一像 n 次 Bezier 曲线。在对多绘形多次，改曲，
可以发曲 n 次曲线不具有分分曲灵活性来所要所要求曲形在。在这种，一下，一
像可行曲方法上是通过日增增一像优点来增增多绘形曲灵活性。增增了一像优 点，曲线曲次数也上增增了 1，但一要求保持曲线曲形在不发末改变。其此，我
( ) bik = 1 - t bik - 1 + tbik+-11, k = 1,..., n, i = 0,1,..., n - k
这便是 de Casteljau算法。上这一递计公，，在给曲参数下，求 Bezier曲线上一
点 p(t ) 非常有效。 上，中： bi0 (i = 0,1,..., n) 是曲像 Bezier 曲线曲控制点， n ( )制
0
b0 , b0
( ) 和曲两像优点
b10 ,b20
决曲曲一次
1
Bezier 曲线曲线性组逼。，次类计，由优像控
( ) ( ) 制点曲像曲不次 Bezier 曲线 b03 (t ) 可被曲像基分两由 b00 ,b10, b20
b0 ,b0 , b30 确曲
和
4
12
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：业 ：
曲二曲二次 Bezier 曲线曲线性组逼。由 n + 1 像控制点 bi0 (i = 0,1,..., n)曲像曲 n 次
一间曲某像 t 可以得到一像 p(t) （制然环上一像点） ，随计 t 曲不断变，，点也随
一改变。当 t 从 0 变到 1 线，上得到然环上曲一曲曲线， 曲曲线上是 Bezier曲线。
下环上一像例子来解方曲方法：给曲优点 b0 ,b1, b2 , b3 ，上下环方法构造一曲
曲线：对任意 t [0,1]，末 ∈
2
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：业 ：
图 1 优像控制点曲 Bezier 曲线
类于于上述例子，曲从手绘图形中读优数逼点数逼 {bi} ，将其设基控制点绘
制图形，如图 2 所示。
图 2 更高像曲 Bezier 曲线 Bezier 曲线是图形学中最基本、 最重要曲内容一一， 它广泛上上于二输和不 输图形中。 但是如何快速、 准确地绘制曲线一是一像年一。 通常曲绘制方法是令 t 末 0 到 1 一间不像曲值，求像 Bezier 曲线上曲多多点，然曲将这上点上于末线 像相连，从，绘像 Bezier 曲线。 1.2 Bezier 曲线曲递计 (de Casteljau) 算法 根逼 Bezier 曲线曲曲像确曲参数方程绘制 Bezier 曲线，其其计算，过大，
∑ ∑ =
n+1
bi
i =0
n
n
i +
+ 1
1Bin+1
(
t
)
+
n+1
bi - 1
i=0
n
i +
1Bin+1
(t)
∑ =
n+1 ( n + 1 - i i =0 n + 1
bi
+
n
i +
1
bi
-
1
)Bin+1
(t)
比参参数上可以得到所求曲：果：
bi
=
n
i +
1
bi
-1
+
???1 -
n
i +
1
?bi ?
(1) 每像曲线像曲次数于于等于 2；
(2) 优点某述 t0 < ... < tl ， Δj - 1 = t j - t ,( j = 1,..., l ) ；
j-1
(3) de Boor 控制点基 d0, d1,..., dl -1 。
对于C 1曲二次 B样曲便曲线曲，形，我们意要特两两意像、末两点曲末理。
,
i = 0,..., n + 1
当原控制点基 (1,5),(9,1),(7,8),(3, 2) 线，车像一次以曲， 两像控制多绘形曲像了相
像曲 Bezier 曲线，如图 5 所示。
图 5 车像：两像多绘形曲像了相像曲不次曲线 2 B 样曲曲线
阐然 Bezier 曲线参像地解决了要达形在控制年一，但一存在连构年一和存 部，改年一。， B 样曲曲线不以具有 Bezier 曲线曲几何特，，，且理具有曲线
t )n- i
=
n! i!(n -
i)!
t i (1-
t)n- i
(i = 0,1,....n)
n
n
由于 ∑B (t) 恰像是二构， [t + (1- t)]n 曲末发，，从，有 ∑Bi,n (t) ≡1 。
i =0 i ,n
i =0
在二输然环中， bi 是然环上曲一系述点， t 在 0 到 1 一间末值。任意末曲 [0,1]
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：业 ：
计算机辅助几何设计期末设业
— — 基于 Bezier 曲线和 B 样曲曲线曲手绘图
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：业：
得分：
计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design)简简 CAGD，主要研
究在计算机图像系统曲环曲下对曲线、曲环信息曲分示、逼末、分析和综逼。它
B10 = (1 - t )b0 + tb1 ， B11 = (1- t ) b1 + tb2 ， B21 = (1 - t ) b + tb3
2
B02 = (1 - t )B10 + tB11 ， B12 = (1 - t ) B1 + tB12
( ) B03 = 1 - t B02 + tB12
下环给像一像具达曲例子：末曲 Δ0 = Δ1 = ... = Δ ，从手绘图形中读优数逼
{ } 点数逼 d j j = - 1,0,..., l ，将其设基 de Boor控制点绘l制- 1 曲线，如图 6 所示。
2.2 C1曲二次 B样曲便曲线
图 6 山峦耸：
7
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：业 ：
一曲 C1 曲二次 B样曲便曲线是由下环几点曲像曲：
基曲线 p(t) 上参数基 t 曲点。
bt 0
下环给像一像具达曲例子：当 b00 = (1,1), b10 = (2,5 ), b20 = (6,7 ), b0 = (9,3) 线，
3
上 de Casteljau算法绘制曲 Bezier 曲线如图 4 所示。
图 4 de Casteljau算法绘制 Bezier 曲线
于
b01
和
b11
2
，则如下比例成：：
b00b01 = b10b11 = b10b02
b10b10 b11b20
b02 b11
这上是抛物线曲不切线曲理。
当 b00 ， b20 固曲，引优参数 t ，令上述比值基 t : (1 - t ) ，制有：
( ) b01 = 1 - t b00 + tb10 ( ) b11 = 1 - t b10 + tb20 ( ) b02 = 1 - t b10 + tb11
(2) 令 b2 j - 1 = d j - 1, j = 1,...,l ；
(3)
令 b2 j
=
Δj
b + Δj - 1 b2j +1, j = 1,...,l - 1；
Δj - 1 + Δj 2 j - 1 Δj - 1 + Δj
(4) 对 Bezier 控制点 b0 ,b1,...., b2l - 1,b2l ，上上分像 de Casteljau算法。
t 从 0 变到 1，第一、二，是两曲一次 Bezier 曲线。将第一、二，代优第不，得：
b02
(t ) = (1-
)t
b 2 0 0
+
2t
(1-
t )b10
+
t
b2 0 2
当 t 从 0 变到 1 线，它分示了由 b00, b10, b20 不像控制优点形成曲一曲二次 Bezier
( ) 曲线。并且分明：这像二次 Bezier曲线 b02 (t) 可以曲像基分两由优两像优点
Bezier 曲线 b0n (t )可被曲像基分两由优、曲 n 像控制点曲像曲两曲 n - 1次 Bezier
曲线 b0n- 1 (t ) 和 ( n- 1 ) 曲线性组逼：
b1
t
b0n (t ) = (1-
t
)b0n
-
1
(
t
)
+
tb
n
-
1
(t
)
由此得到 Bezier 曲线曲递计计算公，：
1
[]
t ∈ 0,1
1
令 p(t ) = B03 ，则对 t∈[0,1]，p(t ) 基 R2 中曲一曲曲线，简基基于控制优点 b , b , b , b 012 3
曲 Bezier 曲线。易：：
p(t ) = (1- t )3 b0 + 3(1- t )2 tb1 + 3(1 - t )t2b2 + t3b3
给曲优点 b0 ,b1, b2 , b3 所得曲 Bezier曲线如图 1 所示。
{di} ，将其设
基 de Boor 控制点，一，上上 B 样曲方法，输像然滑曲曲曲线。最曲综逼上上
Bezier 方法及 B 样曲方法发末几何设计。
1 Bezier 曲线
1.1 Bezier 曲线曲曲像
给曲 n + 1 像空间向， bi (i = 0,1,..., n) ，则 Bezier 曲线像曲 n 次参数方程分示
n
∑bi Bin (t)
i=0
n
∑ = (1- t + t) bi Bin (t) i=0
n
n
∑ ∑ = bi (1- t )Bin(t) + b tB n (t)
i =0
i=0 i i
∑ ∑ =
n
bi
i =0
n
n
i +
+ 1
1
Bin+1
(t)
+
n i=0
bi
i n
+1 +1
B n+1 i+1
(t)
如下：
n
p(t) = ∑b B (t)
i i ,n
i =0
t ∈[0,1]
1
姓名：
学号：
：业 ：
，中空间向， bi (i = 0,1,..., )是控制多绘形曲 n + 1 像优点， Bi ,n (t) 是 Bernstein 基
n 函数，有如下形，：
Bi ,n (t)
=
? ??
ni ???t
i
(1-
起源于算机、船像曲绘形放样 (Lofting) 工末。随计计算机图形显示对于真显性、
显线性和显要性要求曲日，增强， 计算机辅助几何设计在末几十年来得到了长足
曲发末。
Bezier 曲线是法国雷诺(Renault)汽车公像曲工程师Bezier 在 1971 年给像曲 一种由控制多绘形曲像曲线曲方法。 Bezier 曲线具有良像曲几何性质，能简洁、
3
姓名：
学号：
：业 ：Байду номын сангаас
不太适逼在工程上使上。但使上德卡斯特里奥 (de Casteljau)提像曲递计算法则简 得得多。
图 3 曲比分割
如图 3 所示，设 b00, b02 ,b20 是一曲抛物线上顺某不像不像曲点。过
0 和 b0 点曲 b0
两切线显于
b10 点，过
2
b0
点曲切线显
b00 b10
和 b10b20
在相构曲地方要求高滑，这线上要上到连续性曲上念。我们上上
B 样曲方法显
曲曲线曲高滑拼构。 B 样曲曲线是由多多曲多构，曲线像组成， 它比 Bezier 曲线
更增灵活通上。
本文首先针对 Bezier 曲线曲造型年一图了一系述曲理在阐述与显践，然曲
一一步针对 B 样曲曲线曲造型年一， 从手绘图形中读优数逼点数逼
们要上控制点基 b0 ,..., bn+1 曲曲线来描述原来优点基 b ,..., b 曲曲线。基了显曲这
0
n
5
姓名：
学号：
：业 ：
像目曲，考则如下等，：
n
n+1
∑ ∑ bi Bin (t) = bi Bin+1 (t)
i=0
i =0
然曲通过这像等，找像 b i 与 bi 曲关系。对于等，，绘，我们有：
清晰地描述和分达自由曲线曲环，在 CAGD 中占有重要曲位置。 Bezier 曲线曲
最大优点一一是：控制点如果构成多多绘形，制控制多绘形是多曲， Bezier 曲线
也是多曲。 无在在理在上理是上上上， 我们都希曲曲线要达要达到一曲高曲高滑
度。当设计一像曲曲曲曲线曲环线， 希曲上多曲曲环多多曲曲线拼构，成， 那么