2015年高考第一轮复习数学：13.1 数学归纳法

※第十三章 极限

●网络体系总览

数学归纳法 应用

极限

数列的极限 函数的极限

四则运算法则

无穷等

比数列

函数的连续性

●考点目标定位

1.数学归纳法、极限 要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

（2）了解数列极限和函数极限的概念.

（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限. （4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

●复习方略指南

极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.

13.1 数学归纳法

●知识梳理

1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.

2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.

特别提示

（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;

（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基 1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n

21

（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等于

A.

1

21

+n B.

2

21

+n C.121

+n +2

21+n

D.

1

21

+n －

2

21

+n 解析：f （n +1）－f （n ）=

21+n +31+n +…+n 21 +1

21

+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +2

21

+n －

11+n =121+n －2

21+n . 答案：D

2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为

A .

B .D .

C .12

345678

9

1011

12

…

解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.

答案：D

3.凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n +1边形有对角线条数f （n +1）为

A.f （n ）+n +1

B.f （n ）+n

C.f （n ）+n －1

D.f （n ）+n －2

解析：由n 边形到n +1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的 n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线.

答案：C

4.用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为

A.2k +1

B.2（2k +1）

C.1

1

2++k k D.

1

3

2++k k 解析：当n =1时，显然成立. 当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ）， 当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +1）（k +2）·…·（k+k ）

1

)

22)(12(+++k k k =（k +1）

（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1）.

答案：B

5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.

解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n －1）+1.

答案：n2－n+1

●典例剖析

【例1】比较2n与n2的大小（n∈N *）.

剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.

解：当n=1时，21＞12，

当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，

当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，

猜想：当n≥5时，2n＞n2.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=5时，25＞52成立.

（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，

那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C0

k +C1

k

+C1-k

k

=k2+2k+1=

（k+1）2.

∴当n=k+1时，2n＞n2.

由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.

综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2.

评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.

深化拓展

当n≥5时，要证2n＞n2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）

n=C0

n +C1

n

+C2

n

+…+C2-n

n

+C1-n

n

+C n

n

＞

1+n+

2)1

(-

n

n

+

2)1

(-

n

n

=1+n+n2－n＞n2.

【例2】是否存在常数a、b、c使等式1·（n2－12）+2（n2－22）+…+n（n2－n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.

剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立.

解：分别用n=1，2，3代入解方程组