【数学】吉林省长春市九台区2019-2020学年高二下学期期中考试(理)
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19.已知函数 f x x3 ax 2 bx c 图象上的点 p1, f 1处的切线方程为
y 3x 1.
⑴若函数 f x 在 x=-2 处有极值，求 f x 的表达式； ⑵若函数 f x 在区间[-2,0]上单调递增，求实数 b 的取值范围.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
答案
B
B
A
A
B
C
B
C
C
A
C
二、填空题
12.【答案】 1+i 13.【答案】 -12 14.【答案】 k=1 15.【答案】 10 三、解答题
16. 【解析】
z
(1 i)2 3(1 i) 2i
2i 3(1 i) 2i
3i 2i
(3 i)(2 i) (2 i)(2 i)
1 i
A． 24
B．72
C. 144
D． 288
二、填空题（每题五分）
12.复数 z 满足： z(2 i) 3 i (i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z =
13.若函数的的导数为 f x ，且 f x 2 f 2x x3 ,则f 2
14.若 2 (3x2＋k)dx＝10 ，则 k= 0
C1 1
21
A22
种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子中，有定种投放方法，由分步乘法计数原理知，共有
C
2 4
C
C1 1
21
A22
A43
144 种方法．
(2)1
个球的编号与盒子的编号相同的选法有
C
1 4
种，当
1
个球与
1
个盒子编号相同时，
其余 3 个球的投放方法有 2 种，故共有 C41 2 8 种方法．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次，
甲说“我不是第一名”；乙说“丁是第一名”；丙说“乙是第一名”；丁说“我不是第一名”。成绩
公布后，发现只有一位同学说的是正确的，则获得第一名的同学是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
11.有 6 个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ）
11
1
k
（2）假设当 n=k(k∈N*)时等式成立，即有 1 3 + 3 5 +…+ (2k 1)(2k 1) = 2k 1 ，
11
1
1
则当 n=k+1 时， 1 3 + 3 5 +…+ (2k 1)(2k 1) + (2k 1)(2k 3)
k
1
k(2k 3) 1 2k2 3k 1 k 1
k 1
= 2k 1 + (2k 1)(2k 3) = (2k 1)(2k 3) = (2k 1)(2k 3) = 2k 3 = 2(k 1） 1 ，
所以当 n=k+1 时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切 n∈N*等式都成立．
18.【解析】
(1)先将四个小球分成三组，有
C
42C
．
将 z＝1-i 代入 z2 az b 1 i ，得
(1 i)2 a(1 i) b 1 i ， (a b) (a 2)i 1 i ，
a b 1，
a 3，
所以 (a 2) 1， 解得 b 4.
17. 【解析】
11
11
（1）当 n=1 时，左边= 1 3 = 3 ，右边= 2 1 1 = 3 ，左边=右边，所以等式成立．
A． 2
B． 1
C．0
D．1
5.函数的 f (x) 1 x2 ln x 单调递减区间为 ( )
A．（-∞，0）
2
B．(1，＋∞)
C．(0，1)
D．（0，＋∞）
6.下列计算错．误．的是（ ）
A.
π sin xdx 0
π
B. 1 1 x2 dx
0
4
C.
12dx 1
0
D.
1 x2dx 2
15.在二项式
x2
1 x2
5
的展开式中，含
x2
的项的系数是
三、解答题(第 16 题 10 分，第 17 题 11 分，18、19 题 12 分)
16.设复数 z 1 i2 31 i ，若 z 2 az b 1 i ，求实数 a、b 的值．
2i
17.用数学归纳法证明： n∈N*时， 1 1 ......
∴ f (x) x3 2x2 4x 3
a
b 2
⑵由⑴可知：
c
1
b 2
，∴
f
(x)
x3
b 2
x2
bx
1
b 2
，∴
f
'
x
3x2
bx
b
∵
函数 f (x) 在区间[2,0] 上单调递增，即 f x 0 在区间[2,0] 上恒成立，
f ' 2 0
∴
f
'
0
0
，解得： b 4 。
1
n
13 35
(2n 1) (2n 1) 2n 1
18．将 4 个编号为 1、2、3、4 的小球放人编号为 1、2、3、4 的盒子中． (1)恰好有一个空盒，有多少种放法? (2)每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法? (3)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法?
n n＋1 n＋2
2n
时不等式左端的变化是( )．
A．增加了 1 这一项 2k＋1
B．增加了 1 和 1 两项 C．增加了 1 和 1
2k＋1 2k＋2
2k＋1 2k＋2
两项，同时减少了1这一项 k
D．以上都不对
9.在二项式 x 2a 4 的展开式中，其常数项是 216，则 a 的值为（ ） x
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，有
C
3 4
种选法，再从三个盒子中选出一个盒子放两
个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的，即没有顺序，由分步乘法计数原理知，共
有
C
C3 1
43
12 种方法．
19. 【解析】
⑴∵点 P(1, f (1)) 在切线方程 y 3x 1 上，∴ f 1 2 f ' 1 2a b 3 3， ∵函数 f (x) 在 x 2 处有极值，∴ f ' 2 0 ，可得： a 2, b 4, c 3
吉林省长春市九台区 2019-2020 学年
高二下学期期中考试（理）
一、选择题（每题 5 分）
1.已知复数 z 满足 z 1 i ( i 为虚数单位)，则|z|等于（ ） 1 i
1 A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
2.有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的
1
1 x2dx
0
7.已知函数 f (x) x3 ax2 (a 6)x 3 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )
A． 3, 6
, 3 (6, )
B.
3, 6
, 36,
C.
D.
8．利用数学归纳法证明1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <1(n∈N*，且 n≥2)时，第二步由 k 到 k＋1
所有直线”.已知直线 b // 平面 ，直线 a 平面 ，则直线 b // 直线 a ”．你认为这个推理
（）
A．结论正确 B．大前提错误 C．小前提错误 D．推理形式错误
3. f x ax 3 x 2 2 ，若 f 1 5 ，则 a 的值等于（ ）
A.1
B.2
C. 11
来自百度文库
D.3
5
4.若定义在 R 上的函数 y f x在 x=2 处的切线方程是 y x 1 ，则 f 2 f 2 （ ）
y 3x 1.
⑴若函数 f x 在 x=-2 处有极值，求 f x 的表达式； ⑵若函数 f x 在区间[-2,0]上单调递增，求实数 b 的取值范围.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
答案
B
B
A
A
B
C
B
C
C
A
C
二、填空题
12.【答案】 1+i 13.【答案】 -12 14.【答案】 k=1 15.【答案】 10 三、解答题
16. 【解析】
z
(1 i)2 3(1 i) 2i
2i 3(1 i) 2i
3i 2i
(3 i)(2 i) (2 i)(2 i)
1 i
A． 24
B．72
C. 144
D． 288
二、填空题（每题五分）
12.复数 z 满足： z(2 i) 3 i (i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z =
13.若函数的的导数为 f x ，且 f x 2 f 2x x3 ,则f 2
14.若 2 (3x2＋k)dx＝10 ，则 k= 0
C1 1
21
A22
种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子中，有定种投放方法，由分步乘法计数原理知，共有
C
2 4
C
C1 1
21
A22
A43
144 种方法．
(2)1
个球的编号与盒子的编号相同的选法有
C
1 4
种，当
1
个球与
1
个盒子编号相同时，
其余 3 个球的投放方法有 2 种，故共有 C41 2 8 种方法．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次，
甲说“我不是第一名”；乙说“丁是第一名”；丙说“乙是第一名”；丁说“我不是第一名”。成绩
公布后，发现只有一位同学说的是正确的，则获得第一名的同学是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
11.有 6 个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ）
11
1
k
（2）假设当 n=k(k∈N*)时等式成立，即有 1 3 + 3 5 +…+ (2k 1)(2k 1) = 2k 1 ，
11
1
1
则当 n=k+1 时， 1 3 + 3 5 +…+ (2k 1)(2k 1) + (2k 1)(2k 3)
k
1
k(2k 3) 1 2k2 3k 1 k 1
k 1
= 2k 1 + (2k 1)(2k 3) = (2k 1)(2k 3) = (2k 1)(2k 3) = 2k 3 = 2(k 1） 1 ，
所以当 n=k+1 时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切 n∈N*等式都成立．
18.【解析】
(1)先将四个小球分成三组，有
C
42C
．
将 z＝1-i 代入 z2 az b 1 i ，得
(1 i)2 a(1 i) b 1 i ， (a b) (a 2)i 1 i ，
a b 1，
a 3，
所以 (a 2) 1， 解得 b 4.
17. 【解析】
11
11
（1）当 n=1 时，左边= 1 3 = 3 ，右边= 2 1 1 = 3 ，左边=右边，所以等式成立．
A． 2
B． 1
C．0
D．1
5.函数的 f (x) 1 x2 ln x 单调递减区间为 ( )
A．（-∞，0）
2
B．(1，＋∞)
C．(0，1)
D．（0，＋∞）
6.下列计算错．误．的是（ ）
A.
π sin xdx 0
π
B. 1 1 x2 dx
0
4
C.
12dx 1
0
D.
1 x2dx 2
15.在二项式
x2
1 x2
5
的展开式中，含
x2
的项的系数是
三、解答题(第 16 题 10 分，第 17 题 11 分，18、19 题 12 分)
16.设复数 z 1 i2 31 i ，若 z 2 az b 1 i ，求实数 a、b 的值．
2i
17.用数学归纳法证明： n∈N*时， 1 1 ......
∴ f (x) x3 2x2 4x 3
a
b 2
⑵由⑴可知：
c
1
b 2
，∴
f
(x)
x3
b 2
x2
bx
1
b 2
，∴
f
'
x
3x2
bx
b
∵
函数 f (x) 在区间[2,0] 上单调递增，即 f x 0 在区间[2,0] 上恒成立，
f ' 2 0
∴
f
'
0
0
，解得： b 4 。
1
n
13 35
(2n 1) (2n 1) 2n 1
18．将 4 个编号为 1、2、3、4 的小球放人编号为 1、2、3、4 的盒子中． (1)恰好有一个空盒，有多少种放法? (2)每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法? (3)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法?
n n＋1 n＋2
2n
时不等式左端的变化是( )．
A．增加了 1 这一项 2k＋1
B．增加了 1 和 1 两项 C．增加了 1 和 1
2k＋1 2k＋2
2k＋1 2k＋2
两项，同时减少了1这一项 k
D．以上都不对
9.在二项式 x 2a 4 的展开式中，其常数项是 216，则 a 的值为（ ） x
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，有
C
3 4
种选法，再从三个盒子中选出一个盒子放两
个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的，即没有顺序，由分步乘法计数原理知，共
有
C
C3 1
43
12 种方法．
19. 【解析】
⑴∵点 P(1, f (1)) 在切线方程 y 3x 1 上，∴ f 1 2 f ' 1 2a b 3 3， ∵函数 f (x) 在 x 2 处有极值，∴ f ' 2 0 ，可得： a 2, b 4, c 3
吉林省长春市九台区 2019-2020 学年
高二下学期期中考试（理）
一、选择题（每题 5 分）
1.已知复数 z 满足 z 1 i ( i 为虚数单位)，则|z|等于（ ） 1 i
1 A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
2.有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的
1
1 x2dx
0
7.已知函数 f (x) x3 ax2 (a 6)x 3 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )
A． 3, 6
, 3 (6, )
B.
3, 6
, 36,
C.
D.
8．利用数学归纳法证明1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <1(n∈N*，且 n≥2)时，第二步由 k 到 k＋1
所有直线”.已知直线 b // 平面 ，直线 a 平面 ，则直线 b // 直线 a ”．你认为这个推理
（）
A．结论正确 B．大前提错误 C．小前提错误 D．推理形式错误
3. f x ax 3 x 2 2 ，若 f 1 5 ，则 a 的值等于（ ）
A.1
B.2
C. 11
来自百度文库
D.3
5
4.若定义在 R 上的函数 y f x在 x=2 处的切线方程是 y x 1 ，则 f 2 f 2 （ ）