第1章 质点运动学与牛顿定律

第1章质点运动学与牛顿定律

一基本要求

1 了解描述运动的三个必要条件：参考系（坐标系）、物理模型（质点）、初始条件。

2 理解描述质点运动的基本物理量：位置矢量、位移、速度、加速度的定义和性质，明确这些物理量的矢量性、相对性和速度、加速度的瞬时性。

3掌握质点运动学的两类问题：用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速度；用积分的方法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程。

4掌握圆周运动的角量表示、角量描述以及角量和线量之间的关系。

5了解相对运动的有关概念，并学会应用伽利略速度变换式进行质点相对运动的简单计算。

6理解牛顿运动定律的内容和实质，明确牛顿运动定律的使用条件。

7掌握用隔离法解质点受力和解题的基本方法，能用微积分求解变力作用下简单的质点动力学问题。

8了解惯性力的概念和特点。

二基本概念

1 参考系与坐标系

参考系：用以描写物体运动所选用的另一物体。

坐标系：固定在参考系上以确定物体相对于参考物的位置。常用的坐标系有直角坐标系和自然坐标系。

2 质点：几何线度可以忽略的物体，任何物体可看成许多质点的集合。

可以将物体简化为质点的两种情况：

（1）物体不变形，不作转动时（此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点的运动可以代表所有点的运动）。

（2）物体本身线度和它的活动范围相比小很多（此时物体的变形及转动显得并不重要）。

3 位置矢量r ：用以确定质点位置的矢量，简称位矢，直角坐标系中表示为

x y z =++r i j k

。位置矢量r 与时间ｔ的关系又称为质点的运动学方程 。

4 位移∆r 与路程s ∆

位移∆r ：表示质点位矢的变化，直角坐标系中表示为x y z ∆=∆+∆+∆r i j k 路程s ∆： 表示质点经过轨迹的长度。 5 速度υ与速率υ 平均速度 ()()

t t t t

t

∆+∆-==

∆∆r r r υ

速度υ x y z d dx dy dz dt dt dt

dt

==+

+

=++r υi j k i j k

υυυ

平均速率 s t

υ∆=

∆

速率 d ds dt

dt

υ===

r υ

6 加速度a

平均加速度 ()()

t t t t

t

∆+∆-=

=

∆∆υυυa

加速度 0

lim

t d t

dt

∆→∆==

∆υυa

在直角坐标系中 y x z x y z d d d a a a dt

dt

dt

υυυ=

++

=++a i j k i j k

在自然坐标系中 2

d d dt

dt

υυ

ρ

=

=

+

=+υτn τn

a e e a a

7 角坐标θ与角位移Δθ

角坐标θ：表示质点到参考轴端点的连线与参考轴的夹角。 角位移Δθ：表示质点角坐标的变化。 8 角速度ω和角加速度α 角速度 0

lim

t d t

dt

∆→∆==

∆θθω，

角加速度 2

20

lim

t d d t

dt

dt

∆→∆==

=∆ωωθα

9 质点做圆周运动的角量与线量关系：

ds R d R dt dt

θυω

=

== ， d R d a R dt

dt

τυωα

=

=

= ，2

2

n a R R

υ

ω=

=

10力：物体之间的相互作用。力学中常见的有万有引力、弹性力及摩擦力等 。 11惯性系和非惯性系 凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。

三 基本规律

1伽利略速度变换式 '=+υυu

即质点相对基本参考系的绝对速度υ，等于运动参考系相对基本参考系的牵连速度u 与质点相对运动参考系的相对速度'υ之和。

2牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

3牛顿第二定律 动量为p 的物体，在合外力1

n

i =∑i

F =F 的作用下，其动量随时

间的变化率应当等于作用于物体的合外力，即

()d d m dt dt

=

=υp F

4牛顿第三定律 两个物体之间的作用力F 和反作用力'F ，沿同一直线，大小相

等，方向相反，分别作用在两个物体上。

5力学相对性原理 对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式,在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系是否相对其它惯性系运动。 四 难点解析与问题讨论 １ 描述运动物理量的矢量性

质点的运动常常随着大小和方向的变化而变化，因此描述质点运动的物理量———位置矢量、位移、速度、加速度都是矢量。它们的运算遵循矢量的运算法则。并且要注意位移和路程、平均速度和平均速率的区别 。

问题1.１ 在曲线运动中，

∆r

与r ∆是否相同？

∆υ

与υ∆是否相同？d d t r

与 d r

d t

有何区别？d dt υ

和d d t υ

有何区别？请举例说明。

解 本题考察的是关于位移、速度、加速度的矢量性概念，针对学生对矢量符号容易漏掉或理解不深的问题展开的。 （1）

∆r

与r ∆不相同，∆r 是两矢量之差，即21∆=-r r r ，而r ∆是两个矢量

的模之差 ， 即 21r ∆=-r r ， 由图1.1（ａ）可见，两者是不同的概念 。 （2）同理

∆υ

与 υ∆也不相同 ， 由图1.1（ｂ）可见 。

（3） d d t

r

表示质点运动的速度，是矢量 ，有大小和方向 ； 而d r

d t 是矢径大小的

变化率，只有大小，没有方向 。

图1.1