普通物理学课件 第八章 恒定电流的磁场

S⊥
B
磁感应线 ——磁感应线密集处磁场强；磁感应线稀疏处磁场弱。
2.磁通量(magnetic flux)
(1)磁通量的定义：穿过磁场中任一给定曲面的磁感应线
K 总条数。 n (2)磁通量的计算：
均匀场中的平面：K K Φm = BS cosθ (B, S )
θ B
非均匀场中的曲面：
对所取微元，磁通量：G G dΦ = BdS cosθ = B ⋅ dS
π 2
β2
=
π 2
Idl α L
r
B = μ0I 2πa
β2
β1 a β
GG ddBB P
G
G各电流元的磁场方向不相同，可分解为 d B⊥G
和 dB//，由于圆电流具G有对称性，其电流元的 d B⊥
逐对抵消，所以P点 B的大小为G
G
I dl
r d B⊥ d B
R
I
θ
xθ
G
O
P d B//
∫ ∫ ∫ B =
×
G r
4π r3
所以
B=
μ0 IR 2
2( R 2
+
x2
)3 2
=
μ0 IS
2π
(R2
+
x
2
)
3 2
讨论：
（1）在圆心处 x = 0
B = μ 0I 2R
（2）在远离线圈处 x >> R, x ≈ r
载流线圈 的磁矩
若线圈有N匝
B = μ 0 IS = μ 0 IS 2π x3 2π r3
引入
K pm
(4)地球本身为一个大磁体， 地球磁体N、S极与地理南北极不 是同一点。存在磁偏角。
定义：磁感应强度 大小： B = Fm
qv
y
GG Bv G
+q
Fm x
z
方向：小磁针北极的指向 qv，B和F三者间满足右手螺旋法则
单位：T（特斯拉）, Gs（高斯） 1T = 104 Gs
KK
BK = BK(x, y, z,t) ——一般磁场
P
= −μ0I
结果为负值！
GG
∫ ( ) 可认为电流为-I ，则结果可写为
B• dl
L
= μ0
−I
矢量式：
G B
=
μ0
G qv
×
K r
4π r3
其方向G根据右手G 螺G
G
旋法则， B 垂直 v 、rG
B
组成G的平G 面。q为正，B
r
为 vG×r 的G 方G向；q为
v ×r 负，B 与
相反。
的方向 +q
I = dq dt
单位： A(安培)。 方向：正电荷运动的方向
1819年,奥斯特实验首次发
现了电流与磁铁间有力的作用，
逐渐揭开了磁现象与电现象的内
在联系。
I
N S
1822年，安培提出分子电流假设:磁现象的电本质 ——运动的电荷产生磁场。
一些磁场的大小：
人体磁场极弱， 如心电激发磁场 约3×10-10T。测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图像。
×
K r
r3
Biot-Savart定 律的微分形式
∫ ∫ G
B=
G dB
=
μ0
L
4π
GG Idl ×r L r3
Biot-Savart定 律的积分形式
3. 磁感应线的性质
与电流套链
I
闭合曲线(磁单极子不存在？)
互不相交
方向与电流成右手螺旋关系
I B
4. 与静电场电场线比较 相同点：描述方法相同、不相交 不同点：静电场是有源场，磁场为无源的涡旋场
流G元d B在G =P点4μπ磁0 I感d应rlG3×强rG度dB为
dB方向根据右手螺旋定则 确定。
由于直导G线上所有电流元 在该点 dB方向相同
α Idl L
r
aβ
G
dB
P
(2) 导 线 半 无 限 长 ， 场 点 与 一
端的连线垂直于导线 B = μ0I 4πa
β1 = 0
β2
=
π 2
(3)P点位于导线延长线上，B=0
G v
垂直于纸面向外
G B
×
r
−q
G v
垂直于纸面向内
二、安培环路定理 G
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B矢量沿任 一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么? 1. 长直电流的磁场
I
如果闭合曲线不在垂直于导线
的平面内：
GG G G G
∫ ∫ B • dl L
=
L B ⋅ (d l⊥ + d l// )
L
I dl⊥ dl
dl/ /
∫ ∫ =
B
L
cos
90 D
dl⊥
+
B
L
cos θ
dl//
= 0 + ∫LBr dα
∫= μ 2 π 0 I r d α 0 2π r
= μ0I
结果一样！
4
第八章 恒定电流的磁场
环路不包围电流
Q
I
α
L2
L1
O
P
v∫ ∫ ∫ G G
KG
KG
B • dl = B ⋅d l + B ⋅ d l
LdB//
=
dB sinθ
L
= μ0 4π
L
Id r2
l
sin
θ
∫ = μ0I sinθ 4πr 2
2 πR
dl
0
=
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
例题8-3 载流直螺线管内部一点的磁场 已知：电流I，长为L，匝数N，求内部一点的磁场
K L → ∞时， B=μ0nI
其中 n = N 为单位长度上的匝数 L
Gdl • cGos θ = rdα
∫ ∫ ∫ B • dl = B cos θdl = Br dα
L
L
L
∫ ∫ =
μ 2 π 0
I rdα
= μ0I
2π dα
0 2π r
2π 0
= μ0I
单位时间内通过横截面S的电荷量即为电流强度I:
I = qnvS
电流元在P点产生的磁感应强度
dB = μ0 qnvSdl sinθ
=
G ISen
K pm
=
G NISen
G B=
μ0
K pm
2π r3
B
=
μ0I 4πa
(sin
β2
−
sin
β1 )
注(1) β1, β2 分别是直电流I始末端和场点间连线与 垂线的夹角。
(2) β1, β2 的正负：由垂线转向连线顺电流为
正，逆电流为负。
I
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
β1
=
−
而磁场的磁感线无头无尾，总是闭合的，通过 任意闭合曲面的通量为零，所以磁场称作无源场。
如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
GG
∫ ∫ B • dl = B cos( π − θ ) d l
L
L
= ∫L− B cos θ dl ∫ = − 2π μ 0 I d α
0 2π
G B
G
I O
B
dα r
L
G dl
L
r
∫ = μ0 β2 I cos β d β
4π β1 a
=
μ0I 4πa
(sin
β2
−
sin
β1 )
aβ
G
dB
P
例题8-2 载流圆线圈轴线上的磁场: 设有圆形线圈L， 半径为R，通以电流I。求轴线上一点磁感应强度。
I dl
R
I
O
G
r
dB
xθ P
解： 在场点P的磁感强度大小为
G dB
=
μ0
I
d
G l
} ⇒ ∫ Bx = dBx
∫ By = dBy
GGGG B = Bxi + By j + Bzk
∫ Bz = dBz
2
第八章 恒定电流的磁场
例题8-1 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直
导线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的P点的
磁感应强度。
G
解：任取电流元 Idl
I
据毕奥-萨伐尔定律，此G电
恒定电流：电流的大小和方向不随时间而变化。
2.电流密度 精确描述导体中电流分布情况，是空
间位置的矢量函数。 电流密度矢量定义：
j = dI dS
单位：Ａ／ｍ２
方向与该点正电荷运动方向一致；
大小等于垂直于电流方向的单位面积的电流。
电流强度与电流密度的关系为
GG
GG
I = ∫∫ j ⋅ endS = ∫∫ j ⋅ dS
因此，通过任何闭合曲面的磁Байду номын сангаас量为零。
GG
∫∫SB ⋅ dS = 0
高斯定理的 积分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
在垂直于导线的平面内任
作的环路上取一点，到电流的 距离为r，磁感应强度的大小：
B = μ0I 2πr
由几何关系得
G B
G
I
B
O dα
θG
r L
dl P
3
第八章 恒定电流的磁场
四、 运动电荷的磁场
电荷运动
形成
电流
激发
激发
磁场
G 设电流元 I d l，横截面积S，单位体积内有n个 定向运动的正电荷，每个电荷电量为q，定向速度 为v。
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面，
穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同，
S = πR2
GG
B = ∫ d B 矢量积分可变为标量积分
∫ ∫ L
B=
d B = μ0
I d l sin α
L
4π L r2
由几何关系有：
I
sinα = cos β r = a sec β
l = a tan β dl = asec2 β d β
Idl
α
∫ B = μ0 I d l sinα
4π L r2
（3）在磁场中的P点处，电荷沿与上述特定方向 垂 直 的 方 向 运 动 时 所 受 到 的 磁 力 最 大 ( 记 为 Fm) ， 并且Fm与qv的比值是与q、v无关的确定值。
五 了解磁场力的功。
六 理解有磁介质时的安培环路定理，了解物 质的磁性、磁化现象。
§8-2 磁感应强度 一、 基本磁现象
(1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。任一磁 铁总是两极同时存在。 (3)同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。
第八章 恒定电流的磁场
第八章 教学基本要求
一 理解恒定电流、电流密度和电动势概念。 二 掌握磁感应强度的概念，掌握利用叠加原 理分析、求解磁感应强度的基本方法。 三 理解毕奥−萨伐尔定律。掌握用恒定电流磁 场的安培环路定理求磁感应强度的条件和方法。 四 理解安培定律和洛伦兹力。会分析磁场对 载流导线和线圈的作用，带电粒子在电磁场中所受 作用及其运动。
地球磁场约 5×10-5T。 超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T。
大型电磁铁磁 场可大于2T。
1
第八章 恒定电流的磁场
三、磁感应线和磁通量 1. 磁感线——表示方法：
G ⑴磁感应线上任意一点的切向代表该点 B的方向；
B G
⑵垂直通过某点单位面积上的磁感应线数目等于该点 B 的大小。
GG IdIldGlG ddBB
2. 常见磁感线分布：
I I
直电流
圆电流
I
I
螺线管电流
注意: (1)磁通量单位： Wb(韦伯) (2)对闭合曲面： 面积元的法线正方向：垂直向外 B线穿出： + B线穿入： -
例：如图，已知B，R，求通过圆柱面的磁通量
R
B
磁感应强度的矢量式：
G dB
=
μ0 4π
G Idl
4π
r2
设电流元内共有dN个以速度v运动的带电粒子：
d N = nS d l
每个带电量为q的粒子以速度v通过电流元所 在位置时，在P点产生的磁感应强度大小为
B=
dB dN
=
μ0 4π
qv sin θ r2
激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或 尾闾，所以静电场是属于发散式的场，通过一闭合 曲面的电通量可以不为零，可称作有源场；
BK= BK(x, y, z) ——恒定磁场
B = B0
——均匀磁场
§8-1 恒定电流
一、电流 电流密度
1. 电流: 电荷的定向运动。 形成条件 (导体内)：
导体内有可以自由运动的电荷(载流子)； 导体内要维持一个电场。 载流子：电荷的携带者，如自由电子（金属导体）
空穴（半导体)、正负离子（电解液） 电流强度：单位时间通过导体某一横截面的电量。
I
α Idl
L r β2
β1 a
G dB
P
B = μ0I sinθ 2πR 4πr 2
I dl r
R
I
x
O
G d B⊥
G dB
θθG P d B//
因
r2 = R2 + x2;
sin θ
=
R r
=
(R2
R
+
x2
)
1 2
所以
B=
μ0 IR 2 2(R2 + x2 )32
=
μ0 2π
(R2
IS
+
x2
)
3 2
§8-3 毕奥－萨伐尔定律
一、毕奥－萨伐尔（Biot-Savart）定律
1.电流元的磁场
G
K
电流元 I dl 长为dl，到场点的位矢为 r
dB ∝ Idl
K
dB ∝ 1
dB dB
∝ =
r2 sin
α
(
K Idl ,
K r)
K
Idl sinα (Idl ,
k
K r
)
dB
PG r
I
G dl
r2
三、毕奥－萨伐尔定律的应用 G 先将载流导体分G 割成许多电流元 Idl 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后按 照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点磁 感应强度的矢量和。 实际计算时要首先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式 dBx、dBy 、dBz，然后再对各分量积分。
en
dS
对整个曲面，磁通量：
GG
Φ = ∫SB ⋅ dS
dB
=
k
Idl
sin α
K (Idl ,
K r)
r2
其中 k=10-7 NA-2
令 k = μ0 , 4π
μ0 = 4π ×10−7 NA−2
dB = K
μ0 4π
Idl sinα r2
dB 的方向：
K dBK
⊥
K r
K
——满足右手螺旋关系
dB ⊥ Idl
S
S
G en
dS θ
G j
二、 磁感应强度
设带电量为q，速度为v的运动试探电荷处于磁 场中，实验发现：
（1）当运动试探电荷以同一速率v沿不同方向通 过 磁 场 中 某 点 P 时 ， 电 荷 所 受 磁 力 的 大 小 是G不 同 的，但磁力的方向却总是与电荷运动方向（v）垂 直；
（2）在磁场中的P点处存在着一个特定的方向， 当电荷沿此方向或相反方向运动时，所受到的磁力 为零，与电荷本身性质无关；