§5.5 Z变换的基本性质

收敛域:一般情况下, 收敛域:一般情况下,取二者的重叠部分 即
max(Rx1, Rh1) < z < min(Rx2 , Rh2 )
描述:两序列在时域中的卷积的 变换等效于在 域中两序列z变 变换等效于在z域中两序列 描述:两序列在时域中的卷积的z变换等效于在 域中两序列 变 换的乘积. 换的乘积. 注意:如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消, 注意:如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛 域可能扩大. 域可能扩大.
∞
n
同理
an x(n) X (az) (1)n x(n) X (z)
(Rx1 < az < Rx2 ) (Rx1 < z < Rx2 )
信号与系统
五.初值定理和终值定理
初值定理 若 则 为因果序列, x(n)为因果序列,已知 X (z) = Z [ x(n) ] = ∑x(n) zn,
n=0 ∞
信号与系统
五.初值定理和终值定理
z2 + 2z 例:已知 X (z) = 3 , , 求 x(0), x(1) 2 z + 0.5z z + 7 解: x(0) = lim X (z) = 0
z→∞
2 1+ z x(1) = lim z [ X (z) x(0)] = lim =1 z→∞ z→∞ 1 1 7 1+ 0.5 2 + 3 z z z
1n x(n) = ( ) u(n),x(1) = 0, y(1) = 2 2
方程两边取z变换 解: 方程两边取 变换
1 y 例:LTIS的差分方程为 (n) + y(n 1) = x(n) + x(n 1) 的差分方程为 2
求
y(n)
1 1 Y(z) + z Y(z) + y(1) = X (z) + z1X (z) + x(1) 2
ROC: z > max( enω0 , enω0 )
同理
sinh(nω0 )u(n)
z sh(ω0 ) z2 2z ch(ω0 ) +1
ROC: z > max( eω0 , eω0 )
信号与系统
二.位移性 位移性
原序列不变,只影响在时间轴上的位置. 原序列不变,只影响在时间轴上的位置.
x(n)
�
四.序列指数加权
若 则
Z [ x(n)] = X (z) z a x(n) X a a非零
n
(R
x1
< z < Rx2 )
z Rx1 < a < Rx2
证明: 证明:
z z Z a x(n) = ∑a x(n)z =∑x(n) =X a a n=0 n=0
n n n
∞
4
x(n 2)
x(n + 2)
4
4
1O 1 2
n
1O 1 2
n
2 1 O 1
n
若序列 x(n)的双边 变换为
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z 变换为
Z [ x(n m)] = zm X (z)
Z [ x(n)] = X (z) ,则其移位后的 z
收敛域: 收敛域:只影响 z = 0, z = ∞ 处
信号与系统
二.位移性 位移性
共求导m次 共求导 次
信号与系统
三.序列线性加权
例:求 nanu(n)的 z 变换 X (z) 解:
因为 Z anu(n) = z a , 所以
z
z>a
z d( ) z a z za nanu(n) = z z a = z Z = 2 dz (z a) (z a)2
z>a
信号与系统
所以
3 1 n 1 n y(n) = ( ) ( ) u(n) 2 2 2
信号与系统
三.序列线性加权
Z [ x(n)] = X (z)
若 则
d X (z) 1 d X ( z ) nx(n) z =z dz d z1
推广: 推广:
d n x(n) z X (z) dz
m
m
m
d d d d d z d z 表示 z d z z d z z d z z d z X (z)
信号与系统
§5.5 z变换的基本性质
信号与系统
一.线性
Z [ x(n)] = X (z) Z [ y(n)] = Y(z)
若
(R
x1
(R
< z < Rx2 )
y1
< z < Ry2 )
则
Z [ ax(n) + by(n)] = aX (z) + bY(z)
(R < z <R )
1 2
a,b为任意常数. 为任意常数.
x(0) = lim X (z)
z→∞
∞
终值定理 若 则 为因果序列, x(n) 为因果序列,已知
X (z)= Z [ x(n) ] = ∑x(n)zn
n=0
lim x(n) = lim[ (z 1) X (z)]
z→∞ z→ 1
注意:当 收敛, 注意 当 n →∞, x(n) 收敛,才可以用终值定理
代入边界条件
1 1 Y(z) + z Y(z) +1 = X (z)(1+ z1) + 0 2
信号与系统
二.位移性 位移性
1 1 (1+ ) 1] 1 1 z 1+ z 2 2z 3 z 3 z z 2 = = ( ) 1 1 1 1 (z )(z + ) 2 z z+ 2 2 2 2 z
整理为 Y (z) = [
ROC:一般情况下,取二者的重叠部分 :一般情况下,
即
max(Rx1, Ry1) < z < min(Rx2 , Ry2 )
某些线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛域可能扩大. 某些线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛域可能扩大.
信号与系统
一.线性
例:求 cosh(nω0 )u(n)的 z 变换 解: 已知
另外,因为分子比分母低一次,所以 另外,因为分子比分母低一次,所以x(0)=0. .
信号与系统
六.时域卷积定理
H(z) = Z [ h(n)] X (z) = Z [ x(n)] (Rx1 < z < Rx2 ) (Rh1 < z < Rh2 )
若
则
Z [ x(n)*h(n)] = X (z)H(z)
所以
z Z a u(n) = z a
n
1 nω0 nω0 cosh(nω0 ) = (e + e ) 2
1 1 nω0 Z [ cosh(nω0 )u(n)] = Z e u(n) + Z enω0 u(n) 2 2 1 z 1 z z [ (z cosh(ω0 )] = + ω0 ω0 = 2 2 z e 2 z +e z 2z cosh(ω0 ) +1