弹塑性力学 第九章 塑性力学简单例题

截面上的应力分布情况( 距离):
是梁的中性面到弹塑性分界面的
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料
• 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩,
塑性区对中性轴的静矩.
• 弹性区的高度
, 梁的挠度
和梁的曲率半径
.
可以通过梁的弯矩公式来确定.
可以由梁轴的挠度方程来定,即在
处有
可以由挠度和曲率半径的关系得到,即
y s y x x, y s
在 y ys x 时 在 y ys x 时
另外截面应力还要满足下面条件:

h/2
h / 2
x, y b y dy 0,

h/2
h / 2
x, y yb y dy M
x
ys2 x 2 2 1 2 A B
表明弹塑性区的交界线时双曲线. 如图红线所示. A和B为:
h q 3 qe A 3 2 , B l 1 2 qe 2 q
其中qe 是梁的弹性极限荷载, 令 x 0 和 ys h / 2 得到
• 梁的塑性极限荷载 q p 可令 x 0 和 ys 0 得到
• 通过上面分析, 我们应该注意 A1 加载区和 A2 卸载区引起的 附加应力和附加应变的情况. 由于平截面假定,压曲时附加应变 为(注意坐标轴的选取): z x / y y z 这样引起的附加应力为 P A1 : z xEt / A1 A2 A2 : z xE / x • 根据Engesser和Karman的意见, 压杆在压曲时轴力不变, 所以 l P z dxdy 0 x
例1 如果梁截面是矩形, 高为 半径.
,宽为 , 弯矩和曲率
• 根据上面的公式求出截面惯性矩,静矩和弯矩.
• 弹性极限弯矩, 将 ys h / 2 代入上式得到 • 塑性极限弯矩,将 ys 0 代入前式得到
bh 2 Me s 6
bh 2 Mp s 4
所以
M p / M e 1.5
例3 分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁, 材料为理想弹塑性.
q
• 应力分布与纯弯曲情况 ys x 相同,只是 随 变化.
ys x ys 0 • 截面弯矩为 2 4 y x 2 x bh s l/ 3 s 1 M y l l 4 3 h q 2 M x l x2 • 它还要等于外荷载引起的弯矩 2 • 整理得到 ys 与 x 的变化规律
第九章 塑性力学简单实例
§9-1 弹塑性弯曲和扭转问题 一、梁的纯弯曲
• 如图所示等截面梁, 横截面y和z两个对称轴, x是梁 的纵轴, 纯弯曲发生在xoy平面内.
b y
M M
x o
h/2
z h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
bh 2 s qe 3l 2
bh 2 s qp 2l 2
这样 q p / qe 1.5 此时, 梁中截面全部进入塑性状态, 上图的深黄色线表示.相 当于在中截面安置一只铰, 称为塑性铰.塑性铰的出现, 梁变 为几何可动的, 使梁丧失了继续承载的能力.
三、 压杆的塑性失稳 • 塑性失稳问题的提出. 从压杆弹性失稳的Euler临界荷载公式 可以看出,有效长度越短, 压杆随压曲应力就会增加. 因此, 在短 柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳. 这就是 压杆塑性失稳. 这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载. • 根据弹性力学的分析, 压杆弹性失稳的Euler临界荷载为 2 4 2 P 2 EI (杆两端铰支); P 2 EI (杆两端固定) l l • 对压杆塑性失稳的计算要点. 当压杆进入塑性用塑性模量代 替Euler临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以, 但这是临界荷载的下限. 从失稳过程看, 截面的凸侧部分( A2 ) 压缩应力减少而引起卸载, 要服从弹性规率; 而截面的凹侧部 分( A1 )应力增加是加载过程, 要服从塑性规律, 所以失稳过程 截面即不能用塑性模量, 更不能用弹性模量. 我们需要计算折 减模量.
3
6 也就是 T 3
这样
T

R/ 3
s 在交界处 3G r i s / 3G 3
o
i
0
i i2 d i
i i2 d i
交界面的半径为 rs 应力分布图
s
G 3
2T R4
R/ 3
0
如果知道具体的 i , 就可 以积分. 现在假定材料是理想 弹塑性的, 见图. 1)求弹塑性交界面
1) 位移法 采用直角坐标系, 以 表示杆的单位长度的扭角, 则非圆 截面杆件在扭转时的位移分量为: u x zy
u y zx u z x, y x, y 表示各截面的翘曲形状, 称为翘 曲函数,是待定的. 这里采用等翘曲假定.
o
zx z r zy x
• 圆杆的位移,应变和应力 采用圆柱坐标,位移分量 a 为: ur 0 z r zra u zr uz 0 o x 其中 为单位长度扭角. 应变 z r , 其它为零. 应力除 z (它的大小与 z 有关,是 r 的 函数)不等于零外, 其它为零. 注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧 面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆 两端的边界条件可以只在合力方面得到 满足.
5) 残余应力 在 T 作用下, 按弹性计算得 到 2Tr z R4
3)弹性极限扭角( rs R
e
s
):
RG 3
弹性极限扭矩为
Te
由卸载前的应力减去上 式的剪应力得到残余应 力.见前页图.
R 3 s
2 3
4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩 在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远 处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截 面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最 大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转. y zr 1.弹性分析


2
注意: 许多实验结果表明, 荷载低于本节给出的塑性失稳的临界 荷载就会失稳. 这是因为在杆发生压曲的同时可能伴随荷载的增 量, 这样在截面上不存在卸载区, 此时必需采用 E 来代替 E .
4-4 圆杆的塑性扭转 • 问题的提出: 等截面长圆杆的两端, 作用有大小相等, 方向相 反的扭矩 T 时的扭转问题. • 假定:1)截面的直径在变形过程中没有弯曲及伸缩; 2) 原来的截面变形后仍为圆形平面(平截面假定); 3) 任意两个截面变形后距离不变而只发生相对转动 ( 称为扭角). 根据上述假定, 横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内并 且垂直于该点的半径, 而任意两个横截面的相对扭角正比于它 们之间的距离.
z
s / 3
rs
R
残余 应力
2)扭矩 T 和 的关系: 6 R / 3 T 3 i i2 d i
4)塑性极限扭角( rs 0 ):
3 3 那么有 Tp / Te 4 / 3 Tp

R 3 s
0
R s 3G 3 6 3 3 3 3G i d i 3G i d i 0 s 3G 2 R 3 s s4 54G 3 3 3 3
代入几何方程得到
x y z xy 0 xz y x yz x y 再代入广义Hooke定律得到 x y z xy 0 xz G y x yz G x y
将这些代入弯矩表达式得到
g h 2 1 2 g h3 M s b 1 ys E 4 3 12 E ys
二、梁的横向弯曲 • 注意两点: 第一,忽略挤压应力和剪应力, 纯弯曲的结果基本 上可以用;第二, M , , ys 在纯弯曲时有些梁只与y轴有关, 而横 向弯曲它们还与x轴有关. 截面应力为
称为折减模量, Et I1 EI 2 (b) Ek 或称Engesser-Karman模量 I • 我们用这个折减模量来代替Euler临界荷载中的弹性模量就 可以得到压杆塑性失稳的临界荷载. 例题4-4 计算矩形截面 b h 的折减模量. 解: 设加载区和卸载区的高度分别为 h1 和 h2 , 即有 h1 h2 h 0 h2 1 2 1 2 静矩为 S1 xbdx h1 b, S 2 xbdx h2 b h1 0 2 2 2 代入前面的公式 (a) 得到 Eh2 Et h12 所以 h Et h E 4 EEt h1 , h2 代入(b) E k E Et E Et E Et 1 3 1 3 1 3 折减模量 此外 I1 bh1 , I 2 bh2 , I bh 3 3 12
因此得 S1 Et S2 E 0
0
(a)
式中 S1 和 S 2 是面积 A1 和 A2 对 分界线( y )的静矩.由此可以确 定分界线的位置(即确定 x0 ).
u z
z

凹侧

P
凸侧
• 另外, 压曲是杆的弯矩为 式中
M z xdxdy Ek I /
• 曲率半径和弯矩的关系. 弹性极限时的曲率半径令其为
梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系
e M Me
• 残余应力
梁在塑性极限以后全部卸载, 则在梁截面内要发生残 余应力.利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性 计算应力的改变量 , 然后卸载时的应力 s * * 减去这个改变量得到残余应力 .即
y
z
T
z a a z
o x
ywk.baidu.com
a
T
• 杆的两端的边界条件可以 写成 T z 2 r 2 dr
R
在弹性区 i i 3G i s 在塑性区 i s
因为 i 3 z 1 r i z 3 3 所以 r 3 i / 6
其中 I e 2 y b y dy, S p 2
ys 2 0 h/2 ys
yb y dy, I p 2
h/2 ys
y 2b y dy
弹性区对中性 轴的惯性矩.
塑性区对中 性轴下静矩.
塑性区对中性 轴的惯性矩.
例2 如果截面为 b h 的矩形, 则
h2 2b 3 2b h3 2 3 Ie ys , S p b y s , I p ys 3 38 4
由材料力学公式得到
1 3 3y My h 2b s y / bh s Ie 4 h 12
则残余应力为
*
s 3 s y / h
s

1.5 s
0.5 s



s
s 0.5 s
s
1.5 s
2.线性硬化弹塑性材料

s

s
塑性区
ys
h/2
tg 1 g


ys
o
o
tg 1 E

z h/2
y 塑性区
s
弹性区
梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上 图.那么截面弯矩的表达式为
1 g g M s I e 1 S p Ip Eys E ys