人教版高中数学《导数》全部教案..pdf

导数的背景

（5月4日）

教学目标

理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义

教学重点

瞬时速度、切线的斜率、边际成本

教学难点

极限思想

教学过程

一、导入新课

1.瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？

析：大家知道，自由落体的运动公式是

s

1 gt 2（其中

g 是重力加速度）

.

2

当时间增量t 很小时，从

3 秒到（ 3＋

t ）秒这段时间内，小球下落的快慢

变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落

3 秒时

的速度 .

从 3 秒到（ 3＋t ）秒这段时间内位移的增量：s s(3t )

s(3) 4.9(3

t)

2

4.9 3

2

29.4 t

4.9( t)

2

从而， v

s 29.4 4.9 t .

t

从上式可以看出， t 越小，

s

越接近29.4米/秒；当 t 无限趋近于0时，

s

t

t

无限趋近于 29.4 米/秒 .此时我们说，当 t 趋向于0时，

s

的极限是 29.4.

s

的极限就是小球下降

t

当 t 趋向于0时，平均速度 3 秒时的速度，也叫做

t

瞬时速度 .

一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在 t 到（ t ＋t ）这段时间

内的平均速度为

s s(t

t ) s(t ) .

如果 t 无限趋近于0 时，

s

无限趋近于

t

t

t

某个常数 a ，就说当t 趋向于0时，

s

的极限为 a ，这时 a 就是物体在时刻 t

t

的瞬时速度 .2.

切线的斜率

问题 2：P （1,1）是曲线 y x 2

上的一点， Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况 .

析：设点 Q 的横坐标为 1＋x，则点 Q 的纵坐标为（ 1＋x ）2，点Q对于点P 的纵坐标的增量（即函数的增量）y(1x) 21 2 x ( x)2，

y 2 x(x) 2

2x .

所以，割线 PQ 的斜率k PQ

x

x

由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，x 变得越来越小，k PQ越来越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即x 无限趋近于0 时， k PQ无限趋近于2.这表明，割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线 . 我们把这条直线叫

做曲线在点 P 处的切线 .由点斜式，这条切线的方程为：y 2 x 1 .

一般地，已知函数

y f ( x)的图象是曲线 C，P（），（）

x0, y0Q x0x, y0y

是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动 . 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P，即x趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一

个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 .此时，割线PQ的斜

率 k PQ y

无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线x

PQ 的斜率k PQ y

的极限为k. x

3.边际成本

问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为C(q) 3q 210 ，我们来研究当 q＝50 时，产量变化q 对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：

C C(50q) C (50) 3(50q) 210(350210)300 q3(q) 2 .

产量变化q 对成本的影响可用：C3003q 来刻划，q 越小，C

越接近

q q

300；当q无限趋近于 0 时，C

无限趋近于300，我们就说当q 趋向于0时，q

C

的极限是 300. q

我们把C

的极限 300 叫做当 q＝50 时( )3

q2

10 的边际成本

.

C q

q