弹性体振动

有频率。式中积分常数 A与B的比值及固有频
率由边界条件确定，而常数 C和 D则由初始条
件确定。固有振型 (x) 有一个常数因子不能
确定，这和多自由度系统的情形一样。
7.3 时间与空间变量的分离
固有振型和固有频率
一维波动方程必须与指定的边界条件及 初始条件一起才能构成定解问题。和多自由 度一样首先需要确定固有频率和振型。
第7章 弹性体振动
7.1 引 言
当振动系统不能简化为有限个独 立广义坐标表示的运动方程时，就必
须按照连续系统进行分析。有些物理
现象，只能用连续系统的模型才能清 晰地描述。 离散系统的数学特征是用常微分 方程来描述 ; 而连续系统则必须用偏
微分方程来描述。
7.1 引 言
同一振动系统可以简化为离散 系统和连续系统两种数学模型，连
并有
u sin tan x
7.2 弦的振动
则方程变为
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) dx T dx 2 2 t x
令
c
2
T

2
则
u ( x, t ) 2 u ( x, t ) c 2 2 t x
弦的振动方程，在数学上称为一维
u(0,t)=u(l,t)=0 即
(0)=(l)=0
代入特征解
( x) A sin
得
w
c
x B cos
w
c
x
B 0, A sin
wl
c
0
固有振型和固有频率
A不能等于0,因此必须满足 sin
wl
c
0
此式称为频率方程。由此可以解得系统无
穷多个可数的固有频率
i c i wi l l
边界条件为 利用
u ( x, t ) 2u ( x, t ) EA M 2 x xl t x l
u( x, t ) ( x)(C sin wt D cos wt )
固有振型和固有频率
得关于固有振型的边界条件
2 EAΦ (l ) M w Φ(l )
代入特征解
( x) A sin
2
J 2 GJ p t x x
2
2 2
J r dm r 1 dA r dA J p
7.5 轴的扭转振动
当GJp为常量时，方程可写成
其中
( x, t ) 2 ( x, t ) c （0<x<l） 2 2 t x
l

i
l
E

i x
l
( x) Ai sin
固有振型和固有频率
（2）M>>Al时，很小，也很小，频率方程变为
tan
2
Al
M
固有频率为
w
c
l

EA Ml
这表明：若不计杆的质量，可视为一个无 质量的，刚度为EA/l的弹簧，连接质量为M的
单自由度振动系统。
d j d EA 0 i dx dx w
l 2 j 0 i
A dx
振型函数的正交性
一维波动方程 振型函数的正交性
和离散系统类似，一维波动方程的振型 函数也有正交性。以杆的振动为例，第 i ， j
阶振型函数满足
d i d EA dx dx
d j d EA dx dx
以杆的纵向振动为例，给出常见的几种
边界条件。 （ 1 ）两端固定：两端的轴向位移均等于零， 边界条件为
u(0, t ) 0, u(l , t ) 0
固有振型和固有频率
（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，
边界条件为
u ( x, t ) u ( x, t ) EA( x) 0, EA( x) x x 0 x
阶固有振动具有 i－1个节点，这是带有普
遍性的规律。
固有振型和固有频率
【例 2】 左端固定，右端自由的均匀杆长
度为 l ，在自由端带有集中质量 M ，求该系统
纵向振动的固有频率与固有振型。
解:左端固定端杆的边界条件为 u(0,t)=0， 即(0)=0，得B＝0
而右端的轴向力等于集中质量的惯性力，
7.4 杆的纵向振动
7.5 轴的扭转振动
假设振动过程中每一横截面绕截面形心轴
转动的角度 作为广义坐标，横截面保持为
平面，横截面上每一点的位移由 唯一确定， 扭转角是空间坐标和时间的函数。
7.5 轴的扭转振动
在坐标 x 处截取微段 dx ，横截面上的扭矩
为T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为 J。
得到杆的纵向强迫振动方程
u ( x, t ) A( x) 2 t （0<x<l） u ( x, t ) EA( x) f ( x, t ) x x
2
7.4 杆的纵向振动
若令方程中的 f(x,t) 等于零，便得到自
由振动方程
2 u ( x, t ) u ( x, t ) A( x) EA( x) 2 t x x
作业：T7-3
固有振型和固有频率
分别用j，i左乘上式两端，并积分
d i d EA 0 j dx dx
l
l l dx [ EA ji]0 0 EAi j dx
i
w
l
l 2 i 0
A dx
j
l l dx [ EA i j ]0 0 EA j i dx j
即
1 d 2 q(t ) 1 d d ( x) EA( x) 2 q(t ) dt A( x) ( x) dx dx
7.3 时间与空间变量的分离
上式右端只依赖于空间变量x，而左端
仅依赖于时间 t 。因此，令等式两边均等
于同一常数，记作－ w2 ，并假设为均匀 杆，则得到下面两个独立方程：
量形式的解：
u( x, t ) ( x)q(t )
7.3 时间与空间变量的分离
代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）
2 u ( x, t ) u ( x, t ) A( x) EA( x) 2 t x x
可得到
d 2 q(t ) d d ( x) A( x) ( x) EA( x)q(t ) 2 dt dx dx
u ( x, t ) EA( x) x 2 u ( x, t ) m 2 t
x l
x l
还可以具有其他的边界条件。 通过边界条件就可以确定它们所描述 的系统的固有频率与固有振型。
固有振型和固有频率
【例l】 求长为l 的均匀杆两端固定时的
纵向振动固有频率与固有振型。
解:两端固定杆的边界条件为
微段的自由振动方程
T Jdx 2 T dx T t x
2
即
2 T J 2 t x
7.5 轴的扭转振动
设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭
转中心的极惯性矩， 为体积密度。扭矩 T 与
扭转角 的关系可从材料力学中得到
代入得
T GJ P x
注意到
固有振型和固有频率
T7-8 一杆右端固定，左端附有一集中质
量 M，在M上受到弹性系数为 k的弹簧和阻尼
系数为c的粘性阻尼约束，试写出杆纵向振动 的边界条件。 解:右端固定，杆的边界条件为 即(l)=0； u(l,t)=0，
而左端的轴向力等于集中质量的惯性力 +
弹性力+阻尼力，则边界条件为
u ( x, t ) EA x
续系统的数学模型可从相应的离散
系统当自由度无限增多时的极限过 程得到。 多自由度系统线性振动的一些 重要性质和分析方法，可以推广到
连续系统中。
7.1 引 言
7.2 弦的振动
设弦长度为l，单位
长度的质量为 ，轴向
u T
拉力为 T ，以变形前弦
的方向为 x 轴，横向挠 度 u(x,t) 设 为 小 量 。 对 于长度为dx的微元体有
T
u dx 2 T sin dx T sin t x
2
7.2 弦的振动
微振动时
sin dx x sin cos dx cos sin dx x x sin dx x
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(i 1, 2,)
与wi对应的固有振型为
i x ( x) Ai sin Ai sin c l
(i )
wi x
(i 1, 2)
固有振型和固有频率
从固有振型的表达式可以看出，在
i x nl n ,即 x l i
(n 1, 2i 1)
的点上 (i)(x)=0 。系统作固有振动时，这 些点是不动的，这样的点称为节点。第 i
及B＝0，得频率方程
w
c
x B cos
w
c
x
tan
其中
wl

E
,
Al
M
固有振型和固有频率
频率方程 tan ＝ 是超越方程，其解
必须用数值方法或查表得到。当依次计算出
正根i (i＝1,2,…)后，即可计算出固有频率
和相应的固有振型:
wi
(i )
i c
力等于弹簧力，边界条件为
0
x l
（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向
u(0, t ) 0
u ( x, t ) EA( x) ku ( x, t ) |x l x x l
固有振型和固有频率
（4）左端固定，右端集中质量m：右端
的轴向力等于惯性力，边界条件为
u(0, t ) 0
2 2
c
G

上述方程也为一维波动方程，c是扭转波 的传播速率。
7.5 轴的扭转振动
7.3 时间与空间变量的分离
多自由度系统的固有振动，振动形态
(各广义位移的相对大小)不依赖于时间，
各广义位移均随时间同步变化，同时通过 平衡位置，同时达到最大值。 对于连续体的波动方程，也假设具有 同样的特征，因此可假设系统具有分离变
x 0
2 u ( x, t ) u ( x, t ) M ku ( x, t ) c 2 t t
固有振型和固有频率
x 0
利用
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
得边界条件
dΦ (0) EA q (t ) dx d 2 q (t ) dq (t ) MΦ (0) kΦ (0)q (t ) cΦ (0) 2 dt dt
固有振型和固有频率
讨论：
（1）M<<Al时，频率方程变为tan 根为
(2i 1) i ,(i 1, 2) 2
E
固有频率与相应的固有振型为
(2i 1) wi l 2l
i c
(2i 1) x , Φ ( x) Ai sin 2l
(i )
这就是左瑞固定右端自由的均匀杆在自由 端不带集中质量时的固有频率与固有振型。
波动方程。
7.2 弦的振动
7.4 杆的纵向振动
假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持
为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向
应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。
设杆长为 l ，轴向坐标 x ，坐标原点取在杆
的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为， 轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力 为p，它们均依赖于坐标x。
7.4 杆的纵向振动
在 x 处取微段 dx ，画出该微段的分离体图，
则运动方程为

u Adx 2 t p p dx p fdx x
2
即
p
p
p dx x
2u p A 2 f t x
7.4 杆的纵向振动
应用材料力学中轴向力与轴向变形的
关系式
u p A EA x
2 w i i A
2 w j A j
对于等截面、均质杆(均匀杆)，E、A均不 依赖于x，自由振动方程简化为
u ( x, t ) 2 u ( x, t ) c 2 2 t x
2 2
7.4 杆的纵向振动
其中
c
E

c的量纲与速度的量纲相同。 显然上述方程也是一维波动方程， c是纵波的传播速率，它等于声波以杆 的材料为介质的传播速率。
d 2 ( x) w 2 2 ( x) 0 2 dx c
d q(t ) 2 w q(t ) 0 2 dt
7.3 时间与空间变量的分离
2
两个方程的解为
( x) A sin
w
c
x B cos
w
c
x
q(t ) C sin wt D cos wt
这里： (x) 称为系统的固有振型， w 为固