陀螺进动理论

陀螺进动理论及其局限性

什么是陀螺？广义上说，只要能绕某轴转动，而此轴又可绕另一汇交轴转动的刚体就可叫作陀螺。但工程上常将具有固定点的，高速自转的对称刚体称为陀螺。就像我们平时玩的玩具陀螺，由于高速自转，就有可能对对称刚体的定点运动作近似研究。

设对称刚体在对称轴z （陀螺主轴）上具有固定点O ，刚体有3个自由度；陀螺绕主轴的转动惯量为J 。如果陀螺的自转角度大大的大于主轴在空间的转动角速度，就可用陀螺的自转动量矩

H J k =Ω

近似代替陀螺对点O 的全部动量矩。这里Ω是陀螺的自转角速度，由陀螺马达维持为常量（转速通常为6000rpm 到10000rpm ），因此，陀螺自转动量矩H 的大小为常量，方向与主轴一致

这时对点O 的动量矩可近似写成：

0dH M dt

= H 对时间的导数的物理意义是H 端点的速度V H ，因而有V H

＝0M 即陀螺自转动量矩H 端点的速度等于陀螺所受的外力矩。由该式可推出陀螺的三个力学特性：

1．定轴性 如果陀螺不受任何外力矩，则其主轴在惯性空间保持方向不变

2．进动性 如果陀螺受到外力矩的作用，则主轴的运动并不是在外力矩的作用平面内发生，而是在垂直于该平面发生。这种特殊运动称为陀螺的进动性，如图1所示，力F 作用于陀螺主轴，对点O 产生力矩为Mo ，H 端点有速度V H

＝0M ，于是主轴绕y 轴转动，即垂直于力F 与支点O 形

成的铅垂平面运动。进动角速度V M H H H

ω==

图1

3．陀螺效应 如果强制陀螺以角速度W 进动，则陀螺必给施力者一个反力

偶，其力矩为Mr ， 有： Mr ＝－Mo Mr ＝H ×ω

这个力矩与一般刚体的反作用力矩也不相同，称为陀螺力矩；与陀螺力矩有关的现象称为陀螺效应

这些结论统称为陀螺的进动理论，它是高速自转下的近似理论，只适用于三自由度陀螺。

陀螺进动理论是有其局限性的，是近似的，其本质是忽略了陀螺的惯性，一般的静止物体受力时，物体有加速度，但不能立刻获得速度，必须经过一段时间后才能获得速度，这说明物体有惯性。而陀螺进动理论指出，只要有力矩M 作用，陀螺主轴立即以角速度ω进动，这显然忽略了陀螺的惯性。

这就导致了进动理论对某些必须考虑陀螺惯性的问题失效，例如：涉及稳定性的问题。

图2

如图2所示，以直立陀螺为例，其重心位于支点的上方，A 为对n 轴的转动惯量。依照进动理论，在重力矩作用下，H 端点的速度恒垂直于陀螺主轴z 与铅垂轴n 构成的平面，因此，不管自转角速度如何，陀螺主轴均作圆锥运动而不倒，这显然与实际不符。实际上陀螺主轴在作进动的同时还叠加有高频微幅的圆锥状抖动，称为陀螺的章动。如果这个章动是随时间发散的，则陀螺在铅直位置的直立状态就不可能稳定。若要考虑陀螺的章动，就必须考虑其惯性，也就必须转向精确的动力学方程。当直立

陀螺的主轴在铅直线附近作圆锥运动时，有

22sin ()sin cos sin sin [()cos ]0J J A Pa J J A Pa ψϕθψθθθθψϕψθ+-=-+--=当0θ≠时，有

2()cos 0J J A Pa ψϕψθ+--= （1）

引入变量 cos ϕψθΩ=+

它的意义是陀螺角速度在主轴上的投影，且有L C z

=Ω。由于重力矩Mo 恒垂直于主轴，即动量矩矢量Lo 端点的速度V Lo 恒垂直于主轴，因此Lz 是常量，即 cos const ϕψθΩ=+=代入式（1）得

2(cos )0A C Pa θψψ-Ω+=

这是一个相对变量ψ的二次代数方程式，要想ψ有实数解，即要想使陀螺在直立位置附近的规则进动能够实现，判别式应大于零 ：

224cos 0C PaA θΩ->

把在铅垂位置直立的陀螺看成0θ→的极限状态，则得到直立陀螺的稳定条件是

Ω>

所以，要想使陀螺在铅直位置稳定的旋转，自转角速度不能太小，这与我们在实际中得到的经验也是一致的。

经过一个学期的《理论力学》的学习，确实感到这是一门对我们今后的工作非常有用的课程