分类讨论

y=x2-x-2
A
O
两三角形相似得:
1 1 1 3 P3 ( , )、P4 ( , ) 2 2 2 2
C
总结升华：


分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同 点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学 思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提， 分类是比较的结果。 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果 也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类 后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的 情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时， ∵∠OQC=∠OCQ=1800－ｘ，
Q C B O
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴1800－x=x+300 解得x=1000 即∠OCP=1000
1 ∴∠OPQ= 2 （1800－x)= 1x. 2
A P
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP, 1 1 ∴∠QPO= ∠OQC= x, 2 2 1 又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+ 2 x,
2、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
8 5 △ABC相似,那么AF=________ 或 5 2 A
E
.
F1 F2
C
B
解析：当△AEF∽△ACB时， AE：AC=AF：AB， 即2：4=AF：5， AF=5/2 当△AEF∽△ACB时， AE：AB=AF：AC， 即2： 5=AF：4， AF=8/5
三.与相似三角形有关的分类
例题：在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿 AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从 点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发， 用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积；
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=9°，CB=AC， ∴△BDC≌△CAO， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；
D
（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1）， ∴1=9a﹣3a﹣2，
B A C O P
A
P C
O
当点P在劣弧BC上时，有∠BOC＝130 ° 可求得∠BPC＝115 °
形状不确定
4、将两边长分别为4cm和6cm的矩形硬纸 板以其一边所在直线为轴旋转一周,所得圆 2 120π或80π 柱体的表面积为＿＿＿＿＿＿ cm 解：以长４ｃｍ一边所在直线为轴：表面积 为２π·62＋２π×６×４＝１２０π；
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1 0 又∠QPO=∠OCP+∠COP， (180 －x)=x+300, 2
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1 1 0－∠OQP）= （1800－x) ∴∠QPO= 2 （180 2
解得x=400, 即∠OCP=400 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在 线段OB上。
2 2
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1， ∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线 1 1 2
y
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1， 1 2 1 ∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线 y x x 2上。
绝对值记作
a.
a a 0 | a | 0 a 0 a a 0
点拨：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概 念应从绝对值的几何意义考虑（一个数的绝对值就是数轴上表 示这个数的点与原点的距离）,所以只有对初中数学概念的本身 有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的 意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。
1 2 1 ∴抛物线的解析式为 y x x 2 2 2
1 解得： a 2
（3）假设存在点P，使得△ACP是直角三角形，
①若以AC为直角边，点C为直角顶点， 则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（﹣1，﹣1）， 1 1 经检验点P1在抛物线 在y x 2 x 2上；
A C
80° 20° 80°
B
65°
35°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
2. 在△ABC中，AB＝15，AC=13，高AD＝12，则△ABC的周长 是_________.
解析：（1）三角形是锐角三角形时，BD=9，DC=5 ，BC=BD+DC=12周长：13+15+14=42
A
A
B
D
C
B
C D
（2）当钝角三角形，这个时候BC就不应该用BD+DC了, 而应该是差BC=BD-CD=9-5=4，所以周长就为 13+15+4=32
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C 在O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O 不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么 位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的 C 度数。
B O A
P
Q 解：∵OQ=OC，OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ， ∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有：
解： x 3 x 3 y 2 y 2 xy＜ 0 x 3 x 3 或 y 2 y 2 x y 1或x y 1
二.图形位置的分类
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个?
知识点２：方程函数的定义
分析：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二 次方程. 分析
跟踪练习：
一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤ 6， 相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解 析式 。
1.
-5=-3k+b -2=6k+b -5=6k+b -2=-3k+b
1 1 解析式为 Y= 3 x-4, 或 y=- 3 x-3
C
1.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中 点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则 1或4 当CN=_________时，△CMN与△ADE相似。
A D A
D
E B N C
E M
N
B M
C
解：当CN=1时， AD：CM=AE：CN=2：1 △CMN∽△ADE
解：当CN=2时， AD：CN=AE：CM=2：1 △CMN∽△ADE
A
O
B
x
C
2、如图，在对称轴上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？若 存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
情况一： 当PCA 900时
1 7 P ( , ) 1 2 4 情况二： 当PAC 900时 1 3 P2 ( , ) 2 4 情况三： 当APC 900时
分类讨论思想
概念的分类：如实数、绝对值、含有字母 系数的方程、不等式或函数、点（直线、 圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的 分类。 几何中图形位置关系不确定的分类：如等 腰三角形的顶角顶点不确定、直角三角形 直角顶点不确定、相似三角形的对应关系 不确定等。
一、涉及到有关概念而需要对其进行分类讨论 知识点1：绝对值 在数轴上，表示有理数的点到原点的距离叫做数的
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值 与交点坐标。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（1 a=9,交点为（-1，0）或（ 3 1，0）； 3
当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0. 解得a=1或 ，0）
跟踪练习：
3、已知 x 3, y 2, 且x y＜ 0，则x y
得到x=200 即∠OCP=200 P B Q
C
O
A
C
4．在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长 分别是 3 、 2 ， 则∠BAC的度数是 。
A A
B
5．△ABC是半径为2cm的圆的 内接三角形， 若BC=2 3cm,则角A的度数 是 。
B
C
C
B A
C
6.半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
1．在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆 心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
A A B
C
B
C
B C A
位置不确定
3、AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=50° 点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC的 0 0 65 或 115 度数是 解：如图,连结OB、OC有∠BOC=130°， ∴∠BPC＝65 ° B
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
110° 20° 50°
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110° 20° 50°
C
20° 20°
B
C
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
6、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角 板ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A(0，2)．点C(1，0)，如图所示；抛物线 2 y ax ax 2经过点B． (1)求点B的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)．使 △ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？ 若存在，求所有点P的坐标；若不存在．请说明理 由．
2 2
2
x x 2上； 2
故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．
1、如图，直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线 y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上， S△BOM＝S△AOC，求点M的坐标。 1 41 y （2，4）或（ ,4） 2
D Q C
提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、
A B P
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒） （2）在△QAC中，S= 1 QA· DC=1（ 6－t)· 12=36－６ｔ 2 2 在△APC中，S= 1 AP· BC=1·２ｔ· ６＝６ｔ D 2 2 QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) Q 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 P （3）根据题意，可分为两种情况来研究 QA AP 6 t 2t 在矩形ABCD中：①当 AB =BC 时，△QAP∽△ABC，则12 = 6 ， 6 解得t= 5 =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 QA AP 6 t 2t ②当 BC AB 时，△PAQ∽△ABC，则 6 = 12 ， = 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 A B
7.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米， ⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的 速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不 断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的 关系式为r＝1+t（t≥0）． （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米） 与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？
以长６ｃｍ一边所在直线为轴，得表面积 为２π·42＋２π × ４ × ６＝８０π。
位置不确定
5、矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3 12或4 两部分，则这个矩形的面积为＿＿＿＿
解：如图，ＡＥ平分∠ＢＡＤ，ＢＥ＝３， ＥＣ＝１，则ＡＢ＝３，ＢＣ＝４ ∴Ｓ矩形＝４×３＝１２
A D
，
A
D
B
E
C
B
E
C
如图2，ＢＥ＝１ ，ＥＣ＝３ 则ＡＢ＝１， ＢＣ＝４∴Ｓ矩形＝４×１＝４