材料力学(第四版)第十章

态，此时的平衡具有抗干扰性。
P > Pcr 当P大于某个临界值Pcr时，只
要一加干扰，杆件将弯曲，干
扰去掉后，杆件不再回到原来 的直线平衡形式，而是以弯曲
的状态保持平衡甚至折断，因
此，我们说，杆件原来的直线 平衡状态是不稳定的。
P<Pcr稳定平衡
稳 临界状态 定 对应的 平 度 衡 过
压力
不 稳 定 平 衡
③压杆的临界力 P min(P , P ) cr cry crz
2 EI y
例 求下列细长压杆的临界力。E=200GPa，L=0.5m。 解：图(a) P P
10
I min
50 103 1012 4.17 109 m 4 12
50
2 I min E 2 4.17 200 Pcr 67.14kN 2 2 (1l ) (0.7 0.5)
x
rc P
3)若n=2,3… …，则挠曲线分别是两个 半波正弦曲线、三个半波正弦曲线……, 如图示。它们只有在图示支承条件下才 可能出现。此时压杆的临界力分别称为 第二临界力、第三临界力……。
y
y
3 =n
2 =n
比较第一临界力、第二临界力、第三临界力… …， 可知，第一临界力最小。而临界力是指压杆在临界状态下 维持微弯平衡所能承受压力的最小值，所以只能取n=1。
因此，两端铰支细长压杆的临界力计算公式为
Pcr
2 EI
l
2
–––两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
公式的应用条件：
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.由于压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲, 所以当两端为球铰支座时，I=Imin。
二、其它支承条件下细长压杆临界力的欧拉公式 • 长度系数 例:求一端固定,一端自由细长杆的临界压力。 在比例极限内， 挠曲线近似微分方程为 EIy = M(x)=P( y) ∴ EIy + Py = P
4.欧拉公式的适用范围 前面在推导欧拉公式时,有一前提条件:压杆的应力在材料 的比例极限内。因此,压杆所能承受的最大应力——临界应力 不能超过材料的比例极限。所以,欧拉公式成立的条件是：
2E cr 2 p
E 即: p ——欧拉柔度 p
下图表示了欧拉临界应力与柔度λ的关系。欧拉临界应力为一双曲线，
2.稳定平衡
小球在光滑凹形曲面最低点处于平衡状态，若给小球施加一个干扰， 使小球偏移一个微小位臵，当干扰去除后，小球在经过若干次来回摆动后， 将回到初始平衡位臵(最低点)而处于平衡。这种在干扰去除后能恢复原状 的平衡，称为稳定平衡。
稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆的稳定性与临界压力
1.压杆的稳定性试验
各种不同支承条件下细长压杆的长度系数 见下页:
表10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 Pcr
一端固定 另端铰支 两端固定
Pcr B
一端固定 另端自由 Pcr l
两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
Pcr
B
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
B
0.7l
0.5l
D l C
第十章
压杆稳定
§10–1 压杆稳定性的概念
§10–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §10–3 超过比例极限时压杆临界应力 §10-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§10–1 压杆稳定性的概念
问题的提出
图(a): 木杆的横截面为矩形（12cm)，高为 3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致强度破坏。 图(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m（细 长压杆），当压力仅为0.1kN时杆就被压弯， 并导致破坏（折断）。
L 图(b)
L
z
y
I min I z 3.89108 m4
(4545 6) 等边角钢
图(a)
图(b)
2 I min E 20.389 200 76.8kN Pcr 2 2 (20.5) ( 2l )
§10–3欧拉临界应力•欧拉公式适用范围•中小柔度杆的临界应力 一、细长压杆的临界应力
2 EI
l2
μ= 1
μ= 1
0.5l
例
验证下述细长压杆的临界力公式和长度系数。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
M0 x P x M(x)
EIy M ( x) Py M 0 P 2 令:k EI 2 2 M0 y k y k P M0 y A cos kx B sin kx P
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变 形而使结构丧失工作能力，并非因强度不够， 而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。 这种现象称为失稳。
(a)
(b)
§10–1 压杆稳定性的概念
决定构件承载能力的三种因素： ①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件虽具
有足够的强度、刚度，却 不一定能安全可靠地工作。
Pcr
图形比拟：压杆失稳时挠曲线（及 其延长线）上拐点处的弯矩为零，故可 设想拐点处相当于有一铰，则两个拐点 间的一段杆的挠曲线为一半波正弦曲线， 因此，可将压杆挠曲线(及其延长线)上 0.5l 两个拐点间的一段杆视为两端铰支的杆， 利用两端铰支压杆的临界力计算公式， 就可得到原支承条件下压杆的临界力计
A 0 B 0 B 0 即: A sin kL 0 A sin kL B cos kL 0
上式中，若A=0，则y 0，即压杆无弯曲, 这与假设矛盾，因此A 0, ∴ sinkl = 0 则有： kl = n n = 0，1，2，……
P n 2 n 2 2 EI n k2 ( ) P 即: k EI l l l2 n n应取何值？ y A sin x 此时压杆的挠曲线方程为 l
∴ B+ =0 ∴B=
∴A=0
y(l )=Asinkl +Bcoskl + = ∴ coskl =0
∴ coskl =0
kl n 2
n=1，3，5……
P n 2 2 k ( ) EI 2l
P
n 2 2 EI
2l 2
与前述类似，只有当时n=1，才与题意相符合，故:
l
算公式。
两端固定
Pcr
2 EI
(0.5l ) 2
于是，可将两拐点间的长度 l 称为 原压杆的相当长度。即：原支承条件下
长为 l 的压杆相当于长为 l 的两端铰支
压杆。
于是，各种不同支承条件下细长压杆临界力欧拉公式 可统一写成:
EI Pcr 2 ( l )
2
——长度系数 l ——相当长度
n 0,1,2......

2
为求最小临界力,―k”应取除零以外的最小值，即取n=1。
所以，临界力为：
EI Pcr (0.5L) 2
所以 = 0.5
例
求下列细长压杆的临界力。 y y x z
L1 L2
3
z
h
b
bh , P 解:①xz面内绕y轴,两端铰支: =1.0， I y cry 12 L2 2 ②xy面内绕z轴,左端固定,右端铰支: 2 EI z bh3 , P =0.7， I z crz 12 (0.7 L1 ) 2
讨论n的取值：
1)若n=0，则Pcr=0，y=0，这与题意不符； 2)若n=1，则挠曲线方程为 y A sin x l 其形状是一个半波正弦曲线，符合上面的假设, 2 EI 此时压杆的临界力 Pcr 2 称为第一临界力;
l
x
rc P
n n 2 2 EI y A sin x P 2 l l
工程实际中的压杆不允许失稳。对于稳定问题， 关键是求出临界压力Pcr，只要工作压力小于临界压力， 就不会发生失稳问题。
§10–2
细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界力 求临界力的思路：假定压力达到临界值,杆件处于微弯状态, 从杆件的挠曲线入手,求临界力。 P y P y x x P ①由平衡条件易得弯矩:
P>Pcr不稳定平衡
临界压力Pcr 临界状态下， 当干扰去掉 后，杆件恰 好可以回到 直线平衡状 态或以微弯 状态保持平 衡。
压杆由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态 称为压杆失稳或屈曲。 P < Pcr——压杆处于稳定平衡 P =Pcr 或P >Pcr ——压杆失稳
Pcr ––– 临界压力或临界力
i
I ,并称之为截面对弯曲中性轴的惯性半径,它取决于压 A
2E 细长压杆的临界应力计算公式为: cr 2 –––欧拉公式
3.压杆的柔度(或长细比):
l
i
因为：长度系数 μ取决于压杆的支承形式， 惯性半径 i 取决于压杆截面的形状和尺寸， 所以：柔度 λ 综合反映了压杆的长度、截面的形状和尺寸 以及支承情况对临界应力的影响。
理想压杆 ——材料绝对理想； 轴线绝对直； 压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡、不稳定平衡与临界压力
P < Pcr
在杆端压力P小于某个临界值Pcr 时，细长杆能保持直线位臵平衡 状态。给细长杆施加一干扰，细 长杆发生弯曲，但当干扰去掉后， 杆件会回到原来的直线位臵保持 平衡。因此，我们说，杆件在该 压力P作用下处于稳定的平衡状
M ( x) P y
②比例极限内挠曲线近似微分 方程: M P
EI EI M P P y y0 EI P 2 令k 则有 EI 二阶常系数齐次线性微分方程—— y k 2 y 0 y' ' y
③微分方程的通解：y A sin kx B coskx ④由边界条件求积分常数： y (0) y( L) 0
2l
C
l
l
l
A
C A 挠曲线 拐点C
A 挠曲线拐 点C、D
挠曲线拐点C
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
2 EI 2 EI 2 EI Pcr Pcr Pcr 2 2 (0.7l ) (2l ) 2 (0.5l )
μ= 0.7 μ= 0.5 μ= 2
Pcr
Pcr
2 EI
(2l ) 2

2l x)
挠曲线方程为 y ( x) (1 cos
(0xl)
挠曲线对比： l
A
半个正弦波
B
A´
l
l
A
1 个正弦波 4
半个正弦波 MA=MB=0 MA=MA =0 相当于长为2l的两端简支杆
Pcr
EI
2
l
2
Pcr
2 EI
(2l ) 2
边界条件为:
L
M0 P
M0 P
y 0 0; y 0 0; y L 0; y L 0
M0 A , B 0, kL 2n , kL n P
kL 2n n 0,1,2...... P n 2 2 k2 2 EI L 2
P
压杆
高压输电线路保持相间距离的受压构件
脚手架中的压杆
压杆失稳事故实例
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥合拢之前 因弦杆失稳，9000吨重的钢桥全部坠入河中， 75名员工遇难。（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
倒塌后成为一片废墟
一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 1.不稳定平衡
小球在光滑凸形曲面顶点时处于平衡状态，若给小球施加一个干扰， 使小球偏移一个微小位臵，当干扰去除后，小球将无法回到初始平衡位臵。 这种在干扰去除后不能恢复原状的平衡，称为不稳定平衡。
Pcr 1.临界应力:压杆处于临界状态时横截面上的平均应力 cr A
2.细长压杆的临界应力： 令i
cr
Pcr 2 EI A ( l ) 2 A
杆截面的形状和尺寸,则： 2 Ei 2 A 2E cr 2 (l ) A (l / i) 2 l 令 ,并称之为压杆的柔度(或长细比),则:
只有当λ≥λp时，才能满足欧拉公式的适用条件，欧拉公式才有效；当λ<λp 时，该曲线就无效了。
令k 2 P EIly Nhomakorabeax

x y
M
P
则有y + k2y = k2
通解：y= Asinkx + Bcoskx + 将边界条件y(0)=0，y'(0)=0，y(l )= 代入通解: y(0)=Asin(k· 0)+Bcos(k· =0 0)+ y'(0)=kAcos(k· 0)kBsin(k· 0)=0 ∴kA=0 又k2=P/EI 0