人教版九年级数学上学期期末培优专项习题：圆(含答案)

期末培优专项习题：圆
1．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点D、P，使∠1＝∠2＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，BD＝2，求线段BP的长．
3．如图，以△ABC的边AC为直径的O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．
4．如图，BD是⊙O的直径，点A．C在圆周上，∠CBD＝20°，求∠A的度数．
5．如图，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，AF为⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积．
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
7．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．
8．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过
A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求线段DE的长；
（3）求△ABC的外接圆的面积．
10．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．
11．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
12．如图，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为A．作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8．
（1）求弦DG的长．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
13．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DP A．（1）求证：PO＝PD；
（2）若AC＝，求⊙O的半径．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
15．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
参考答案
1．（1）证明：连结AD ，
∵AB 为⊙O 直径，
∴AD ⊥BC ，
又∵AB ＝AC ，
∴BD ＝CD ；
（2）解：连结OE ，
∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，
∴∠BOE ＝90°，BO ＝EO ＝2，∠AOE ＝90°，
∴S 阴＝S △BOE +S 扇形OAE ＝×2×2+＝π+2．
2．解：（1）连接OC ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∴∠ACO +∠BCO ＝90°，
∵OA ＝OC ，
∴∠A ＝∠ACO ，
∵∠A＝∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ACO，
∴∠2+∠BCO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴直线PC是⊙O的切线；（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°
∴∠1＝∠A，
∴∠1+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴CD2＝AD•BD，
∵CD＝4，BD＝2，
∴AD＝8，
∴AB＝10，
∴OC＝OB＝5，
∵∠OCP＝90°，CD⊥OP，∴OC2＝OD•OP，
∴52＝（5﹣2）×OP，
∴OP＝，
∴PB＝OP﹣OB＝．
3．（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝10，
∴OD＝5，
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
则四边形ODGC为正方形，
∴DG＝CG＝OD＝5，
∴∠CEG＝∠ACB，
∴tan∠CEG＝tan∠A CB，
∴＝，即＝，
解得：GE＝2.5，
∴DE＝DG+GE＝．
4．解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD＝20°，
∴∠D＝70°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A＝∠D＝70°（同弧所对的圆周角相等）．5．解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∵AF为⊙O的直径，
∴AF⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AD 是⊙O 的切线；
（2）连接OC ，OB ，
∵∠BAC ＝45°，
∴∠BOC ＝90°，
∵AF ＝2，
∴OB ＝OC ＝1，
∴BC ＝，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ＝
，
连接OE ，
∵AD ∥BC ，
∴∠ACE ＝∠BAC ＝45°，
∴∠AOE ＝2∠ACE ＝90°，
∵OA ＝OE ＝1，
∴阴影部分的面积＝S 梯形AOED ﹣S 扇形AOE ＝（1+）×1﹣＝﹣．
6．解：（1）∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，
∴弧AD＝弧BD，
∴∠DEB＝∠AOC＝×40°＝20°；
（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AC＝BC，即AB＝2AC，
在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，则AB＝2AC＝8．
7．（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠O AD，
即AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，∠CAD＝25°，
∴∠F AE＝2∠CAD＝50°，
∴∠FOE＝100°，
∵AE＝2，
∴OE＝1，
∴的长为．
8．（1）证明：连接OC，如图所示，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为圆O的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵AB＝2BE，且AB＝2OA＝2OB，∴OA＝OB＝BE＝OC，
即OC＝OE，
在Rt△OCE中，CE＝，
∴OC＝1，OE＝2，
即AE＝3，
∴AD＝AE＝1.5．
9．（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED＝90°（直径所对的圆周角为直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD＝∠EAD（角平分线定义），
∴CD＝DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，
∴AB＝＝＝13，
设DE＝x，则BD＝12﹣x，BE＝13﹣5＝8，
故x2+82＝（12﹣x）2，
解得：x＝，
故DE的长为：；
（3）解：由（2）得：△ABC外接圆的半径＝AB＝×13＝，
故△ABC的外接圆的面积为：π×（）2＝π．
10．解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
11．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD•CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
12．（1）解：∵∠DOF＝∠A+∠ADO＝60°，在Rt△D OF中，OD＝4，
∴DF＝OD•sin∠DOF＝4•sin60°＝2．∵直径AB⊥弦DG，
∴DF＝FG．
∴DG＝2DF＝4；
（2）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠ADO＝∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
13．（1）证明：∵P A与⊙O相切于点P，∴BP⊥AP
∴∠OPD+∠DP A＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°∵∠OAP＝∠DP A．
∴∠OPD＝∠AOP
∴OD＝PD
∵PO＝OD
∴PO＝PD．
（2）连接PC，
∵PB为⊙O的直径
∴∠BCP＝90°
∵PO＝PD＝OD
∴∠AOP＝60°
设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°
∴P A＝x
∴AB＝＝x
∵∠BP A＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B
∴△BAP∽△BPC
∴＝
∵AC＝
∴＝
∴7x﹣＝4x
∴x＝
∴⊙O的半径为．
14．证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
15．证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．。