数学建模 自动控制 自动控制系统的数学模型PPT.ppt

第二章 控制系统的数学模型
Part 2.1.3 提取数学模型的步骤
➢ 划分环节 ➢ 写出每或一环节(元件) 运动方程式 ➢ 消去中间变量 ➢ 写成标准形式
自动控制原理
划分环节
第二章 控制系统的数学模型
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）
根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
Part 2.1.1 数学模型的定义
➢ 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 ➢系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
t u2 u ua n v u t
物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态--稳定运动
欧姆定理、基尔霍夫定律
热学：
传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性
自动控制原理
机械运动系统的三要素
质量 M
弹簧 K
第二章 控制系统的数学模型
阻尼 B
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
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第二章 控制系统的数学模型
增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
自动控制原理
多变量函数泰勒级数法
第二章 控制系统的数学模型
增量方程 静态方程
负载效应
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第二章 控制系统的数学模型
写出每或一环节(元件) 运动方程式
➢ 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确 定反映这种内在联系的物理规律。 ➢ 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性 化，考虑忽略一些次要因素）。
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写成标准形式
第二章 控制系统的数学模型
例如微分方程中，
将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的 各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。
第二章 控制系统的数学模型
2.3.1 拉氏变换的定义 2.3.2 拉氏变换的计算 2.3.3 拉氏变换求解方程
拉氏变换
拉氏反变换
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Part 2.3.1 拉氏变换的定义
第二章 控制系统的数学模型
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数；
2当t<0时 ， f(t)=0；
3当t0时，f(t)的积分
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第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
本章主要内容: 2.I 物理系统的数学模型 2.2 非线性数学模型的线性化 2.3 拉氏变换及其反变换 2.4 典型环节及其传递函数 2.5 系统方框图和信号流图
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Part 2.1 物理系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
系 统 框 图
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Part 2.1.1 数学模型的定义
第二章 控制系统的数学模型
数学模型：
描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础 2.1.3 提取数学模型的步骤
机械系统 Example 电气系统
相似系统
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Part 2.1.1 数学模型的定义
系 统 示 意 图
第二章 控制系统的数学模型
Remember 恒温箱自动控制系统?
系 统 框 图
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第二章 控制系统的数学模型
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2.2.3 线性化方法
第二章 控制系统的数学模型
增量 （微小偏差法）
非线性方程 局部线性增量方程
假设： 在控制系统整个调节过程
中，所有变量与稳态值之间 只会产生足够微小的偏差。
以微小偏差法为基础，运 动方程中各变量就不是它们 的绝对值，而是它们对额定 工作点的偏差。
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自动控制原理
增量方程
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数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
第二章 控制系统的数学模型
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第二章 控制系统的数学模型
Part 2.1.2 建立数学模型的基础
微分方程
（连续系统）
y(t),
dy dt
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理
电学：
➢数学物理方程中的线性方程：
未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量
➢针对时间变量的常微分方程：
线性方程指满足叠加原理
➢叠加原理：
可加性 齐次性
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
f ( x) f (x)
不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。
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第二章 控制系统的数学模型
2.2.2 线性化问题的提出
➢线性系统优点：
✓可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。
➢线性系统缺点：
✓有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；
✓非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
线性化定义
将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线 性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
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第二章 控制系统的数学模型
Part 2.2 非线性数学模型的线性化
2.2.1 常见非线性模型 2.2.2 线性化问题的提出 2.2.3 线性化方法
Example 单摆 液面系统 Example 单摆 液面系统
单变量 多变量
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2.2.1 常见非线性模型
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0
f
(t)est dt
在s的某一域内收敛
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
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第二章 控制系统的数学模型
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则： 注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
自动控制原理
Part 2.3 拉氏变换及其反变换