第3章数据分布特征的描述
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第三章 数据分布特征的描述
统计数据
排序 分组 整理 表述
寻找 反映数据分布特征的代表值：
集中趋势；离散趋势
对统计数据进行排序、分组、整理，是对数据的 分布特征进行描述的一个基本方面，为进一步掌握数 据分布特征及其变化规律，以进行深入的分析，还需 找出反映数据分布特征的各个代表值。
统计学中刻划数据分布特征的最主要的代表有二： 数据分布的集中趋势与数据分布的离散程度。
例3：某水泥生产企业1995年产水泥100万吨， 1996、1997、1998年的水泥产量分别上一年增长9%、 16%与20%，则1996~1998年的年均增长率为：
GM 3 109 % 116 % 120 % 114 .91%
二、中位数(Median)
中位数是一组数据按大小排序后，处于中间位置 上的变量值。
如：有一组关于病人进入“救助”活动的时间长 度的数据：
67个样本：时间长度从1天到185天。
除了对该组数据进行频数方面的描述和分析外， 下面的统计方法在描述数据分布特征及分析方面也很 重要：
均值(mean)：35.7天; 中位数(median)：17天； 众数(Mode)：1天
Interpretation: （1） the average time a patient stays in the Program
1、 对于未分组数据：
（1）如果数据个数为奇数，则中位数恰为处于中 间位置的数：
M e X N 1 2
（2）如果数据个数为偶数，则为中间位置两个数 的平均数
Me
1 2
X
N 2
X
N 2
1
班级规模例中：按升序排出的5个统计数为： 32、42、46、46、54
则中位数为：46
大学毕业生起薪例中：按升序排出的12个统计数 为：
例：美国一家具有福利院性质的医院（Barnes Hospital）。
为了改善
救
频临死亡的病人 助
及其家庭的
活
生活质量
动
“服务队”： 医生
家庭健康保健员 社会工作者 受训志愿者
给予 病人及 家庭一些 指导 帮助
减轻由于 疾病、 分离等而 引起的 精神紧张
该项活动中，每月都有数据统计及分析以用来进 行该项活动的调整与实施。
均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失 去意义，这时往往用“剔除极端值”的方法加以修 正。
如例2中，如果将月薪2825的最高值用10000代替， 则均值为3038
2、几何平均数
(1)几何平均数是N个变量值乘积的N次方根：
N
GM N X1 X 2 X N N X i i 1
第一节 分布集中趋势的测度
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向， 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心 值。
一、均值（Mean）
均值就是一组数据的平均值(average value)，用来测 度中心位置(central location)。
1、简单算术平均
n
对样本：
x x1 x2
1
2350
5
2255
9
2440
2
2450
6
2210
10
2852
3
2550
7
2390
11
2428
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
2380
8
2630
12
2380
未分组时的算术平均值为：2440
算术均值具有如下性质：
（1）各变量值与其均值的离差和为零：
N
X
i
X
0
i 1
（2）各变量值与其均值的离差平方和最小：
N
X
i
2
X
min
▲注意： i1
Table 1, Monthly Starting Salaries for a Sample of 12 College Graduates
Graduates Monthly Graduates Monthly Graduates Monthly
Salary($)
Salary($)
Salary($)
is 35.7 days, or slightly over a month; （2）half of the patients are in the Program 17 days
or less and half are in the Program 17 days or more; （3） many patients have a short day in the Program.
例1：一组大学班级人数规模的数据（5个班）如下：46、 54、42、46、32
在未分组的情况下，其均值为：44。
如果分成如下组别：I：32，II：42，III：46、46，IV：54
则其均值为： x 321 421 46 2 541 44
11 21
例2：（美国）一个关于大学生毕业后工作起薪的 问卷调查：
xn
xi
i 1
n
n
其中n为样本数
n
对总体：
X
X1 X 2
Xn
Xi
i 1
N
N
其中N为总体单位数
2、加权算术平均
n
X
X 1 F1 X 2 F2
X n Fn
X i Fi
i 1
F1 F2 Fn
n
Fi
i 1
其中Fi为权数
加权算术平均往往适用于对分组后的数据求均值，这时Xi 为各组变量代表值（往往取组中值），Fi 为各组变量值出现 的频数。
2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 则中位数为：
M e 2390 2420 2 2405
▲注意：
由于均值容易受到统计数据中个别极端数据 的影响，从而使均值代表某组统计数据的“平 均水平”时失去意义，这时用中位数代替均值 则更有意义。
如，在大学生毕业工作起薪的例中，如果原 统计数中最高薪金由2825换为10000，则得到 平均薪金为3038的结论，显然与其他11位均在 2000多的薪水水平不符，但这时若用中位数 2405，显然更具代表意义。
2、对于分组后的数据：
首先需确定中位数所在的组，然后可根据下列公式计算中位数：
上述班级人数规模例中，几何平均数为：43.37 可看出：几何平均数 < 算术平均数。
(2)加权几何平均数：
G X X X F1F2 FN
F1 F2
FN
M
12
N
其中Fi为Xi的权数。
几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均：
1 N
log GM
N
( log X i )
i 1
•几何平均主要用于计算比率或速度的平均。
统计数据
排序 分组 整理 表述
寻找 反映数据分布特征的代表值：
集中趋势；离散趋势
对统计数据进行排序、分组、整理，是对数据的 分布特征进行描述的一个基本方面，为进一步掌握数 据分布特征及其变化规律，以进行深入的分析，还需 找出反映数据分布特征的各个代表值。
统计学中刻划数据分布特征的最主要的代表有二： 数据分布的集中趋势与数据分布的离散程度。
例3：某水泥生产企业1995年产水泥100万吨， 1996、1997、1998年的水泥产量分别上一年增长9%、 16%与20%，则1996~1998年的年均增长率为：
GM 3 109 % 116 % 120 % 114 .91%
二、中位数(Median)
中位数是一组数据按大小排序后，处于中间位置 上的变量值。
如：有一组关于病人进入“救助”活动的时间长 度的数据：
67个样本：时间长度从1天到185天。
除了对该组数据进行频数方面的描述和分析外， 下面的统计方法在描述数据分布特征及分析方面也很 重要：
均值(mean)：35.7天; 中位数(median)：17天； 众数(Mode)：1天
Interpretation: （1） the average time a patient stays in the Program
1、 对于未分组数据：
（1）如果数据个数为奇数，则中位数恰为处于中 间位置的数：
M e X N 1 2
（2）如果数据个数为偶数，则为中间位置两个数 的平均数
Me
1 2
X
N 2
X
N 2
1
班级规模例中：按升序排出的5个统计数为： 32、42、46、46、54
则中位数为：46
大学毕业生起薪例中：按升序排出的12个统计数 为：
例：美国一家具有福利院性质的医院（Barnes Hospital）。
为了改善
救
频临死亡的病人 助
及其家庭的
活
生活质量
动
“服务队”： 医生
家庭健康保健员 社会工作者 受训志愿者
给予 病人及 家庭一些 指导 帮助
减轻由于 疾病、 分离等而 引起的 精神紧张
该项活动中，每月都有数据统计及分析以用来进 行该项活动的调整与实施。
均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失 去意义，这时往往用“剔除极端值”的方法加以修 正。
如例2中，如果将月薪2825的最高值用10000代替， 则均值为3038
2、几何平均数
(1)几何平均数是N个变量值乘积的N次方根：
N
GM N X1 X 2 X N N X i i 1
第一节 分布集中趋势的测度
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向， 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心 值。
一、均值（Mean）
均值就是一组数据的平均值(average value)，用来测 度中心位置(central location)。
1、简单算术平均
n
对样本：
x x1 x2
1
2350
5
2255
9
2440
2
2450
6
2210
10
2852
3
2550
7
2390
11
2428
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
2380
8
2630
12
2380
未分组时的算术平均值为：2440
算术均值具有如下性质：
（1）各变量值与其均值的离差和为零：
N
X
i
X
0
i 1
（2）各变量值与其均值的离差平方和最小：
N
X
i
2
X
min
▲注意： i1
Table 1, Monthly Starting Salaries for a Sample of 12 College Graduates
Graduates Monthly Graduates Monthly Graduates Monthly
Salary($)
Salary($)
Salary($)
is 35.7 days, or slightly over a month; （2）half of the patients are in the Program 17 days
or less and half are in the Program 17 days or more; （3） many patients have a short day in the Program.
例1：一组大学班级人数规模的数据（5个班）如下：46、 54、42、46、32
在未分组的情况下，其均值为：44。
如果分成如下组别：I：32，II：42，III：46、46，IV：54
则其均值为： x 321 421 46 2 541 44
11 21
例2：（美国）一个关于大学生毕业后工作起薪的 问卷调查：
xn
xi
i 1
n
n
其中n为样本数
n
对总体：
X
X1 X 2
Xn
Xi
i 1
N
N
其中N为总体单位数
2、加权算术平均
n
X
X 1 F1 X 2 F2
X n Fn
X i Fi
i 1
F1 F2 Fn
n
Fi
i 1
其中Fi为权数
加权算术平均往往适用于对分组后的数据求均值，这时Xi 为各组变量代表值（往往取组中值），Fi 为各组变量值出现 的频数。
2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 则中位数为：
M e 2390 2420 2 2405
▲注意：
由于均值容易受到统计数据中个别极端数据 的影响，从而使均值代表某组统计数据的“平 均水平”时失去意义，这时用中位数代替均值 则更有意义。
如，在大学生毕业工作起薪的例中，如果原 统计数中最高薪金由2825换为10000，则得到 平均薪金为3038的结论，显然与其他11位均在 2000多的薪水水平不符，但这时若用中位数 2405，显然更具代表意义。
2、对于分组后的数据：
首先需确定中位数所在的组，然后可根据下列公式计算中位数：
上述班级人数规模例中，几何平均数为：43.37 可看出：几何平均数 < 算术平均数。
(2)加权几何平均数：
G X X X F1F2 FN
F1 F2
FN
M
12
N
其中Fi为Xi的权数。
几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均：
1 N
log GM
N
( log X i )
i 1
•几何平均主要用于计算比率或速度的平均。