第七章 非平稳时间序序列的特征与检验

i.i.d. N (0,1) 的样本自相关图
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
14
例子： 非平稳过程的样本自相关图
(b) yt yt 1 t ， t
i.i.d . N (0,1) 的样本相关图
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
15
三、逆序检验法
逆序数的定义
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
7
二、非平稳时间序列的分类
随机趋势非平稳过程（stochastic trend process）
随机趋势非平稳过程又称为差分平稳过程（difference stationary process）、有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with
N
1
Nr
t
L B(r ) W (r )
1 N

1
N
t
L W (1) ~ N (0,
2)
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
23
三、DF单位根检验法
假设时间序列是由下列两种模型之一产生出来： yt yt 1 t 或 yt yt 1 t 其中 t ~ iid (0, 2 ) 。 如果 1 ，第一种为随机漫步过程，第二种为带漂 移的随机漫步过程，皆为非平稳过程。 如果 | | 1 ，则为平稳过程。 所谓单位根检验，就是检验 1 是否成立。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
9
随机漫步过程与平稳一阶自回归过程特征的比较
随机漫步过程 方差 协方差 自相关系数 记忆性 t统计量的有效性 随时间线性增长 跟时间与时间间隔都有关 不变或缓慢衰减 长记忆性 传统用法无效 平稳一阶自回归过程 保持不变 与时间无关 按照指数衰减 短记忆性 有效
逆序 逆序数
逆序检验方法
检验原理 检验步骤
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
16
四、游程检验
游程的概念
游程检验
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
17
第三节 时间序列非平稳性的单位根检验法 本节基本内容： 单位根过程 单位根过程检验基础 DF单位根检验法 PP单位根检验法与ADF单位根检验法 其它高效的单位根检验法简介
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
21
二、单位根过程检验基础
维纳过程(Wiener Process)也称为布朗运动(Brownian Motion) 。
设 W (t ) 是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足： (a) W(0)=0； (b) 独立增量过程：对闭区间[0，1]上任意一组分割 0 t1 t 2 t k 1 ，
H 0 : 1;
情 形 四 ： 假 设 数 据 由 （ 真 实 过 程 ） (7.30) 产 生 ， 在 回 归 模 型
yt yt 1 t t 中检验假设： H 0 : 1; 0
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
25
（一） 情形一的DF检验法
0
2
t
t
y t = et + r et - 1 + r yt - 2 =
2
å
t 1 i 0
t- 1
r i et - i
i
i= 0
E ( y ) E ( 对均值，有：
t
t i
) 0
，与时间无关。
2 t 1 2i
对方差，有：
1 2t 2 Var ( yt ) Var ( t i ) 2 1 i 0 i 0
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
10
第二节 非平稳时间序列的检验方法
本节基本内容： 数据图示法 相关图法 逆序检验法
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
11
一、数据图示法
如果时间序列是平稳的，它有一固定不变的均值， 并且应该在有限的时间穿越均值，方差也保持不 变，在不同的区域的波动性应该是一致的。从图 形看，曲线应该围绕一条水平线上下波动，无明 显的趋势性。 非平稳过程可能没固定均值，或者向均值回归的 时间非常长。从图形上看，大多数点不会围绕一 条水平线上下波动。
回归模型(7.29)系数 的OLS估计为：
y ˆ y 构造t统计量：
t
t 1
yt
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
6
【例7.1】结论
当r < 1时，AR(1) 过程为平稳的，因为其均值、 方差与协方差均与时间无关。 当r = ? 1 时，方差与协方差均与时间有关，为非平 稳的。对于经济问题而言，很少出现r = - 1 的情形。 通常将r = 1 的情形称为随机漫步过程，或者称为单 位根过程。 当 r > 1 时，方差、协方差随时间指数增长，当然也 是非平稳过程。此时时间序列经过短暂的时间间 隔就会迅速增加到无穷，这对实际经济变量而言 是比较少见的，故我们在实践中通常不考虑这种 非平稳情形。
yt yt 1 t
其中 1 ，为一平稳过程，且
E( t ) 0, Cov( t , t s ) s , s 0,1, 2,
如果包含非0常数项 ，称为带漂移的单位根过程 ：
yt yt 1 t
随机漫步过程是单位根过程中退化为的一个特例。
t 1,2,
r 为闭区间[0，1]上的任一实数，给定样本 1 , 2 ,, N ，取其前 N r [rN ] 项构 造统计量：
1 X (r ) N
那么，当 N 时，统计量

1
Nr
t
N X (r ) 有如下极限分布：
1
N X r
在上式中令 r=1，有
N X 1
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
12
二、Βιβλιοθήκη Baidu于相关图的平稳性检验法
检验原理
平稳序列的自相关函数要么是截尾的，要么是按照指数快速衰减到零，也就 是说，较长时间间隔后的自相关函数应该趋近于0。而单位根过程的序列自相 关函数没有截尾现象，衰减是很缓慢的。可以利用它们的这个统计特征进行 序列平稳与非平稳的检验。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
24
单位根检验的4种情形
情形一：假设数据由（真实过程）(7.29)产生，在回归模型(7.29)中检验假 设：
H0 : 1
情形二：假设数据由（真实过程）(7.29)产生，在回归模型(7.30)中检验假 设：
H 0 : 1; 0
情形三：假设数据由（真实过程）(7.30)产生，在其中检验假设：
Var (Y t ) = d
2
Cov(Y t ,Y s ) = rt - s
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
4
【例7.1】 AR(1) 时间序列的平稳性分析
yt yt 1 t ，假设初始值 y 0 ，干扰 对于AR(1)： 项 t 为白噪声，满足零均值独立同分布，其方差 为Var(e ) = s 。讨论不同系数r 时序列的平稳性情况。 对 y 迭代，得到:
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
1
第一节 非平稳时间序列的特征
本节基本内容： 非平稳时间序列的概念 非平稳序列的分类 非平稳时间序列的统计特征
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
2
一、非平稳时间序列的概念
严格平稳与严格非平稳 ： 如果序列满足： f (y1, y2, L yn ) = f (y1+ k , y2+ k , L yn + k )
模型为Y Y
t t t 1
t
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
8
三、非平稳时间序列的统计特征
对单位根过程而言，有
k
Cov( yt , yt k ) Var ( yt ) Var ( yt k ) (t k ) 2 t 2 (t k ) 2 1 k / t
其概率分布、均值、方差、协方差及其它各高 阶矩均不随时间发生变化 如果时间序列的统计特征随时间的推移而发生 变化，则称为非平稳时间序列。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
3
弱平稳，是指时间序列的均值、方差和协方差 等一、二阶矩存在并不随时间改变，表现为时间 的常数。 弱平稳的三个条件：
E (Y t ) = m
可以看出，随着时间长度的增加，相关系数趋近于常数1；在小样本条件下， 随着滞后期k的增加，相关系数会不断衰减。
对于AR(1) 的平稳过程而言，有
k
Cov( yt , yt k ) k Var ( yt ) Var ( yt k )
可以看出，相关系数随滞后期k的增加按指数迅速衰减到0。 单位根过程与平稳过程的自相关系数随滞后期的增加有显著不同的衰减速度， 这个区别为我们检验非平稳性提供了一个思路，样本相关图法就是利用这个 性质来检验时间序列的非平稳性的。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
22
泛函中心极限定理是对一般中心极限定理的推广， 它是研究非平稳时间序列 过程的重要工具。其具体内容为： 设序列 t 满足条件： 1 , 2 ,, t , 独立同分布，且
E( t ) 0,
D( t ) 2 ,
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
20
经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列 (Integrated Process)，或者叫可积序列，记为 I(1) 。 如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序 列为二阶单整序列，记为I(2) 。 如果序列经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平 稳，那么称为d阶单整序列，记为I(d)，d称为单 整阶数。 平稳序列为零阶单整序列，记为I(0)。
检验方法
将样本相关系数随滞后期数变化的情形描点，可以得到样本相关图 （Sample Correlogram）。根据平稳与非平稳样本相关图的不同特征，可 以得出序列平稳与否的结论。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
13
例子： 平稳AR(1)的自相关图
(a) yt 0.5 yt 1 t ， t
yt yt 1 t
E( ) 0, D( ) E( 其中 0 ，
t t 2 t
) 2
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
19
较随机漫步过程更一般的是单位根过程。单位根过 程(Unit Root Process)的定义如下：若随机过 程满足：
Y Y drift）。其生成过程为：
t t 1
t
趋势平稳过程（trend stationary process）
Y 趋势平稳过程又称为退势平稳过程，其生成过程为：
t t
t
确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）
t 1 2i
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
5
【例7.1】 当 r = ? 1 时，分子、分母取极限可得到：
Var ( yt ) t 2
当r 当r
< 1时，有：
Var ( yt ) 1 2 2 1
> 1时， Var ( y )
t
与时间相关并按指数增长。
可见：当 r < 1 ，方差与时间无关，其它情形与时间 相关。 容易证明，协方差与方差具有同样的特征。
W (t ) 的变化量： W t 2 W t1 , W t3 W t 2 , , W t k W t k 1 为相
互独立的随机变量； (c) 对任意 0 s t 1 ，有
W (t ) W (s) ~ N (0, t s)
则称 W (t ) 为标准维纳过程。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
18
一、单位根过程
时间序列y 称为随机漫步过程，如果有：
t
yt yt 1 t
其中{ } 独立同分布，其均值、方差分别满足
t
E( t ) 0, D( t ) E( t2 ) 2
随机漫步过程的方差、协方差皆与时间有关，是非 平稳的。 带漂移的随机漫步过程 ：