固体物理 电子教案 4.2电子气热容量

5N
0 5N 0
E
I

g( E )(
f )dE E

g(EF )
(πkBT )2 6
g(EF )
g(E) 2 C E 5 2 , g(E) C E 3 2 , g(E) 3 C E 1 2
5N
N
2N
E

2 5
C N
EF5
2

(π
kBT )2 6
3 2
C N
从k空间看，也就是在费米面Ｅ＝ＥF附近的电子，因此研究费
米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热
容量可以直接提供对费米面附近能态密度的了解。
3.低温时金属比热
3
CVa
D

bT 3
b

12 5
Rπ4

3 D
电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：
CVe CVa
EF1 2
E

2 5
C N
EF5
2

(π
kBT )2 6
3 2
C N
EF1 2

2 5
C N
EF5
2 1
5 8

π kBT EF
2



2 5
C N
(
EF0
)5
2
1

π2 12

kBT EF0

2

5
2
1

5Z 24π2
kBT EF0
D
T
3

在温度甚低时，两者的大小变得可以相比，晶体的摩尔热
容量可以表示为：
CV CVe CVa T bT 3
热容系数。


N0Z
π2 2
kB2 ＝Zπ2 EF0
R 2TF0
N0kB=R，R=8.31441J/mol·K为气体常量。
4.2.2 电子气摩尔热容量的讨论
1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为 J/mol·k2而电子比热的量级为mJ/mol·k2 。
电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢? 这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附 近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子 的热容量很小。 电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。

5 8

π kBT EF0

2




2 5
C N

(
EF0
)5
2
1


5π2 24

kBT EF0
2

1
5 π kBT 8 EF0
2




2 5
C N
(
EF0
)5
2
1

5π2 12


第二节 电子气热容量
本节主要内容: 4.2.1 电子气的摩尔热容量 4.2.2 电子气摩尔热容量的讨论
§4.2 电子气热容量
4.2.1 电子气的摩尔热容量
1.每个电子的平均能量
E~E+dE间的电子数： f (E)N (E)dE
E~E+dE间电子的能量: Ef (E)N (E)dE

电子的总能量：
Ef (E)N (E)dE
0
每个电子的平均能量：

E
Ef (E )N (E )dE
0

1
Cf ( E )E 3 2dE
N
N0

E
0
Ef (E )N (E )dE
1
Cf ( E )E 3 2dE
N
N0
=0
2 C f (E)E 5 2 2 C E 5 2 ( f )dE
2.电子气能态密度
N (EF0 ) C(EF0 )1 2
N0Z

2 3
C( EF0 )3
2

2 3
EF0 N ( EF0 )
CVe

N0Z
π2 2
kB
kBT EF0

2 3
EF0 N ( EF0
)
π2 2
kB
kBT EF0
CVe

π2 3
N ( EF0 )kB2T
CVe Ｎ( EF0 )
很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子，

E T
V

π2 2
kB
kBT EF0

π2kB 2
T TF0
N

2C 3
EF0
32
TF0 EF0 kB
TF0

EF0 kB
---电子气的费米温度，约为104--105K。
3.电子气的摩尔热容量为
CVe

N0Z
π2 2
kB
kBT EF0
T
N0为每摩尔的原子数, Z为每个原子的价电子数，电子
kBT
2


EF0


E

2 5
C N

(
EF0
)5
2
1


5π2 12

kBT EF0

2




3 5
EF0
1


5π2 12

kBT EF0
2




3 5
EF0

π2 4
(kBT )2 EF0
2.每个电子对热容量的贡献