点集拓扑教案

点集拓扑

拓扑是英文Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.

研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它是拓扑学的基础. 本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.

第 1 章拓扑空间

拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究，是欧氏空间的一种推广. 本章介绍拓扑空间的概念，给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义，以及它们的性质.

§ 1. 1 拓扑空间，拓扑的基与子基

拓扑空间的定义有多种等价形式. 这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义.

定义1.1.1设X是非空集, T ⊂P(X)(即T 是集合X的子集族），若满足：∅∈T ；

（1）,X

（2）T 的任意多个元素的并属于T ；

（3）T的有限元素的交属于T ，

则称T 为集合X上的一个拓扑或拓扑结构，偶对(X,T )称为拓扑空间（当拓扑自明而无需指明时，简称X为拓扑空间）.简称为空间，X称为拓扑空间(X,T )的基

础集，T 的元素称为(X ,T )的开集或T –开集,X 的元素,子集分别称为拓扑空间

(X ,T

)的点，点集.

定义1.1.1中的条件（1），（2）与（3）称为开集公理.

例1 设X 是非空集，T {,}X =∅，则T 是集合X 上的拓扑，称为集合X 上的平凡拓扑，（X ,T

)称为平凡拓扑空间.

例 2 设{}0,1X =，T {}{}{}

,0,0,1=∅，则

T 是集合X

上的拓扑，集合

{}0,1X =上赋予这一拓扑的拓扑空间，称为Sierpinski （西尔宾斯基）空间.

例3 设X 是非空集，T = P （X ），则T 是集合X 上的拓扑，称为集合X 上的离散拓扑，拓扑空间（T ，P （X ））称为离散空间. 例4. 设X 是非空集，令T ＝{

G X G -是X 的有限子集

}{}∅，则T 是集合

X 上的拓扑，称为集合X 上的余有限拓扑，拓扑空间(X ,T )称为余有限拓扑空间.

证明 即证T 满足定义1.1.1中三个条件.事实上， （1）由

T 的定义可知∅∈T ；若取G X =,则X G -=∅是有限集.所以

X ∈T .

（2）设,G K ∈T .若G =∅或K =∅,则G

K =∅∈T ; 若,G K ≠∅≠∅,则

,X G X K --都是有限集.于是()()X G K X G X K -=--是有限集，所以

G

K ∈T .

（3）设对于任意,G λλ∈Λ∈T ,其中Λ为指标集.若对于任意,G λλ∈Λ=∅,则

G λλ∈Λ

=∅∈T ; 若存在α∈Λ使得G α≠∅,则X G X G λαλ∈Λ

-

⊂-.但X G α-是

有限集，所以

G λλ∈Λ

∈T .

综上所证.可知T 是集合X 上的拓扑.

例5 设{},,X A B C =, T 1＝{}{},,a X ∅, T 2＝{}{}{}{}

,,,,,a a b a c X ∅,

T

3

＝{}{}{}

,,,a b X ∅, 则T

1

，T 2都是集合X 上的拓扑. 于是(,X T 1)与(,X T

2

) 都是拓扑空间. 因为 {},a b 是T

2

-开集，但不是T 1-开集，所以

(,X T 1)与(,X T

2

)是两个不同的拓扑空间，虽然它们的基础集相同.由于

{}{},a b ∈T

3

，{}{}{},a b a b =∉T

3

，于是T

3

不满足定义1.1.1中条件（2），

所以T

3

不是集合X 上的拓扑.

定义 1.1.2 设

T 1 ，T 2

是集合X 上的两个拓扑.若

T 1 ⊂T 2

，

则称拓扑T 1小于（或粗于）T 2，并且称拓扑T 2大于（或细于）拓扑T 1. 明显地，同一个非空集上可以赋予许多拓扑，这些拓扑依据集族的包含关系决定拓

扑的粗、细或不可比较，其中平凡拓扑是最粗的，离散拓扑是最细的.

定义1.1.3 设(X ,T )是拓扑空间，B ⊂P ()X .若B ⊂T

，并且

T

的

元素都可表示为B

中某些元素的并，则称

B

是拓扑

T

的基，也称为拓扑空间

(X ,T

)的基或拓扑基，B 中的元素称为基开集.

例6 设(X ,T

)是任意

拓扑空间，则T 就是它的基.

例7 设X 是非空集，令B ＝{}{}x x X ∈,则B 是集合X 上的离散拓扑的基.

定理1.1.4 设(X ,T

)是拓扑空间，B ⊂ T

，则下列条件等价：

（1）B 是拓扑T 的基；

（2）对于任意G ∈T ,任意x G ∈,存在x B ∈B ,使得x x B G ∈⊂. 证明 (1)(2)⇒. 对于G ∈T , 因为B 是T 的基，从而G B λλ∈Λ

=，

其中}{

B λλ∈Λ⊂

B . 所以对于任意,x G ∈存在λ∈Λ，使得x B G λ∈⊂.