第三章 力矩和平面力偶理论优秀课件
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=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶 矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm 求: MO F .
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性 质，其受力图为
M 0
FAl M1 M 2 M3 0
பைடு நூலகம்
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
例3-5 ： 已知 M1 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 求：平衡时的 M 2 及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶 只能由力偶来平衡。
=
=
=
=
§ 3-4 平面力偶系的合成与平衡
一.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1, M2 ,Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
Mn d
Fn
M1 F1d M2 F2d Mn Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
M 0, M FA l cos 45 0
解得
FA
FB
M l cos 45
2M l
例3-7 ：
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分 别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和 M2间的关系。
Aα
M1
O
FA
A
O
M1
FO
C
M2
A
FA
FB
B
解：先取圆轮为研究对象，因为力偶只
能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一 力偶，故FA= –FO。
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
F
sin
xB
例3-3 已知：q,l；求：合力及合力作用线位置.
解：取微元如图
q x q l
P
l
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理 得 h 2l
3
Ph
l
0
q dx
x
l
0
x2 l
q dx
例3-4 已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m,l 200mm;
解: 直接按定义
M O F F h F r cos θ
78.93N m 按合力矩定理
MO F MO Ft MO Fr
F cosθ r 78.93N m
例3-2
已知：F, , xB , yB ,l;
求：平衡时，CD杆的拉力.
解： CD为二力杆，取踏板
CD
由杠杆平衡条件
B
M2
D
解： 因为杆AB为二力杆，故其反力FAB
B 和FBA只能沿A，B的连线方向。
Aα
M1
O
分别取杆OA和DB为研究对象。
M2
D
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
FBA
B
M1 FABrcos 0
M 2 2FBArcos 0
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
因为 FAB FBA
二、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FR
MO
Fi
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
三、力矩与合力矩的解析表达式
MO F
MO Fy
MO Fx
x
F
sin
y
F
cos
x
Fy
y
Fx
MO FR MO Fi
MO FR
xi Fiy yi Fix
§3-2 两个平行力的合成
F4
F3
FR F2
F2R
F1 F1R
对于同向平行力情形，合力中心内分两作用点连线； 对于反向平行力情形，合力中心外分两作用点连线。
§ 3-3 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
组成力偶的两个力，既不 能合成一个力，也不能与 一个力等效，力偶和力一 样，是力学的基本要素。
所以求得
M2
1 2
M1
例3-8 ：
C
M2
Ar O
M1
B
如图所示机构的自重不计。圆轮 上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽 内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图示位 置时OA与OB垂直，角α=30o , 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2 及铰链O，B处的约束反力。
M 0 M1 FA r sin 0
解得： FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得： M 2 8kN m FB FA 8kN
例3-6 ：
横梁AB长l，A端用
铰链杆支撑，B端为铰
A
M
B
支座。梁上受到一力偶
l
D
45
的作用，其力偶矩为M， 如图所示。不计梁和支
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M Fd
M O1 F
F ,
d
F
x1
MO1 F F x1
M
Fd
O1
F
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
力矩的符号 M F O
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意 移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长 短，对刚体的作用效果不变。
杆的自重，求A和B端的
约束力。
M A
l
D
45
FA A
M B
FB
解：选梁AB为研究对象。梁所受的 主动力为一力偶，AD是二力杆，因 B 此A端的约束力必沿AD杆。根据力 偶只能与力偶平衡的性质，可以判
断A与B 端的约束力FA 和FB 构成一 力偶，因此有：FA = FB 。梁AB受 力如图。
列平衡方程：
第三章 力矩和平面力偶 理论
§ 3-1 力对点的矩
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
M M00FF
rF
h F
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位Nm或kNm
由 力两系个称等为值力、偶反，向记、作不共F线 ,的F（ 平行）力组成的
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2 1 F d 2ABC 2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶 矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm 求: MO F .
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性 质，其受力图为
M 0
FAl M1 M 2 M3 0
பைடு நூலகம்
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
例3-5 ： 已知 M1 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 求：平衡时的 M 2 及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
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4.力偶没有合力，力偶 只能由力偶来平衡。
=
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§ 3-4 平面力偶系的合成与平衡
一.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1, M2 ,Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
Mn d
Fn
M1 F1d M2 F2d Mn Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
M 0, M FA l cos 45 0
解得
FA
FB
M l cos 45
2M l
例3-7 ：
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分 别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和 M2间的关系。
Aα
M1
O
FA
A
O
M1
FO
C
M2
A
FA
FB
B
解：先取圆轮为研究对象，因为力偶只
能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一 力偶，故FA= –FO。
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
F
sin
xB
例3-3 已知：q,l；求：合力及合力作用线位置.
解：取微元如图
q x q l
P
l
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理 得 h 2l
3
Ph
l
0
q dx
x
l
0
x2 l
q dx
例3-4 已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m,l 200mm;
解: 直接按定义
M O F F h F r cos θ
78.93N m 按合力矩定理
MO F MO Ft MO Fr
F cosθ r 78.93N m
例3-2
已知：F, , xB , yB ,l;
求：平衡时，CD杆的拉力.
解： CD为二力杆，取踏板
CD
由杠杆平衡条件
B
M2
D
解： 因为杆AB为二力杆，故其反力FAB
B 和FBA只能沿A，B的连线方向。
Aα
M1
O
分别取杆OA和DB为研究对象。
M2
D
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
FBA
B
M1 FABrcos 0
M 2 2FBArcos 0
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
因为 FAB FBA
二、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FR
MO
Fi
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
三、力矩与合力矩的解析表达式
MO F
MO Fy
MO Fx
x
F
sin
y
F
cos
x
Fy
y
Fx
MO FR MO Fi
MO FR
xi Fiy yi Fix
§3-2 两个平行力的合成
F4
F3
FR F2
F2R
F1 F1R
对于同向平行力情形，合力中心内分两作用点连线； 对于反向平行力情形，合力中心外分两作用点连线。
§ 3-3 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
组成力偶的两个力，既不 能合成一个力，也不能与 一个力等效，力偶和力一 样，是力学的基本要素。
所以求得
M2
1 2
M1
例3-8 ：
C
M2
Ar O
M1
B
如图所示机构的自重不计。圆轮 上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽 内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图示位 置时OA与OB垂直，角α=30o , 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2 及铰链O，B处的约束反力。
M 0 M1 FA r sin 0
解得： FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得： M 2 8kN m FB FA 8kN
例3-6 ：
横梁AB长l，A端用
铰链杆支撑，B端为铰
A
M
B
支座。梁上受到一力偶
l
D
45
的作用，其力偶矩为M， 如图所示。不计梁和支
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M Fd
M O1 F
F ,
d
F
x1
MO1 F F x1
M
Fd
O1
F
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
力矩的符号 M F O
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意 移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长 短，对刚体的作用效果不变。
杆的自重，求A和B端的
约束力。
M A
l
D
45
FA A
M B
FB
解：选梁AB为研究对象。梁所受的 主动力为一力偶，AD是二力杆，因 B 此A端的约束力必沿AD杆。根据力 偶只能与力偶平衡的性质，可以判
断A与B 端的约束力FA 和FB 构成一 力偶，因此有：FA = FB 。梁AB受 力如图。
列平衡方程：
第三章 力矩和平面力偶 理论
§ 3-1 力对点的矩
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
M M00FF
rF
h F
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位Nm或kNm
由 力两系个称等为值力、偶反，向记、作不共F线 ,的F（ 平行）力组成的
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2 1 F d 2ABC 2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.